2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷，含解析）

第I 卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =

ð（ ）

（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】

试题分析：{2,5,8}U B =ð,所以{2,5

}U A B =ð，故选A. 考点：集合运算.

（2）设变量,x y 满足约束条件20

30230x x y x y +≥⎧⎪

-+≥⎨⎪+-≤⎩

，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】

C

8642

2468

15

10

5

5

10

15

A

B

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）

（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18

【答案】B 【解析】

试题分析：模拟法：输入20,1S i ==；

21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立 输出6,故选B. 考点：程序框图.

（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2

20x x +-> ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

考点：充分条件与必要条件.

（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若

2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（ ）

（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52

【答案】A 【解析】

试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以248

33

CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.

考点：相交弦定理.

（6）已知双曲线()22

221

0,0x y a b a b

-=>

> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线

2y = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）

（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -

=

（D ）

22

143x y -= 【答案】D

考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.

（7）已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=- （m 为实数）为偶函数，记

()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（ ）

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】

试题分析：因为函数()2

1x m

f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x

f x =-，所以

2

21

log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛

⎫===-=-=-= ⎪⎝

⎭

()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=

所以c a b <<，故选C.

考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.

（8）已知函数()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）

（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪

⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫

⎪⎝⎭

【答案】D 【解析】

试题分析：由()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩

，

即222,0()(2)2,

0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程

()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，

由图象可知7

2

b <<.

第II 卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.