量子力学导论Chap7

Enrlm
Enrl
eB
2c
m
由于 m 的取值从 l 到 l，递减量为 1。
所以能量差为
eB
2c
令
L
eB
2c
,则能量写为
L
分裂后相邻的能级间距为ћL， L称为拉莫尔
(Larmor) 进动频率。
L
eB
2c
B
对应能级分裂，相应的光谱线也会发生分裂。
Na 原子为例： 该原子的零场中的单
3p
一黄色谱线在强磁场
哈密顿量算符形式：p pˆ i
Hˆ
1
(
pˆ
q
A)2
q
2 c
薛定谔方程
i
t
Hˆ
1
2
Biblioteka Baidu
(p
q c
A)2
q
一般情况下，p与A不对易
pˆ A A pˆ i A
但电磁波是横波，借用横波条件 A 0
知 p 与A 对易。
薛定谔方程化为
i
t
pˆ 2
2
q
c
A
pˆ
q2 A2
c2
§7.1 电磁场中的带电粒子 薛定谔方程和两类动量
1、经典力学下的哈密顿量
H
1
(
p
q
A)2
q
r H , p H
2
c
p
r
A : 磁矢势，：标势 A : 磁矢势，：标势
d 2r dt 2
q(E
1
v
B),
c
E
1 c t
A
A : 磁矢势，：标势, B A
2、量子力学下的哈密顿量和薛定谔方程
带入能量本征方程 Hxy＝E，得到径向方程
2 2M
2
2
1
1 2
ML2
2
R(
)
(E mL )R()
解出能量本征值 (朗道能级)：
E EN (N 1)L
其中 N (2n m m) 0,2,4,,
n 0,1,2,
相应的径向能量本征函数(朗道波函数)
Rn m () ~ m F (n , m 1, 2 2 ) e22 /2
其中， ML / eB / 2c
谐振子特征长度的倒数
能级简并度：
➢ 对二维各向同性谐振子，设其自然频率为 0， 能级为 EN＝(N+1)ћ0，N = 2n+|m| = 0,1,2,…，
简并度 fN = (N+1)。(因为 当nx+ny= N, 二者的取值 有 N+1 中组合)。
➢ 对于均匀磁场中的自由电子，在垂直于磁场平
注： 二维各向同性谐振子的 哈密顿量为
H
1 2M
(
pˆ
2 x
pˆ
2 y
)
1 2
M 2 (x2
y2)
可以验证[Hxy, lz]＝0，对易。 守恒量完全集 可取为 (Hxy, lz) 取柱坐标很方便，z 轴沿 B 的方向，xy 平面内就 是极坐标系。在此坐标系下，共同本征态记为
(,) R() eim , m 0,1,2,
可以估算出哈密顿量中的 B2 项远远小于 B 项。
B2项 B项
~
e2B2 4c2
a2
/(eB / c)
104
略去 B2 项后
H
1
2
pˆ 2
V (r)
eB
2c
lˆz
电子的轨道磁矩 z
与沿 z 轴的外磁场 B 的相互作用能
z
e
2c
lˆz
物理分析： 沿 z 轴外加匀强磁场，原子的球对称性遭到破坏， l 不再是守恒量。但 l2 和 lz 仍然是守恒量，这点 可从它们与 H 之间的对易运算得知。
B=0
B 很大
-2
+1
2、量子力学解释
➢ 原子很小，在其尺度内，外加磁场近视为匀强 磁场，记为 B，与电子的空间坐标无关。
➢ 矢势 A 就取为
A
1
Br
2
A
(
1
B
r)
B,
2
而
A
(1
B
r)
0
2
设 B 沿 z 方向,于是
Ax
1 2
By,
Ay
1 2
Bx,
Az
0
近似条件：碱金属原子，如 Na，每个原子最外层 只有一个电子，称为价电子。在原子核及内层满 壳电子所产生的屏蔽库仑势场 V(r) 中运动。
Ax
1 2
By,
Ay
1 2
Bx,
Az
0
电子哈密顿量 (取 B 沿 z 轴方向)：
H
1 2M
(
pˆ x
eB 2c
y)2
(
pˆ y
eB 2c
x)2
pˆ z
2
1 2M
(
pˆ x2
pˆ y2 )
e2B2 8Mc2
(x2
y2)
eB 2Mc
lˆz
pˆ z2 2M
其中：
lˆz
(xpˆ y
ypˆ x )
i
可见，z 轴方向的运动与 B 无关，自由运动。可从 H 中分离出去。我们只研究 xy 平面内电子的运动。 这样，H＝Hxy+Hz
xy 平面内电子哈密顿量 Hxy：
令
L
eB 2Mc
,
1 H0 2M
(
pˆ x2
pˆ
2 y
)
1 2
ML2 (x2
y2
)
则 Hxy H0 Llˆz B 一次方 项
B2 项
Hxy中与磁场有关各项的物理意义： ➢ B 的一次方项是电子在 xy 平面内的轨道磁矩与 z 方向磁场 B 的相互作用项；
➢ B 的平方项是抗磁项。
面内其哈密顿分量出现了Lz项，于是能量本征值 中出现了mћL的项。而 N = 2n+|m|+m, N =
0,2,4,…。显然，只要 m < 0 ，对同一个 N，即同 一能量本征值 EN， m 可以有 取值有无穷多个 ， 因此，能级简并度为无穷大。
q
3、两类动量
1）电中性粒子的动量 p pˆ
i
2）带电粒子的动量
Pˆ正则
pˆ
q c
A
§7.2 正常塞曼(Zeeman)效应
1、实验描述
➢ 原子中的电子能级一般有简并。
➢ 当把原子置于强磁场中，原子发出的每条谱线都 分裂成 3 条 正常塞曼效应。Na (钠) 原子
物理上认为：谱线的分裂是原子能级简并的被解除 或部分被解除所致。
2、能量本征值和简并度
物理分析：
➢ 在塞曼效应中，电子局限在原子内部非常狭小 的空间运动，并且所加磁场也不是特别强，那时 的抗磁项的贡献很小，基本可以忽略不计。
➢ 但现在是自由电子，电子的运动空间变得无限 大；或者磁场极强(例如中子星内部，有103－107 Tesla的磁场)，抗磁项不可忽略。
➢ H0 的形式与二维各向同性谐振子哈密顿量相同。
价电子的哈密顿量写为(注意电子的电量为-e)
H
1
2
(
pˆ x
eB 2c
y)2
(
pˆ y
eB 2c
x)2
pˆ z2
V
(r)
1
2
pˆ 2
eB c
lˆz
e2B2 4c2
(x2
y2
)
V
(r)
其中：lˆz
(xpˆ y
ypˆ x )
i
对哈密顿量作近似处理：
原子尺度很小，(x2+y2) ~ a2 ~ (10-8cm)2，另外，实 验室用于正常塞曼效应的磁场 B ~ 104 Gauss
E
的能量本征值。
屏蔽库仑势和纯库仑势不同，前者只具有后者的 空间转动几何对称不变性，能量本征值与径向量 子数 nr 和角动量量子数 l 都有关。
E 记为
，其简并度为 (2l+1)。
nrl
加磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部 解除，能量本征值与 nr，l 和 m 都有关。原来的 能级分裂成 (2l+1) 条。
守恒量完全集选为(H, l2, lz)，共同本征函数为：
nrlm (r, ,) Rnrl (r) Ylm ( ,)
(nr ,l 0,1,2, m l,l 1,,l)
径向方程的能量本征值为：
Enrlm
Enrl
eB
2c
m
其中，Enrl 是中心力场V (r) 中粒子的
薛定谔方程
22
2
V (r)
中的正常塞曼分裂后
为 三 条 谱 线 ， B 越 大 ， 3s
分裂越厉害！
B＝0
-L
+1
0
-1
+L
0 B 很强 m
§7.3 朗道(Landau)能级
1、垂直外磁场面内哈密顿量
研究对象：质量为M，电量为 -e 的电子，处在只
有均匀的外磁场 B 中时的运动。
A
1
B
r
2
设 B 沿 z 方向,于是