《微积分》各章习题及详细答案

第一章 函数极限与持续 【2 】
一.填空题
1.已知x x f cos 1)2
(sin +=,则=)(cos x f .
2.=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x . 3.0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无限小. 4.01
sin
lim 0
=→x
x k
x 成立的k 为. 5.=-∞
→x e x
x arctan lim .
6.⎩⎨⎧≤+>+=0
,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处持续,则=b .
7.=+→x
x x 6)
13ln(lim
0.
8.设)(x f 的界说域是]1,0[,则)(ln x f 的界说域是__________. 9.函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________. 10.设a 长短零常数,则________)(
lim =-+∞
→x
x a
x a x . 11.已知当0→x 时,1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无限小,则常数________=a . 12.函数x
x
x f +=13arcsin )(的界说域是__________.
13.lim ____________x →+∞
=.
14.设8)2(
lim =-+∞
→x
x a
x a x ,则=a ________. 15.)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________.
二.选择题
1.设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数. （Ａ）)()(x g x f +;（Ｂ）)()(x h x f +;（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f .
2.x
x
x +-=
11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有. （Ａ）α是比β高阶的无限小; （Ｂ）α是比β低阶的无限小;
（C ）α与β是同阶无限小; （D ）βα~.
3.函数⎪⎩
⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处持续,则=k .
（Ａ）
23; （Ｂ）3
2
; （C ）1; （D ）0. 4.数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n .
（Ａ）1; （Ｂ）1-; （C ）∞;（D ）不消失但非∞.
5.⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的.
（Ａ）持续点;（Ｂ）可去间断点;（C ）跳跃间断点;（D ）振荡间断点. 6.以下各项中)(x f 和)(x g 雷同的是（ ）
（Ａ）2
lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; （Ｂ）x x f =)(,2)(x x g =
;
（C ）334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;（D ）1)(=x f ,x x x g 2
2tan sec )(-=.
7.|
|sin lim
0x x
x →= （ ）
（Ａ）1; （Ｂ）-1; （C ）0; （D ）不消失. 8.=-→x
x x 10
)1(lim （ ）
（Ａ）1; （Ｂ）-1; （Ｃ）e ; （Ｄ）1
-e .
9.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →消失的（ ）
（Ａ）充分必要前提;（Ｂ） 充分前提;（C ）必要前提;（D ）既不充分也不必要前提. 10.=-+∞
→)1(lim 2
x x x x （ ）
（Ａ）1; （Ｂ）2; （C ）
2
1
; （D ）0. 11.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有（ ） （A ）n n b a <对随意率性n 成立; （B ）n n c b <对随意率性n 成立;
（C ）极限n n n c a ∞
→lim 不消失 ; （D ）极限n n n c b ∞
→lim 不消失.
12.当1→x 时,函数
1
1
21
1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２; （Ｂ）等于０;（Ｃ）为∞;（Ｄ）不消失但不为∞. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 （1）1
2sin
2lim -∞
→n n
n x ;（2）x
x
x x cot csc lim
0-→ ;
（3）)1(lim 1-→∞x
x e x ; （4）x
x x x 31212lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→;
（5）1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π; （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;
（7）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ; （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→. ３.试肯定b a ,之值,使21
11lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x . ４.运用极限消失准则求极限
(1)n
n n n 13121111
131211lim
++++++++++
∞
→ .
（2）设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证实n n x →∞
lim 消失,并求此极限值.
5.评论辩论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的持续性,如有间断点,指出其类型.
6.设)(x f 在],[b a 上持续,且b x f a <<)(,证实在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f .
第一单元 函数极限与持续习题解答
一.填空题
1.x 2
sin 2.2
sin 22)2sin
21(1)2
(sin 22
x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴.
2.0 .016
249lim )1()34(lim
3222=+-++=-+∞→∞→x
x x x x x x x x .
3.高阶.0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim
000=-=-=-→→→x x
x x x x x x x x ,
x x sin tan -∴是x 的高阶无限小.
4.0>k .
x 1sin
为有界函数,所以要使01sin lim 0=→x
x k
x ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k .
5.0.0arctan lim =-∞
→x e x
x ))2
,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x
x .
6.2=b .b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
,2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f ,
,)0(b f =2=∴b .
7.
21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x .
8.e x ≤≤1依据题意 请求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1. 9.21
-=-x e
y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,
21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y .
10.a
e 2原式=a a
a x x
a a
x x e a
x a 222)21(lim =-+
⋅-⋅-∞→. 11.23-=a 由231
231~1)1(ax ax -+（运用教材P58(1)1a
x ax +-）与22
1~1cos x x --,以及
1322
131lim 1cos 1)1(lim 2
2
03
120=-=-=--+→→a x ax
x ax x x , 可得 2
3-
=a . 12.2
1
41≤≤-
x 由反三角函数的界说域请求可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-0
11
131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12
141x x ,⇒)(x f 的界说域为2141≤≤-x . 13.
0lim
lim
x x =
22lim
0x ==.
14.2ln 23lim(
)lim(1)x x x x x a a x a x a →∞
→∞+=+--,令t=
3x a
a
-,所以x=3at a + 即：3211
lim(
)lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞
→∞+=++-=38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33===⇒=a a .
15.2)
2(2
)1(lim
)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞
→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n .
二.选择题
1.选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴.
2.选（Ｃ）]
)1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim
31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα
2
3
)1(3
1
)1(1lim
1=-⋅+-=→x x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-）
3.选（A ） 233
1
21lim 1111lim )(lim 0300=
=-+-+=→→→x x
x x x f x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-） 4.选（Ｂ）1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)
1n
n n n n n n
-→∞
→∞
--=--=-
5.选（Ｃ）1)0(=-f , 0)0(=+
f , 0)0(=f 6.选（Ｃ）在（A ）中2
ln )(x
x f = 的界说域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的界说域为
0>x ,)()(x g x f ≠∴故不准确
在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =
的值域为0>x ,故错
在（D ）中1)(=x f 的界说域为R,x x x g tan sec )(2
-=的界说域为
}2
,{π
π+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错
7.选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00
==++
→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x
x
x x x x |
|sin lim
0x x
x →∴不消失
8.选（Ｄ） 1)1(1
10
)]
(1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x x
x x
x ,
9.选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0
x f x x →消失,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而
)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不必定有)(lim 0
x f x x →消失,例如x x 1sin
lim 0
→,函数11
sin 1≤≤-x
有界,但在0=x 点极限不消失
10.选（Ｃ）
（
lim ()lim x x x x x x →∞
→∞
==
2
111
11lim
2=
++
=∞
→x
x 11.选（D ） （A ）.（Ｂ）显然不对,因为稀有列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情形,不
可能得出“对随意率性n 成立”的性质.
（Ｃ）也显著不对,因为“无限小·无限大”是不决型,极限可能消失也可能不消失.
12.选（D ）002)1(lim 11lim 11
1
1
121=⋅=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11
1
1
1
21)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞.
三.盘算解答 1.盘算下列极限： （1）解：x x x n n n n n n 22
2lim 2
sin
2lim 1
1
=⋅
=-∞
→-∞
→.
（2）解：2
200001cos csc cot 1cos 1
sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====.
（3）解：11
lim )1(lim 1=⋅
=-∞
→∞
→x
x e x x x
x . （4）解：3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x . 113
3
32211[lim(1)
][lim(1)]1
12
2
x x x e x x -
→∞
→∞
=+
⋅+
=--
（5）解：)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
112141
cos 1
cos 4lim 3
=++⨯
=
++=→
x x x π
.
（6）解：)
cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim
00
x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 202020
2cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim
x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→4
3
4121=+=
. 0
lim(12x →+=
（7）解：])
1(1
321211[
lim +++⨯+⨯∞
→n n x )]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1
1
1(lim =+-=∞→n x . （8）解：331
2323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )
21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x
x x x x x . ３.解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a
４.（1） 1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n
而 1111
lim
=+++∞→n x 113121111
131211lim
=++++++++++
∴+∞
→n
n n x .
（2）先证有界（数学归纳法）
1=n 时,a a a ax x =⋅>=12
设k n =时,a x k >, 则a a ax x k k =>=+21
数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,
11
<==+n
n
n n n x a
x ax x x 且0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞
→∴lim 消失,设A x n n =∞
→lim ,
则有 aA A =
⇒0=A （舍）或a A =,a x n n =∴∞
→lim
５.解：先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>⎪
⎩⎪
⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的持续区间为),0()0,(+∞-∞
0=x 为跳跃间断点..
６.解：令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在],[b a 上持续
而0)()(>-=a a f a F
0)()(<-=b b f b F
由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF
即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f .
第二章 导数与微分
一.填空题
1.已知2)3(='f ,则h
f h f h 2)
3()3(lim
--→=.
2.)0(f '消失,有0)0(=f ,则x
x f x )
(lim
→=.
3.π
ππ1
arctan
++=x y x ,则1='x y =.
4.)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '=;y ''=.
5.曲线x
e y =在点处切线与衔接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行. 6.)]1ln[arctan(x y -=,则dy =. 7.42
sin x y =,则
dx dy =,2
dx dy
=. 8.若tx
x x
t t f 2)
11(lim )(+=∞→,则)(t f '=.
9.曲线12
+=x y 于点_________处的切线斜率为2. 10.设x
xe y =,则_______)0(=''y . 11.设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e
y
x 肯定,则
________=dx
dy
. 12.设⎩⎨⎧=+=t
y t x cos 12则________2
2=dx y
d . 二.单项选择 1.设曲线x
y 1=
和2
x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ,则ϕtan =（ ）. （Ａ）1-;（Ｂ）1; （C ）2-;（Ｄ）3. 3.函数x k
e x
f tan )(=,且e f =')4
(π
,则=k （ ）.
（Ａ）1;（Ｂ）1-; （C ）
2
1
;（Ｄ）2. 4.已知)(x f 为可导的偶函数,且22)
1()1(lim
-=-+→x
f x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(-处切线的方程是.
（Ａ）64+=x y ;（Ｂ）24--=x y ;（C ）3+=x y ;（Ｄ）1+-=x y .
5.设)(x f 可导,则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 220=.
（Ａ）0;（Ｂ）)(2x f ; （C ）)(2x f ';（Ｄ）)()(2x f x f '⋅.
6.函数)(x f 有随意率性阶导数,且2
)]([)(x f x f =',则)()
(x f
n =.
（Ａ）1
)]
([+n x f n ;（Ｂ）1
)]
([!+n x f n ;（C ）1
)]()[1(++n x f n ;（Ｄ）2
)]([)!1(x f n +.
7.若2
)(x x f =,则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()2(lim
000
=（ ）
（Ａ）02x ; （Ｂ）0x ; （C ）04x ; （Ｄ）x 4.
8.设函数)(x f 在点0x 处消失)(0x f -'和)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '消失的（ ）
（Ａ）必要非充分前提;（Ｂ）充分非必要前提; （C ）充分必要前提;（Ｄ）既非充分又非必要前提. 9.设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ） （Ａ）99;（Ｂ）99- ; （C ）!99;（Ｄ）!99-. 10.若)(u f 可导,且)(2
x f y -=,则有=dy （ ）
（Ａ）dx x f x )(2
-';（Ｂ）dx x f x )(22
-'-;（C ）dx x f )(22
-';（Ｄ）dx x f x )(22
-'. 11.设函数)(x f 持续,且0)0('>f ,则消失0>δ,使得（ ）
（A ）)(x f 在),0(δ内单调增长; （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调削减;
（C ）对随意率性的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;（D ）对随意率性的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >.
12.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0
01sin
)(2
x b
ax x x
x x f 在0=x 处可导,则（ ）
（A ）0,1==b a ; （B ）b a ,0=为随意率性常数; （C ）0,0==b a ; （C ）b a ,1=为随意率性常数. 三.盘算解答 1.盘算下列各题 （1）x
e
y 1sin 2
=,求dy ; （2）⎩
⎨⎧==3
ln t y t x ,求1
22=t dx y
d ;
（3）y y x =+arctan ,22dx
y d ; （4）x x y cos sin =,求)
50(y ;
（5）x
x
x y )1(
+=,求y '; （6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ,求)0(f ';
（7）)()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有持续的一阶导数,求)()(a f a f '''、; （8）设)(x f 在1=x 处有持续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1
-+
→x f dx
d
x .
2.试肯定常数b a ,之值,使函数⎩
⎨⎧<-≥+++=010
2)sin 1()(x e x a x b x f ax
处处可导. 3.证实曲线a y x =-2
2
与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线互相垂直.
4.一气球从距离不雅察员500米处离地匀速铅直上升,其速度为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问不雅察员视角的倾角增长率为若干.
5.若函数)(x f 对随意率性实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证实)()(x f x f ='.
6.求曲线532
3
-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程.
第二章 导数与微分习题解答
一.填空题 1.1-1)3(21
)21()3()3(lim 2)3()3(lim
00
-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h 2.)0(f ')0(0
)
0()(lim )(lim
00
f x f x f x x f x x '=--=→→ 3.ππ+x ln 1
ln -+='ππππx
y x
ππ+='∴=x y x ln |1
4.x x f cos )sin 1(⋅+',x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2
⋅+'-⋅+''
x x f y cos )sin 1(⋅+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''
5.)1),1(ln(--e e 弦的斜率10
11
-=--=
e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y .
6.])1(1[)1arctan(2
x x dx
-+⋅--
)1()
1(11
)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12
x d x x x d x dy --+⋅-=--=
])1(1[)1arctan(2x x dx
-+⋅--=
7.432sin 4x x ,422sin 2x
x 433442sin 44cos sin 2x x x x x dx
dy =⋅⋅= 4
222sin 22x x xdx
dy dx dy == 8.t t te e 222+t
tx x te x
t t f 22)11(lim )(=+=∞→t t te e t f 222)(+='∴
9.)2,1(x y 2=' ,由220=x ⇒10=x ,2112
0=+=y
12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2
10. 2x x xe e y +=' ,x
x x xe e e y ++=''
2)0(00=+=''∴e e y
11.)
sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程双方对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y
x
解得 )
sin()
sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++.
12.
3
4cos sin t t
t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t
t 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得
3
2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t
t
t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=⋅--===. 二.选择题
1.选（Ｄ） 由⎪⎩⎪⎨⎧
==2
1x
y x y ⇒交点为)1,1(,1|)1(11-='==x x k ,2|)(12
2='=x x k
3|1|
|)tan(|tan 2
11
212=+-=-=∴k k k k ϕϕϕ
3.选（Ｃ） x x k e x f k x
k
21tan
sec tan )(⋅⋅='-
由e f =')4
(π
得 e k e =⋅⋅2⇒2
1=
k 4.选（A ） 由x
f x f x f x f x x 2)
1()1(lim
2)1()1(lim
00
----=-+→→ 2)21
()1()21()1()1(lim
0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f
∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y 5.选（Ｄ） )()(2])([)
()(lim
2220x f x f x f x
x f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6.选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(3
2
x f x f x f x f x f ='⋅='=''
)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()
1(x f x f n x f
n n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴
7.选（Ｃ） )(22)
()2(2lim )()2(lim 0000000x f x
x f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆
又x x x f 2)()(2
='=' ,004)(2x x f ='∴
8.选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要前提是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都消失
且相等. 9.选（Ｄ）
)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x
!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f
另解：由界说,)99()2)(1(lim 0)
0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x
!99!99)1(99-=⋅-= 10.选（Ｂ） )(2)()(])([2
222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-
dx x f x dy )(22-'-=∴
11.由导数界说知
0)
0()(lim
)0('0
>-=→x
f x f f x ,
再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时
0)
0()(>-x
f x f ,
从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,是以C 成立,应选C. 12.由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处持续
b b ax x f x
x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01
sin
lim )(lim 0020
,所以0=b .
又a x
ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-+
+
→-
→→+0)0()(lim )0(,01
sin
lim 0
)
0()(lim )0(0200
,
所以0=a .应选C. 三.盘算解答 1.盘算下列各题 （1）dx x x x e x d e
dy x
x
)1(1cos 1sin 2)1(sin 21
sin 2
1
sin 22
-⋅⋅==dx e x
x x
1
sin 222sin 1-=
（2）
32313t t
t dx
dy ==,3
222
919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d （3）双方对x 求导：y y y
'='⋅++
2
111⇒12
+='-y y
)11
(2)1(222
3233+-
=+⋅-='⋅-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 2
1
cos sin =
= )2
2sin(2cos π
+
=='∴x x y )2
22sin(2)22cos(2π
π
⋅+=+
=''x x y 设)2
2sin(21)
(π
⋅+=-n x y
n n
则)2
)1(2sin(2)22cos(2)
1(π
π++=⋅+=+n x n x y
n n n
x x y 2sin 2)2
502sin(24949)50(-=⋅+=∴π
（5）双方取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=
双方求导：
x
x x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(x
x
x x x x y x +-++-+='∴
（6）运用界说：
!2005)2005()3)(2)(1(lim )
0()(lim
)0(00=++++=-='→→x x x x x
f x f f x x
（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴
又a
x a x a x x a x a f x f a f a x a
x --'-+=-'-'=''→→)
()()()(lim
)()(lim
)(ϕϕϕ )]()
()([
lim x a
x a x a
x ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'=
[注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知,故只能用界说求.]
（8）]1
21)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11
-⋅--⋅-'=-++
→→x x x f x f dx d x x
1
21
sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=+
+→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f
2.易知当0≠x 时,)(x f 均可导,要使)(x f 在0=x 处可导
则 )0()0(-+'='f f , 且)(x f 在0=x 处持续.即)0()(lim )(lim 0
f x f x f x x ==+-→→
而
020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫=++=+-
→→b a x f a b x f x x 又 b x
a b a x x f x f f x x =---+++=--='++
→→+2
2)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00
a x ax
x e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(
由⎩⎨⎧⎩⎨
⎧-=-=⇒=++=1
102b a b a b a 3.证实：设交点坐标为),(00y x ,则a y x =-2
020b y x =00
对a y x =-22双方求导：y
x y y y x =
'⇒='⋅-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率0
10|y x y k x x =
'== 又由2x
b y x b y b y x -='⇒=
⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率20
20|x b
y k x x -
='== 又 1)(0
0200021-=-=-⋅=
y x b x b y x k k ∴两切线互相垂直.
4.设t 分钟后气球上升了x 米,则500
tan x
=
α 双方对t 求导：25
7
5001405001sec 2
=
=⋅=⋅
dt dx dt d αα αα2cos 25
7
⋅=∴
dt d 当500=x m 时, 4
π
α=
∴当500=x m 时,
50
7
21257=
⋅=dt d α（弧度/分） 5.证实：h
x f h f x f h x f h x f x f h h )
0()()(lim )()(lim
)(00
+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )0()()(lim )0()()()(lim
00-=⋅-⋅=→→
)()0()(x f f x f ='⋅=
6.解：因为x x y 632
+=',于是所求切线斜率为
3|63121-=+=-=x x x k ,
从而所求切线方程为)1(33+-=+x y , 即063=++y x
又法线斜率为3
1112=-
=k k 所以所求法线方程为)1(3
1
3+=
+x y ,即 083=+-x y 第三章 中值定理与导数运用
一.填空题
1.=→x x x ln lim 0
__________.
2.函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增.
3.函数()4
3
384x x x f -+=的极大值是____________.
4.曲线x x x y 362
4+-=在区间__________是凸的.
5.函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________.
6.曲线x
xe
y 3-=的拐点坐标是_________.
7.若()x f 在含0x 的()b a ,（个中b a <）内恒有二阶负的导数,且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值.
8.123
++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点.
9.________)1
sin 1(
cot lim 0
=-→x
x x x . 10._________)tan 11(
lim 20
=-→x
x x x . 11.曲线2
x e y -=的上凸区间是___________. 12.函数1--=x e y x
的单调增区间是___________. 二.单项选择
1.函数)(x f 有持续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2
)(lim x x
x f x （ ） （Ａ）不消失 ;（Ｂ）0 ;（Ｃ）-1 ;（Ｄ）-2.
2.设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2
1(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的; （Ｂ）单调减凹的; （Ｃ）单调增凸的;（Ｄ）单调减凸的.
3.)(x f 在),(b a 内持续,0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ,则)(x f 在0x x =处（ ）
（Ａ）取得极大值; （Ｂ）取得微小值;
（Ｃ）必定有拐点))(,(00x f x ;（Ｄ）可能取得极值,也可能有拐点.
4.设)(x f 在[]b a ,上持续,在),(b a 内可导,则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ）
（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要前提; （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分前提; （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要前提;（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分前提,也不是必要前提.
5.设)(x f .)(x g 在[]b a ,持续可导,0)()(≠x g x f ,且)()()()(x g x f x g x f '<',则当b x a <<时,则有（ ）
（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <;（Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <; （Ｃ）
)()()()(a g a f x g x f <; （Ｄ）)
()
()()(a f a g x f x g >. 6.方程0133
=+-x x 在区间),(+∞-∞内（） （Ａ）无实根; （Ｂ）有独一实根; （Ｃ）有两个实根; （Ｄ）有三个实根.
7.已知)(x f 在0=x 的某个邻域内持续,且0)0(=f ,2cos 1)
(lim 0=-→x
x f x ,则在点0=x 处)(x f （ ）
（Ａ）不可导; （Ｂ）可导,且0)0('≠f ; （C ）取得极大值; （Ｄ）取得微小值. ８.设)(x f 有二阶持续导数,且0)0('=f ,1|
|)
("lim
=→x x f x ,则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值; （Ｂ）)0(f 是)(x f 的微小值; （Ｃ）))0(,0(f 曲直线)(x f y =的拐点; （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点.
9.设b a ,为方程0)(=x f 的二根,)(x f 在],[b a 上持续,在),(b a 内可导,则)('x f 在),(b a 内（ ） （A ）只有一实根; （B ）至少有一实根; （C ）没有实根; （D ）至少有2个实根. 10.在区间]1,1[-上知足罗尔定理前提的函数是（ ） （A ）2
1
)(x x f =
; （B ）||)(x x f =; （C ）2
1)(x x f -=; （D ）12)(2
--=x x x f .
11.函数)(x f 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增长的（ ） （A ）必要但非充分前提; （B ）充分但非必要前提;
（C ）充分必要前提; （C ）无关前提. 12.设)(x f y =是知足微分方程0'"sin =-+x
e
y y 的解,且0)('0=x f ,则)(x f 在（ ）
（A ）0x 的某个邻域单调增长; （B ）0x 的某个邻域单调削减; （Ｃ）0x 处取得微小值; （Ｄ）0x 处取得极大值. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 (1)1
arccos lim 1
+-+
-→x x
x π;(2)x
x
x ln cot ln lim 0
+
→; (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→; (4) ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ;
(5)30
arctan lim
x
x
x x -→ ; (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→. 2.证实以下不等式
(1).设e a b >>,证实a
b b a >. (2).当2
0π
<
<x 时,有不等式x x x 3sin 2tan >+.
3.已知x x y sin 3
=,运用泰勒公式求)0()
6(y .
4.试肯定常数a 与n 的一组数,使得当0→x 时,n
ax 与3
3
)1ln(x x +-为等价无限小.
5.设)(x f 在[]b a ,上可导,试证消失)(b a <<ξξ,使
[])()(3)
()(1233
ξξξξf f b f a f a b a b '+=-.
6.作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V 最小,并求出该体积最小值.
7.若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3
x f x x F =,试证：在)1,0( 内至少消失一个ξ,使0)('"=ξF .
第三章 中值定理与导数运用习题解答
一.填空题
1.00)(lim 1
1
lim 1ln lim ln lim 02
000=-=-==→→→→x x
x x x
x x x x x x
2.),(+∞-∞0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增
3.20)2(121224)(2
32--=-='x x x x x f
令2,00)(21==⇒='x x x f
当2<x 时,0)(>'x f ;当2>x 时,0)(<'x f
∴极大值为 20)2(=f
4.)1,1(-31243+-='x x y ,)1)(1(1212122
-+=-=''x x x y
当1-<x 时,0>''y .当)1,1(-∈x 时,0<''y ;当),1(+∞∈x 时,0>''y
∴曲线在)1,1(-上是凸的
5.m m x m x x 242)!
2(1)1(!41!211-+++-
（赐教材P13页,泰勒公式） 6.)3
2,32(2
-e )31(3333x e xe e
y x x x
-=-='--- ,
)3
2
(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x
令320=⇒=''x y ,当32<x 时,0<''y ;当3
2
>x 时0>''y
而当3
2=
x 时,232-=e y ∴拐点为)32,32(2
-e
7.0)(0='x f ,0)(lim )()(lim
)("0
00000
<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)
(0<-'⇒x x x f 当0x x <时,)(,0)(0x f x f >'单调增长;当0x x >时,)(,0)(x f x f <'单调削减 8.10232
>+='x y ,y ∴在),(+∞-∞上单调增长
又-∞=-∞
→y x lim +∞=+∞
→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点.
9.
6
1 原式61
3cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 10.3
1 原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 220220302
0==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 11.)22,22(-
22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令2
20"±=⇒=x y ,当)22
,22(-∈x 时,0"<y ,上凸,其它区间0">y ,上凹,故应填入)2
2
,22(-
. 12.),0(+∞ 函数1--=x e y x
的界说区间为),(+∞-∞,在界说区间内持续.可导,且1'-=x
e y ,因为在
),0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增长.
二.选择题 1.选（Ｃ） 12
)
(lim 21)(lim )(lim
0020
-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2.选（Ｂ） 当)1,2
1(∈x 时,0)(<'x f ,又0)4
1(414)(>-=-=''x x x f )1,2
1(∈x
)(x f ∴在)1,2
1
(上单调减且为凹的.
3.选（Ｄ） 3
)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,0=x 是3
)(x x f =的拐点;设4
)(x
x f =,则
0)0(")0('==f f ,而0=x 是4)(x x f =的极值点.
4.选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要前提是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数）,又因为
)(x f 在],[b a 内持续,所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡.
5.选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f
)
()
(0])()([
x g x f x g x f ⇒<'⇒单调削减,),(b a x ∈ )
()()()(b f a f x g x f <∴
. 6.选（Ｄ） 令13)(3
+-=x x x f ,则)1)(1(333)(2
+-=-='x x x x f ;
当1-<x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长, 当)1,1(-∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 单调削减 当),1(+∞∈x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长. 而3)1(=-f ,1)1(-=f
-∞=-∞
→)(lim x f x ,+∞=+∞
→)(lim x f x
)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根,在),1(+∞上有一实根.
７.选（Ｄ） 运用极限的保号性可以剖断)(x f 的正负号：
0cos 1)
(02cos 1)(lim
0>-⇒>=-→x
x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;
由0cos 1>-x ,有)0(0)(f x f =>,即)(x f 在0=x 取微小值. 8.选（Ｂ） 由极限的保号性：
0|
|)("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域）,)('x f 单调增,又由0)0('=f ,)('x f 在0=x 由负变正,由极值第一充分前提,0=x 是)(x f 的微小点.
9.选（B ）由罗尔定理保证至少消失一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf .
10.选（C ）,A 选项)(x f 在0=x 不持续,B 选项)(x f 在0=x 处不可导,D 选项)1()1(-≠f f .
11.选（B ）,如3x y =在),(+∞-∞单增,但0)0('=f ,故非必要前提.
12.选（Ｃ）,由0)('0=x f 有0)(')("00sin 0sin 0>=-=x x e x y e
x y ,所以)(x f 在0x 处取得微小值. 三.盘算解答
1.盘算极限
（1）解： 1arccos lim 1+-+-→x x x π
1
2111arccos 21lim 21+-⋅=+-→x x x x π
2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 20200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→x
x x x x
x x x x x x x . (3)解： 6
13cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：2
1])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=--=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 3
1)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x . (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )
tan(1)(sec )tan(1lim )tan(ln )tan(ln lim 2202200 220cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b
+→⋅⋅==⋅⋅ 2.(1)证实：b a a b b a a
b ln ln >⇔>
令 x a a x x f ln ln )(-=,则)(x f 在],[b a 上持续
0ln )(>-='x
a a x f ],[
b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增长,)()(a f b f >∴
得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b , 即a
b b a > (2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2,0(π
∈x 时
03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=-+='x x x
x x x x x x f 0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2π上单调增,又00
lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x ++→→=+-= 0(0,),()lim ()02
x x f x f x π
+→∴∀∈>=, 即x x x 3sin 2tan >+ 3.解： 麦克劳林公式)(!
)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 212153m m m x o m x x x x x +--+-+-=-- ++-==∴!
5!3sin 8
64
3x x x x x y 比较 6x 的系数有：120!3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4.解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36023
210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ,2
113-=⇒=-a an 5.即证：332()()[3()()]b f b a f a f f b a
ξξξξ-'=+- 令)()(3
x f x x F =,则)(x F 在],[b a 上知足拉格朗日定理的前提 ),(b a ∈∃∴ξ,使)()()(ξF a
b a F b F '=-- 即3323()()3()()b f b a f a f f b a
ξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)
()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-
6.解：设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系
2
2
2
r hr
R
R h r
=⇒=
-
r
h
r
h
h
R
V
2
3
1
3
12
2
2
-
⋅
=
=
∴π
π)
2
(r
h>
2
2
2
2
2
2
)
2
(
)
4
2(
3
1
)
2
(
)
2
(
2
3
1
r
h
h
r
h
hr
r
h
r
h
r
h
hr
dh
dV
-
-
-
=
-
-
-
=
π
π
令⇒
=0
dh
dV
独一驻点r
h4
=
所以,当r
h4
=时,体积最小,此时3
2
2
3
8
2
4
16
3
1
r
r
r
r
r
Vπ
π=
-
⋅
⋅
=
7.解：由题设可知)
('"
),
("
),
('
),
(x
F
x
F
x
F
x
F在]1,0[上消失,又)1(
)0(F
F=,由罗尔定理,)1,0(
1
∈
∃ξ使0
)
('
1
=
ξ
F,又0
|)]
('
)
(
3[
)0('
3
2=
+
=
=x
x
f
x
x
f
x
F,可知)
('x
F在]
,0[
1
ξ上知足罗尔定理,于是)
,0(
1
2
ξ
ξ∈
∃,使0
)
("
2
=
ξ
F,又0
|)]
("
)
('
6
)
(
6[
)0("
3
2=
+
+
=
=x
x
f
x
x
f
x
x
xf
F,对)
(''x
F在]
,0[
2
ξ上再次运用罗尔定理,故有)1,0(
)
,0(
)
,0(
1
2
⊂
⊂
∈ξ
ξ
ξ,使得0
)
('"=
ξ
F.
第四章不定积分
一.填空题
1.⎰dx x
x=___________.
2.⎰x
x
dx
2
=_____________.
3.⎰+
-dx
x
x)2
3
(2=_____________.
4.⎰-dx
x
x
x
sin
cos
2
cos
=___________.
5.⎰+x
dx
2
cos
1
=____________.
6.dt
t
t
⎰sin=___________.
7.⎰xdx
x sin=___________.
8.⎰xdx
arctan=__________.
9.=
+
⎰dx
x
x
2
sin
1
2
sin
____________.
10.⎰=''dx x f x )(____________. 11.⎰=++dx x x 1)3(1________________. 12.⎰=++__________522x x dx .
二.单项选择
1.对于不定积分()dx x f ⎰,下列等式中（ ）是准确的.
（A ）()()x f dx x f d =⎰;（B ）()()x f dx x f ='⎰;
（C ）()()x f x df =⎰
;（D ）()()x f dx x f dx d =⎰. 2.函数()x f 在()+∞∞-,上持续,则()[]dx x f d ⎰等于（ ）
（A ）()x f ;（B ）()dx x f ;（C ）()C x f +;（D ）()dx x f '.
3.若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则（ ）
（A ）()()0=-x G x F ;（B ）()()0=+x G x F ;
（C ）()()C x G x F =-(常数);（D ）()()C x G x F =＋(常数).
4.若⎰+='c x
dx x f 33)(,则=)(x f （ ） （A ）c x +3556;（B ）c x +355
9;（C ）c x +3;（D ）c x +. 5.设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=⎰dx x xf )(（ ）
（A ）c x x ++)ln 4121
(2;（B ）c x x ++)ln 2
141(2; （C ）c x x +-
)ln 2141(2;（D ）c x x +-)ln 4121(2. 6.设c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2（ ）
（A ）c x +--22)1(2;（B ）c x +-22)1(2;
（C ）c x +--22)1(21;（D ）c x +-22)1(2
1. ７.=+-⎰dx e e x x 1
1（ ）。