宜昌一中2019届高三模拟训练(三)数学(理)答案

宜昌一中2019届高三模拟训练（三）
理数参考答案(评分标准)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.1 14.2-≤a 或1=a
16.1
(,1)2
三、解答题本题共4小题，每小题5分，共20分
17．解：（Ⅰ）因为2cos cos cos a A b C c B =+，在ABC ∆中，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
=== 所以2sin cos sin cos cos sin A A B C B C =+， ………………………………………………………2分
即2sin cos sin()sin A A B C A =+= …………………………………………………4分
0πsin 0A A <<⇒≠，得2cos 1A =，得1cos 2A =
，π
0π3
A A <<∴= …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-⋅，得221
1322
b c bc =+-⋅．
得()2
313b c bc +-=…………………………………………………………………………………………8分
6AB AC ⋅=得12bc = ……………………………………………………………………………………10分
所以()2
3613b c +-=，得7b c +=，所以ABC △周长为7a b c ++=12分 18.解：（Ⅰ）证明：取PC 中点M ，连BD 交AC 于O ，连OM ，EM ．
在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴OD PA ⊥，
又PA AC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴OD ⊥平面PAC ，……………………………… 3分 ∵O ，M 分别是AC ，PC 的中点，∴//OM PA ，1
2
OM PA =， 又//DE PA ，1
2
DE PA =
，∴//OM DE ，OM DE =， ∴四边形OMED 是平行四边形，则//OD EM ，∴EM ⊥平面PAC ，
又EM ⊂平面PCD ，∴平面PAC ⊥平面PCE ．…………………………………………………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得EM ⊥平面PAC ，则OB ，OC ，OM 两两垂直，以OB ，OC ，OM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系
设222PA AB BF DE ====
，则B ，(0,1,0)C ，(0,1,2)P -
，F ，
(0,2,2)PC =-，(3,1,2)PB =-，(3,1,1)PF =-，……………………………………………7分
设1111(,,)n x y z =是平面BPC 的一个法向量，则110,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩即1111120,220,y z y z +-=-=⎪
⎩∴1(3,3,3)n =，
设2222(,,)n x y z =是平面FPC 的一个法向量，同理得，2(0,1,1)n =…………………………·10分
∴121212cos ,7
||||21n n n n n n ⋅<>=
==
⋅∴二面角B PC F --的余弦值为7．………… 12分 19.解：Ⅰ）由题意得＝
，4•ab ＝4，又a 2
﹣b 2
＝c 2
，解得a ＝2，b ＝1．
所以椭圆C 的方程为
+y 2
＝1；………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）证明：直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），点P ，Q 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由
，消去y 得（1+4k 2
）x 2
+8kmx +4（m 2
﹣1）＝0
△＝64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＝16（4k 2﹣m 2
+1）＞0，则x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝
， (8)
分
所以y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2
，因为2
12k k k =
所以k 1k 2＝
＝＝k 2
………………………………………………10分
即﹣+m 2＝0，又m ≠0，所以k 2
＝，………………………………………………………11分
又结合图象可知，k ＝﹣，所以直线l 的斜率k 为定值﹣．注：此处没有舍去正根扣1分………12分 20.解：（Ⅰ）依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3．则
(0)P X ==20.2(1)p -；21
22
(1)0.8(1)0.2(1)0.8(1)0.4(1)P X p C p p p p p ==⨯-+⨯⨯⨯-=-+-， 即
2(1)0.4 1.20.8
P X p p ==-+，
21
222(2)0.20.8(1)0.2 1.6(1) 1.4 1.6P X p C p p p p p p p ==+⨯⨯⨯-=+-=-+，
2(3)0.8P X p ==；X 的分布列为：
…………………………………………………………………………………………………………4分 ()1E X =⨯2(0.4 1.20.8)p p -+22( 1.4 1.6)p p +⨯-+230.8p +⨯2p =+0.8．……………………6分
（Ⅱ）当0.9p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96+⨯⨯=.……………8分
②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，()M n 为n 棵树苗的利润， 则(,0.96)Y
B n ，()0.96E Y n =，()30050()M n Y n Y =--35050Y n =-，
(())350()50286E M n E Y n n =-=，要使(())200000E M n ≥，则有699.3n ≥．
所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元． ………………………………12分
21.解：（Ⅰ）由题知：22
()(1)
()x x x a xe e ax e x f x a x x x --⋅-'=--+=……………………1分
当0a <，0x ax e -<∴当1x >，()0f x '<；当01x <<，()0f x '>；………………3分
∴函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. …………………………………………4分
（Ⅱ）由()1F x ≥恒成立可得：ln (1)1x
xe x b x -+-≥恒成立 即：ln 1
1x x b e x x
-≤-
-恒成立………………………………………………………………5分 设ln 1
()x
x g x e x x
=--，22ln ()x x e x g x x +'=
………………………………………………6分 2()ln x h
x x e x =+，21
()(2)x h x x x e x '=+⋅+∴当0x >时，()0h x '>
∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，且有(1)0h e =>，1()ln 2024h =
-< ∴函数()h x 有唯一的零点0x ，且
01
12
x <<…………………………………………………7分 当0(0,),()0,()0x x h x g x '∈<<，()g x 单调递减
当
0(,),()0,()0x x h x g x '∈+∞>>，()g x 单调递增0()()g x g x ∴是在定义域内的最小值.
0000
ln 1
1x x b e x x ∴-≤-
-……………………………………………………………………………8分 0()0h x =得到：0000ln x x x e x =-
，0112x << （*）令1
(),12
x k x xe x =<< 方程（*）等价为()(ln )k x k x =-，
1
12x <<(),(0,)k x x ∈+∞单调递增, …………………9分 ()(ln )k x k x ∴=-等价为1
ln ,12
x x x =-<<
()ln m x x x =+，112x <<，易知：()m x 单调递增.11
()ln 2022
m =-<,(1)10m =>
0x ∴是()m x 的唯一零点00ln x x ∴=-，001
x e x =
()g x ∴的最小值00000
ln 1()1x x g x e x x =-
-=…………10分
b ∴ 的范围是(,2]-∞……………………………………………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）将cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩ 代入曲线C 极坐标方程得：
曲线C 的直角坐标方程：2
2
442x y x y +-=-即2
2
(2)(1)9x y -++=…………………………3分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：()()2
2
cos 2sin 19t t αα-++=………………………5分
24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A B ，对应参数为12t t ，，得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=- (6)
分
则12AB t t =-=
=
=………………………8分
23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得2
π
α=
和3tan 4α=
，
直线l 的普通方程为3
4
y x =和0x =…10分
注意：此处漏掉0x =扣1分
23.解：（Ⅰ）当3m =-时，()123f x x x =++-，
原不等式等价于1236x x ++-≤故有11236x x x ≤-⎧⎨---+≤⎩ 或312
1236x x x ⎧-<<⎪⎨⎪+-+≤⎩ 或3
21236
x x x ⎧≥
⎪⎨⎪++-≤⎩…3分 解得413x -
≤≤-或312x -<<或3823x ≤≤ 综上，原不等式的解集48|33x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭ ……5分
（Ⅱ）由题意知()24f x x ≤-在11,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
上恒成立，即1224x x m x +++≤-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上恒成立
所以1242x x m x +++≤-…………………………………………………………………………6分 即233x m x +≤- 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上恒成立所以33233x x m x -≤+≤-…………………………8分
即335x m x -≤≤-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上恒成立,由于5432x -≤-≤-，1
3582
x ≤-≤
所以5122m -
≤≤，即的取值范围是51,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
…………………………………………………10分。