2020-2021学年河南省九年级(上)第一次联考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年河南省九年级（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是()
=4
A. x+2x=1
B. x2+2y=2
C. 2x−x2=3
D. x+1
y
2.抛物线y=3(x−2)2−4的顶点坐标是()
A. (2,4)
B. (−2,−4)
C. (2,−4)
D. (−2,4)
3.方程x2−25=0的解是()
A. x1=x2=5
B. x1=x2=25
C. x1=5，x2=−5
D. x1=25，x2=−25
4.用公式法解一元二次方程2x2−3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为
()
A. 2，−3，−1
B. 2，3，1
C. 2，−3，1
D. 2，3，−1
5.抛物线y=x2−8x+4的对称轴是直线()
A. x=−1
B. x=1
C. x=−4
D. x=4
6.若关于x的一元二次方程ax2−4x+1=0有两个相等实数根，则a的值是()
A. −1
B. 1
C. −4
D. 4
7.用配方法解一元二次方程x2−6x+4=0，下列变形正确的是()
A. (x−3)2=13
B. (x−3)2=5
C. (x−6)2=13
D. (x−6)2=5
8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2x2−4先向右平移2个单位长度，再向上平移
1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式是()
A. y=2(x+2)2+3
B. y=2(x−2)2+3
C. y=2(x+2)2−3
D. y=2(x−2)2−3
9.已知等腰△ABC的两边分别是方程x2−10x+21=0的两个根，则△ABC的周长为
()
A. 17
B. 13
C. 11
D. 13或17
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=
cx+ab的图象不经过()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.若函数y=(m−2)x|m|+1(m是常数)是二次函数，则m的值是______．
12.已知a为方程x2−x−1=0的一个根，则代数式3a2−3a−2的值为______．
13.已知点(−1,2)在二次函数y=kx2的图象上，则k的值是______．
14.某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810
元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为______．
15.若抛物线y=ax2+(a+3)x−2(a≠0)开口向上，且当x>−1时，y随x值增大而
增大，则满足条件的a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
16.解方程x2−3x+1=0．
17.已知二次函数y=x2−8x+5．
(1)将二次函数y=x2−8x+5配方成y=a(x−ℎ)2+k的形式．
(2)若点A(−3,y1)，B(1,y2)在二次函数y=x2−8x+5的图象上，则y1与y2的大小
关系是______．
18.已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过(−1,0)，(0,5)两点，求此二次函数的解
析式．
19.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，
不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、门宽各为多少？
=0．
20.已知关于x的方程x2+mx−15
4
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程有一个根是−3
，求方程的另一个根和m的值．
2
21.已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)完成如表：
(2)根据(1)的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．
(3)结合函数图象，当y<0时，x的取值范围是______．
22.为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目.为吸引游客组团来此夜游，
特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
(1)当夜游人数为15人时，人均门票价格为______ 元；当夜游人数为25人时，人
均门票价格为______ 元.
(2)若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜
游．
23.在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线y=a(x−m)2+n(a≠0)与y
轴交于点A，它的顶点为B，连接AB，BO，则称△ABO为抛物线的伴生三角形，直线AB为抛物线的伴生直线．
(1)如图1，求抛物线y=(x+2)2+1的伴生直线AB的解析式．
(2)已知抛物线y=k(x−2)2+1的伴生直线为y=−x+3，求k的值．
(3)如图2，若抛物线y=a(x−m)2+n(m>0)的伴生直线是y=x−4，且伴生三
角形ABO是直角三角形，求此抛物线的解析式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程．
故选：C．
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】解：∵y=3(x−2)2−4，
∴抛物线y=3(x−2)2−4的顶点坐标是(2,−4)，
故选：C．
利用形如y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的抛物线顶点坐标为(ℎ,k)即可选出正确答案．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数形如y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的抛物线顶点坐标为(ℎ,k)是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：移项得：x2=25；开方得，x=±5，
∴x1=5，x2=−5.故选C．
先移项，变成x2=25的形式，从而把问题转化为求25的平方根．
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
4.【答案】A
【解析】解：∵方程2x 2−3x =1化为一般形式为：2x 2−3x −1=0， ∴a =2，b =−3，c =−1． 故选：A ．
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a 、b 、c ．
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c =0.其中a 、b 分别是二次项和一次项系数，c 为常数项．
5.【答案】D
【解析】解：对称轴为直线：x =−b
2a ， 其中，a =1，b =−8， ∴x =−−8
2×1=4， 故选：D ．
利用二次函数的对称轴x =−b
2a ，将a 、b 依次代入计算即可求出．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴直线x =−b
2a 是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2−4x +1=0有两个相等实数根， ∴{a ≠0△=(−4)2−4a =0， 解得：a =4． 故选：D ．
根据一元二次方程的定义可得出a ≠0，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出△=16−4a =0，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由原方程，得
x2−6x=−4，
配方，得
x2−6x+9=5，即(x−3)2=5．
故选：B．
方程移项后，两边加上9变形即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=2x2−4先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为：y=2(x−2)2−4+1，即y=2(x−2)2−3．
故选：D．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵x2−10x+21=0，
∴(x−3)(x−7)=0，
则x−3=0或x−7=0，
解得x1=3，x2=7，
由三角形三边关系知，此等腰三角形的三边长度分别为3、7、7，
所以△ABC的周长为3+7+7=17，
故选：A．
因式分解法解方程得出x的值，再利用三角形三边关系及等腰三角形定义确定三边长度，从而得出答案．
本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10.【答案】B
>0，
【解析】解：由函数图象对称轴在y轴右侧可得：−b
2a
∴a、b异号，即ab<0，
又函数图象与y轴交点在原点上方，
∴c>0，
∴一次函数y=cx+ab的图象经过一、三、四象限，不经过二象限，
故选：B．
利用抛物线图象判定c和ab的符号，即可得到答案．
本题考查二次函数及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是由抛物线判断ab和c 的符号．
11.【答案】−2
【解析】解：由题意得：|m|=2，且m−2≠0，
解得：m=−2，
故答案为：−2．
利用二次函数定义可得：|m|=2，且m−2≠0，再计算出m的值即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
12.【答案】1
【解析】解：由题意，得
a2−a−1=0，
则a2−a=1，
所以，3a2−3a−2=3(a2−a)−2=3−2=1．
故答案为：1．
把x=a代入已知方程，求得a2−a−1=0，然后将其整体代入所求的代数式求值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．
13.【答案】2
【解析】解：∵点(−1,2)在二次函数y=kx2的图象上，
∴2=k×(−1)2，解得k=2，
故答案为2．
把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于k的方程，可求得k的值．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
14.【答案】1000(1−x)2=810
【解析】解：依题意，得：1000(1−x%)2=810，
故答案为：1000(1−x%)2=810．
根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】0<a≤3
【解析】解：∵抛物线y=ax2+(a+3)x−2(a≠0)开口向上，且当x>−1时，y随x 值增大而增大，
≤−1，
∴a>0，−a+3
2a
解得0<a≤3．
故答案为0<a≤3．
根据二次项的系数大于0，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，在对称轴的右侧，y随x值增大而增大；二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值，在对称轴的右侧，y随x值增大而减小．
16.【答案】解：x 2−3x +1=0，
∵△=9−4=5>0，
∴x 1=
3+√52，x 2=3−√52．
【解析】根据公式法求解即可．
考查了解一元二次方程−公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值(注意符号)；②求出b 2−4ac 的值(若b 2−4ac <0，方程无实数根)；③在b 2−4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a ≠0；②b 2−4ac ≥0． 17.【答案】y 1>y 2
【解析】解：(1)y =x 2−8x +5=x 2−8x +16−16+5=(x −4)2−11；
(2)∵点A(−3,y 1)，B(1,y 2)在二次函数y =x 2−8x +5的图象上，
∴y 1=(−3)2−8×(−3)+5=38，
y 2=12−8×1+5=−2，
∴y 1>y 2，
故答案为：y 1>y 2．
(1)用配方法配成顶点式即可；
(2求出y 1、y 2的值，即可得y 1>y 2．
本题考查二次函数一般式化为顶点式及函数值的大小比较，解题的关键是掌握配方法及函数图象上点的坐标满足解析式．
18.【答案】解：把(−1,0)，(0,5)代入y =−x 2+bx +c 得{−1−b +c =0c =5，解得{b =4c =5
， 所以抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5．
【解析】把两个已知点的坐标代入y =−x 2+bx +c 中得到关于b 、c 的方程组，然后解方程即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
19.【答案】解：设竿的长度为x尺，则门高为(x−2)尺，门宽为(x−4)尺，
依题意得：(x−2)2+(x−4)2=x2，
化简得：x2−12x+20=0，
解得：x1=2，x2=10．
当x=2时，x−2=0(尺)，x−4=−2(尺)，不合题意，舍去；
当x=10时，x−2=8(尺)，x−4=4=6(尺)．
答：门高为8尺，门宽为6尺．
【解析】设竿的长度为x尺，则门高为(x−2)尺，门宽为(x−4)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合(x−2)和(x−4)均为正数即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】考点：根的判别式、韦达定理
难易程度：易
；−1
答案：5
2
【解析】1
1
21.【答案】−3−4−30 −1<x<3
【解析】解：(1)完成如表：
(2)图象如图：
(3)结合函数图象，当y<0时，x的取值范围是：−1<x<3．
故答案为：−1<x<3．
(1)根据函数的解析式代人自变量的值求得函数值即可完成表格；
(2)利用描点法作出图象即可；
(3)观察图象写出y<0的取值范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解正确的图象的作法，难度不大．
22.【答案】60 50
【解析】解：(1)由标准一知，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；
由标准二知，60−(25−20)×2=50(元)．
故答案是：60；50；
(2)设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，
∵1232÷60=208
15(人)，1232÷50=2416
25
，
∴20<x≤24．
依题意，得：x[60−2(x−20)]=1232，
整理，得：x2−50x+616=0，
解得：x1=22，x2=28(不合题意，舍去)．
答：该单位这次共有22名员工去某景点夜游．
(1)根据收费标准解答；
(2)设该单位这次共有x名员工去某景点夜游，利用数量=总价÷单价结合人数为整数可
得出20<x ≤24，由总价=单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y =(x +2)2+1，
∴顶点B 的坐标为(−2,1)，
当x =0时，y =5，
∴抛物线与y 轴的交点A 的坐标为：(0,5)，
设伴生直线AB 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，
则{b =5−2k +b =1，解得：{k =2b =5
， ∴抛物线y =(x +2)2+1的伴生直线AB 的解析式为：y =2x +5．
(2)∵半生直线y =−x +3与y 轴的交点A 为(0,3)，
∴抛物线y =k(x −2)2+1与y 轴的交点A 为(0,3)，
将(0,3)代入得：4k +1=3，
∴k =12
． (3)∵伴生直线是y =x −4与y 轴的交点A 为(0,−4)，
∴OA =4，
∵伴生△AOB 是直角三角形，抛物线的顶点(m,n)在y 轴右侧，
∴满足条件的点B 有两个，
①当∠AOB =90°时，点B 在x 轴上，即为伴生直线y =x −4与x 轴的交点， 当y =0时，x =4，
∴点B(4,0)，
∴抛物线为：y =a(x −4)2，
将点A(0,−4)代入得：16a =−4，
∴a =−14，
∴抛物线的解析式为：y =−14(x −4)2，
②当∠ABO =90°时，AO 2=AB 2+BO 2，
设B(a,a −4)，则42=a 2+(a −4+4)2+a 2+(a −4)2，
∴a =0(舍)或a =2，
∴点B(2,−2)，
∴抛物线为：y =a(x −2)2−2，
将点A(0,−4)代入得：4a−2=−4，
∴a=−1
2
，
∴抛物线的解析式为：y=−1
2
(x−2)2−2，
综上所述：抛物线的解析式为：y=−1
4(x−4)2或y=−1
2
(x−2)2−2．
【解析】(1)求出抛物线与y轴的交点坐标和顶点坐标，然后用待定系数法求出直线AB 的解析式；
(2)求出伴生直线与y轴的交点坐标，再代入抛物线解析式即可求出k；
(3)先求出伴生直线与y轴的交点坐标，而后求出OA的长，然后根据点B的位置分类讨论，求出点B即可求出m和n的值，再将点A的坐标分别代入即可求出抛物线的解析式．
本题考查的是二次函数、一次函数和三角形的综合题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式和抛物线的伴生三角形、抛物线的伴生直线是解题关键．。