库仑力作用下的平衡问题(解析版)

库仑力作用下的平衡问题
库仑定律阐述了带电体间的相互作用规律以及此类问题的考题，常有两类题型，一是只在库仑（电场）作用下的带电体的平衡，二是除电场力外，结合其他力作用下的带电体的平衡高考试题多以选择题的形式出现，难度中等，解题关键是对研究对象进行受力分析，列出平衡方程。

一、三个点电荷的平衡问题
(1)平衡条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。

(2)平衡规律
【典例1】相距L 的点电荷A 、B 的带电量分别为＋4Q 和－Q ：
(1)若A 、B 电荷固定不动，在它们连线的中点放入带电量为＋2Q 的电荷C ，电荷C 受到的静电力是多少？
(2)若A 、B 电荷是可以自由移动的，要在通过它们的直线上引入第三个电荷D ，使三个点电荷都处于平衡状态，求电荷D 的电量和放置的位置。

【答案】(1)40k Q 2
L
2 (2)4Q 放在AB 连线延长线上距离B 为L 处
(2)根据三个点电荷的平衡规律，D 为正电荷，且D 应放在AB 连线的延长线上靠近B 的一侧，设D 到B 的距离为x ，电荷量为q ，
则对A 有k 4Q ·Q L 2＝k
4Q ·q
L ＋x 2
对B 有k 4Q ·Q L 2＝k Q ·q
x 2
解得：q ＝4Q ，x ＝L 。

二、库仑力和其他力的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题，可以是只有库仑力，也可以结合其他力；但其首先是平衡问题，只是多一个库仑力而已。

解题的关键是进行受力分析并列出平衡方程。

【典例2】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q (q >0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k 0的相同轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l .已知静电力常量为k ，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为( )
A ．l ＋5kq 22k 0l 2
B ．l －kq 2k 0l 2
C ．l －5kq 24k 0l 2
D ．l －5kq 22k 0l 2
【答案】 C
【典例3】如图所示，一个挂在绝缘细线下端的带正电的小球B ，静止在图示位置，若固定的带正电小球A 的电荷量为Q ，B 球的质量为m ，带电荷量为q ，θ＝30°，A 和B 在同一条水平线上，整个装置处于真空中，求A 、B 两球间的距离．
【答案】
3kQq
mg
【解析】 如图所示，小球B 受竖直向下的重力mg 、沿绝缘细线的拉力FT 、A 对它的库仑力FC.
由力的平衡条件，可知FC ＝mgtan θ 根据库仑定律得F C ＝k Qq
r 2
解得r ＝
kQq
mg tan θ
＝
3kQq
mg
【跟踪短训】
1.两个可自由移动的点电荷分别放在A 、B 两处，如图所示。

A 处电荷带正电荷量Q 1，B 处电荷带负电
荷量Q2，且Q2＝4Q1，另取一个可以自由移动的点电荷Q3，放在AB直线上，欲使整个系统处于平衡状态，则()
A．Q3为负电荷，且放于A左方
B．Q3为负电荷，且放于B右方
C．Q3为正电荷，且放于A、B之间
D．Q3为正电荷，且放于B右方
【答案】A
【解析】因为每个电荷都受到其余两个电荷的库仑力作用，且已知Q1和Q2是异种电荷，对Q3的作用力一个为引力，一个为斥力，所以Q3要平衡就不能放在A、B之间。

根据库仑定律知，由于B处的电荷Q2电荷量较大，Q3应放在离Q2较远而离Q1较近的地方才有可能处于平衡，故应放在Q1的左侧。

要使Q1和Q2也处于平衡状态，Q3必须带负电，故选项A正确。

2. 如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3间距离为q1与q2间距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为()
A．(－9)∶4∶(－36) B．9∶4∶36
C．(－3)∶2∶(－6) D．3∶2∶6
【答案】 A
3．如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A、B，上、下两根细线的拉力分别为F A、F B，现使两球带同种电荷，此时上、下细线受拉力分别为FA′、F B′，则()
A. F A＝F A′，F B＞F B′
B. F A＝F A′，F B＜F B′
C. F A＜F A′，F B＞F B′
D. F A＜F A′，F B＜F B′
【答案】B
【解析】选A、B整体为研究对象，则F A＝2mg，两球带电后F′A＝F A＝2mg；再选B为研究对象，带
电前F B ＝m B g ，带电后F′B ＝m B g ＋F 斥＞F B ，故选项B 正确
4. 如图所示，把一带正电的小球a 放在光滑绝缘斜面上，欲使球a 能静止在斜面上，需在MN 间放一带电小球b ，则b 应( )
A ．带负电，放在A 点
B ．带正电，放在B 点
C ．带负电，放在C 点
D ．带正电，放在C 点 【答案】 C
5. (多选)如图所示，把A 、B 两个相同的导电小球分别用长为0.10 m 的绝缘细线悬挂于O A 和O B 两点。

用丝绸摩擦过的玻璃棒与A 球接触，棒移开后将悬点O B 移到O A 点固定。

两球接触后分开，平衡时距离为0.12 m 。

已测得每个小球质量是8.0×10－
4 kg ，带电小球可视为点电荷，重力加速度 g ＝10 m/s 2，静电力常量k ＝9.0×109N·m 2/C 2，则( )
A ．两球所带电荷量相等
B ．A 球所受的静电力为1.0×10－
2 N C ．B 球所带的电荷量为46×10－8 C D ．A 、B 两球连线中点处的电场强度为0 【答案】ACD
【解析】用丝绸摩擦过的玻璃棒接触A 球，使A 球带正电，由题意知A 、B 两球接触后分开，则两球所带电荷量相等，选项A 正确；两球平衡后受力如图所示，
球B 所受静电力F ＝mg tan α＝6.0×10－
3 N ，球A 、B 所受静电力大小相等，选项B 错误；由F ＝kq 1q 2L 2及
q 1＝q 2知，小球所带电荷量q ＝46×10－
8 C ，选项C 正确；A 、B 两球所带电荷在其连线的中点处产生的电场强度大小相等、方向相反，场强为0，选项D 正确。

6．如图所示，大小可以忽略不计的带有同种电荷的小球A 和B 相互排斥，静止时绝缘细线与竖直方向的夹角分别是α和β，且α＜β，两小球在同一水平线上，由此可知（ ）
A. B 球受到的库仑力较大，电荷量较大
B. B 球的质量较大
C. B 球受到的拉力较大
D. 两球接触后，再处于静止的平衡状态时，悬线的偏角α′、β′仍满足α′＜β′ 【答案】D
【解析】试题分析：根据牛顿第三定律得：A 球对B 球的库仑力等于B 球对A 球的库仑力，无论两球电荷量是否相等所受库伦力都相等，故无法比较哪个电荷量较大，故A 错误；
''A F tan m g
α=
库； ''B F tan m g
β=
库，因为m A ＞m B ，所以α′＜β′．故D 正确．故选D 。

7．如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球、、（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下处于静止状态，则以下判断正确的是
A. 对的静电力一定是引力
B. 对的静电力可能是斥力
C. 的电荷量可能比的少
D. 的电荷量一定比的多
【答案】AD
8．如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1 kg的小球A悬挂到水平板的M、N两点，A上带有Q＝3.0×10－6 C的正电荷。

两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F1和F2。

A的正下方0.3 m 处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2 kg(重力加速度取g＝10 m/s2；静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，A、B球可视为点电荷)，则()
A．支架对地面的压力大小为2.0 N
B．两线上的拉力大小F1＝F2＝1.9 N
C．将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小F1＝1.225 N，F2＝1.0 N D．将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1＝F2＝0.866 N
【答案】BC
【解析】A对B有竖直向上的库仑力，大小为F AB＝kQ2
l2＝0.9 N；对B与支架整
体分析，竖直方向上合力为零，则F N＋F AB＝mg，可得F N＝mg－F AB＝1.1 N，由牛顿第三定律知F N′＝F N，选项A错误；因两细线长度相等，B在A的正下方，则两绳拉力大小相等，小球A受到竖直向下的重力、库仑力和F1、F2作用而处于平衡状态，因两线夹角为120°，根据力的合成特点可知：F1＝F2＝G A＋F AB＝1.9 N；当B移到无穷远处时，F1＝F2＝G A＝1 N，选项B正确，D错误；当B水平向右移至M、A、B 在同一条直线上时，如图所示，
对A受力分析并沿水平和竖直方向正交分解，
水平方向：F1 cos 30°＝F2 cos 30°＋F′cos 30°
竖直方向：F1sin 30°＋F2sin 30°＝G A＋F′sin 30°
由库仑定律知，A 、B 间库仑力大小F ′＝kQ 2⎝⎛⎭⎫l sin 30°2＝F AB
4＝0.225 N ，联立以上各式可得F 1＝1.225 N ，F 2
＝1.0 N ，选项C 正确。

9．一个半径为的光滑绝缘圆环固定在竖直平面内,环上套着两个带电小球和 (中央有孔,可视为点电荷),当它们处于如图所示位置时,恰好都能保持静止状态。

此时小球与环中心处于同一水平面, 连线
与水平方向夹角为。

已知小球为带电量为的负电荷,质量为,重力加速度为,静电力常量为,由此可知
小球（ ）
A. 质量为
B. 带负电
C. 带电荷量为
D. 对圆环的弹力大小为
【答案】A
10．如图所示，在电场强度大小为E 0的水平匀强电场中，a 、b 、和c 三个点电荷分别固定在光滑水平面上的同一直线上，ab 之间的距离为L ，c 在ab 的中点上。

当a 、b 、和c 的电量均为+Q 时，水平面内与a 、b 两点电荷距离均为L 的O 点处有一电量为+q 的点电荷恰好处于平衡状态。

如果仅让点电荷a 带负电，电量大小不变，其他条件都不变，则O 点处电荷的受力变为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于电荷量为的点电荷恰好处于平衡状态，受力分析如所示：
点睛：本题考查库仑定律与力学平衡知识的问题，注意受力分析，画出受力分析图是解决力学题的关键。

11. 两个质量都为3.0×10－4 kg的导体球，分别被两根长0.04 m的丝线吊在同一点上。

让它们带上等量同种电荷后，两球互相排斥，至如图所示位置平衡。

(1)试求两球间静电力的大小和导体球所带的电量。

(2)如果让其中一个小球的电荷量减少一半，而另一个小球的电荷量加倍，小球还能在原位置平衡吗？
【答案】：(1)3×10－3 N 4
4
3
3×10
－8 C(2)能
【解析】：(1)左边导体球受力如图所示，
12．如图所示，A、B两小球带等量同号电荷，A固定在竖直放置绝緣支柱上，B受A的斥力作用静止
于光滑的绝缘斜面上与A等高处，两者的水平距离为r=m斜面倾角为θ=30°，B的质量为m= 10×10-3kg.求:
(1)画出小球B的受力分析图；
(2)B球对斜面的压力大小；
(3)B球带的电荷量大小(g取10m/s², 静电力常量k=9.0×109N·m²/C).
【答案】（1）受力分析图如图：
（2）0.20N（3）
【解析】（1）受力分析图如图。