2024届华南师大附中数学高三第一学期期末监测试题含解析

2024届华南师大附中数学高三第一学期期末监测试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i 是虚数单位，21i

z i

=

-则||z =（ ）

A ．1

B ．2

C

D ．2．若双曲线()22210x y a a

-=>的一条渐近线与圆()2

222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围

是（ ）

A ．)

+∞

B ．[)2,+∞

C ．(

D ．(]1,2

3．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛

⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2

x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

B ．10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,

3π⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．,32ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

4．已知函数2

()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）

A ．2

B ．5

C ．1

D ．3

5．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤

B ．

74

4

x π

π≤≤

C ．

54

4

x π

π≤≤

D ．

32

2

x π

π≤≤

6．将函数f (x )=sin 3x 3x +1的图象向左平移6

π

个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59

π

对称； ②它的最小正周期为

23π； ③它的图象关于点(1118

π

，1)对称；

④它在[

51939

ππ

，]上单调递增.

其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②

B ．②③

C ．①②④

D ．②③④

7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形

D ．钝角三角形

8．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭

，{|10}B x x =-<<则A

B =（ ）

A ．{|0}x x <

B ．1|2

x x

C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭

D ．{|1}x x >-

9．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

10．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．82

B ．8

C ．42

D ．4

11．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点

(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数

C ．()y f x =的图像关于直线2

x π=

对称

D ．()y f x =的最大值是

3

2

12．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min

2

x x π

-=

，

则下列判断正确的是（ ） A ．16f π⎛⎫=

⎪⎝⎭

B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76

x π

=

D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知△ABC 得三边长成公比为

的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.

14．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221x

g x ⎡⎤-+=⎣⎦，

当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.

15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若257n n S a =-，则n a =____ 16．已知(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．

18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心为坐标原点,O 焦点在x 轴上，右顶点()2,0A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为1

2

． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若,M N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设()4,0P -，连接PM 交椭圆C 于另一点E ．求证：直线NE 过定点,B 并求出点B 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点B 的直线交椭圆C 于,S T 两点，求OS OT ⋅的取值范围．

19．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F

，离心率为2

，A 为椭圆上一动点（异

于左右顶点），12AF F ∆

． （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于点,A B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（12分）（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*

2,n n N ≥∈），

求数列()*

12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和； （2）已知数列{}n b 满足：

（ⅰ）对任意的*

1,0n n n N b b +∈<≤；

（ⅱ）对任意的*

2,n n N ≥∈，()()*111*

2,21,,2,

n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>

，且21b b =①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.