用空间向量处理空间距离问题

O(0 , 0 , 2 ). y y 2 2 2 可得 OP = ( 0 , , - 2 ), OD = ( - , , 2 2 2
数理化学习 ( 高中版 ) 与 CD 1 的距离. 解 : 以 D 为坐标原点, 分别以 DA、 DC、 DD 1 为 x、 y、 z 轴, 建立空间直角坐标系 , 则 H ( 3 , 2 , 0 ), C ( 0 , 4 , 0), G ( 0 , 4 , 1), D 1 ( 0 , 0 , 2 ). y y 所以HG = ( - 3 , 2, 1 ), D 1C = ( 0 , 4 , - 2 ), y D 1G = ( 0 , 4 , - 1 ). 设 n = ( x, y, z) 是异面直线 HG 与 CD 1 的 公垂线的方向向量, 则 y n# HG = 0 , y n# D 1 C = 0 , 即 - 3x + 2y + z = 0 , 4y - 2z = 0 . 取 z= 2 ,得 x = 2 ). 所以异面直线 HG 与 CD 1 的距离为 y | D 1G # n | 6 61 d = = . | n | 61 点评: 用向量法求异面直线间的距离的步 骤是: ¹ 求两条异面直线公垂线的方向向量 n; º 在 两异 面直 线 上各 取 一点 G、 D 1, 得 向量 y y D 1G; » 求 D 1G 在 n 上的射影长 . 五、 求线面、 面面之间的距离 线与面、 面与面的距离都可以化归为点到 平面的距离求解 . 例 5 ( 2009年高考 重庆卷 ) 如图 7, 在五面 体 ABCDEF 中, AB M P DC, N BAD = , CD = 2 AD = 2 , 四边形 ABFE 为 平行四边形, FA L 平面 ABCD, FC = 3 , ED = EFCD 的距离. y y y 解 : 以点 A 为坐标原点, AB, AD, AF 的方向 # 22# 7 . 求 : 直线 AB 到平面 4 4 ,y= 1 ,则 n = ( , 1 , 3 3 为 x、 y、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 , 则 A(0 , 0, 0 ), C ( 2 , 2 , 0 ), D ( 0 , 2 , 0). y 设F(0 , 0 , z 0 ) ( z 0 > 0 ), 可得 FC = ( 2 , 2 , - z0 ). y 由 | FC | = 3 ,即 2 + 2 + z0 = 3 , y y 解得 F ( 0 , 0 , 1 ), 即 FC = ( 2 , 2, - 1 ), FD = (0 , 2 , - 1 ). 因为 AB M DC, DC < 面 EFCD, 所以直线 AB M 面 EFCD. 所以直线 AB 与平面 EFCD 的距离等于点 A 到平面 EFCD 的距离 . 设 n = ( x, y, z) 是平面 EFCD 的一个法向 量, 则 2x + 2y - z = 0 , 即 y 2y - z = 0 . n # FD = 0 , 取 y= 1 ,得x= 0 , z= 2 , 则 n = (0 , 1 , 2 ). 所以点 A 到平面 EFCD 的距离为 y | AF #n | = 2 = 2 5 d= . | n| 5 5 2 5 . 5 点评 : 当直线和平面平行时, 线面距离就转 从而直线 AB 到平面 EFCD 的距离为 化为点面距离求解 , 解题的关键是建立坐标系, 求出平面的法向量 , 正确运用公式 . 在例 4 中, 如果要求平面 CD 1B 1 与平面 A 1BD 的距离, 可转 化为直线 D 1B 1 与平面 A 1BD 的距离求解. 5高中数学课程标准 6 指出 : 立体几何教学 采用传统的综合法与向量法相结合 , 以向量法 为主 , 这充分体现向量的工具作用 , 是一种全新 的视角. 用向量法求空间距离 , 把传统的形式逻 辑证明转化为数值运算 , 即借助向量法使解题 模式化, 具有通用性和操作性 , 简化求解过程, 方便易行 . 福建省诏安一中 ( 363500) y n # FC = 0 ,
数理化学习 ( 高中版 ) = y | sin3 AB 1, n 4 | =- 2 ), OB = ( 1 , 0 , - 2 ). 设 n = ( x, y, z ) 是平面 OCD 的一个法向 量, 则 y n # OP = 0 , y n # OD = 0 , 5 61 . 即 2 y - 2z = 0 , 2 2 2 x + y - 2z = 0 . 2 2
数理化学习 ( 高中版 ) y y BD, B 1M L BD, 从而 CD 与 B 1M 所成角的大小 , 就是二面角的大小. 笔者注意到新课标对立体几何问题处理方 法的变化, 由过去用的演绎推理 , 变为现在的以 向量运算为主 . 因此 , 在进行这一专题教学时 , p 沈玉川 我与学生一起总结了求空间角的一般步骤 , 这 样就降低了思维难度, 使立体几何问题成为程 序化的运算问题. 这就大大增强了学生求解立 体几何问题的信心和能力. 江苏省泰州实验学校 ( 225300 )
用空间向量处理空间距离问题
空间距离的计算是立体几何的一类重要 问题, 是历年来高考立体几何试题的热点 . 新课 标高中数学选修 2) 1的第三章 / 空间向量与立 体几何 0 用向量研究立体几何, 降低了综合推 理的难度 . 下面就立体几何中最常见的距离问 题 , 给出向量的解法. 一、 求两点之间的距离 求空间两点 A、 B 之间的距离 , 可利用公式 y y 2 2 | a | = a , 转化为求向量 AB 的模 | AB |. 例 1 如图 1 , 四面体 O ) ABC 的各棱长都是 1 ,点 D, E 分别是边 OA, BC 的中 点 , 连结 DE. 计算 D、 E 两点 之间的距离 . y 2 y2 解 : | DE | = DE = y y 1 y 1 y 2 1 y 1 y (DA + AB + AC - A B ) = ( OA + AC 2 2 2 2 y y 1 y 2 1 y2 y2 y2 + AB ) = (OA + AC + AB + 2 OA # AC 2 4 y y y y 1 + 2OA # A B + 2AC # AB ) = ( 1+ 1+ 1- 1+ 4 y 2 2 2 1 - 1) = , 所以 | DE | = , 即 DE 的长 . 4 2 2 点评: 求两点间的距离 , 可以先求出以这两 点为端点的向量 , 然后求出该向量的模, 则模就 是两点之间的距离. 计算时 , 常把该向量分解成 # 20# = 三个确定的向量来表示 , 这三个向量实际上就 是空间向量的一组基底 . 二、 求点到直线的距离 设直线 l 的方向向量为 n, A 为 l 上的任一 y y y | AP # n | 点, | cos3 AP, n 4 | = , | sin3 AP, n4 | y | AP | | n | y 2 1 - cos 3 AP, n4, 则点 P 到直线 l 的距离
取 z = 2, 得 x = 0 ,y= 4 , 所以 n = ( 0 , 4 , y 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d, 则 d 为 OB 在向量 n = ( 0 , 4 , 2 ) 上的投影的绝对值 , d = y | OB # n | = 2 . |n | 3 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 . 3
y 1 - co s 3 AB 1, n 4 61 . 5 5
所以点 B 1 到直线 AC 的距离为 y y 2 d = | AB 1 | | sin 3 AB 1, n4 | =
点评: 本题也可过 B 1 作直线 A C 的垂线, 垂 足为 E, 转化为求 B 1E 的长; 用向量法求解, 点、 向量用三维坐标表示 , 进行向量的运算, 避开了 添加辅助线以及论证 . 三、 求点到平面的距离 如图 3 , 求点 P 到平 面 A的距离的步骤为: ¹ 求出平面 A的一个法向 量 n; º 找出从平面 A内 一点 A 出发 的任一条斜 y 线段 对 应 的 向 量 AP; » 应 用 公 式 d = y | AP # n | , 求出点 P 到平面 A的距离为 d. |n | 例 3 ( 2008年安徽 省高考题 ) 如图 4, 在四 棱锥 O ) ABCD 中, 底面 ABCD 是四边长为 1的菱 P 形 , N ABC = , OA L 4 底面 ABCD, OA = 2 , 求 点 B 到 平 面 OCD 的 距 离. 解 : 作 AP L CD 于点 P, 分别以 AB, AP, AO 所在直 线为 x, y, z 轴建立 坐标 系, 知 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 1 , 0 , 0), P ( 0 , 2 , 0), D ( 2 2 , 2 2 , 0 ), 2 2 ).
y y 为 d = | AP | | sin3 AP, n 4 |. 例 2 如图 2 , 在 长方体 ABCD ) A 1B 1C 1D 1 中 , 已 知 AB = 4 , BC = 3 , CC 1 = 2, 求点 B 1 到直线 A C 的距 离. 解: 以 D 为坐标原点 , 分别以 DA、 DC、 DD 1 为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 , 则 B 1 ( 3 , 4 , y 2 ), A ( 3 , 0 , 0 ), C ( 0 , 4 , 0), AB 1 = ( 0 , 4 , 2 ), 直 y 线 A C 的方向 向量为 n = AC = ( - 3 , 4 , 0 ), y | AB 1 | = 2 5 . y y | AB 1 # n | | cos3 AB 1, n4 | = y | A B1 | | n |
点评 : 向量法求点到平面的距离, 垂线段不 必作出, 只需求出平面的法向量. 另外, 会求点 到平面的距离 , 那么直线到平面、 平面到平面间 的距离都可转化为点到平面的距离来求解. 四、 求异面直线的距离 如图 5 , l1、 l2 是两 条 异面直线 , n 是 l1与 l2的 公垂线 段 AC 的 方向 向 量, D、 B 分 别 是 l1、 l2 上 的任意两点, 则 l1与 l2的 y | BD # n | 距离是 d = . |n | 例 4 如图 6 , 在 长方体 ABCD ) A 1B 1C 1D 1 中 , AB = 4, BC = 3 , CC 1 = 2, H 是 AB 的中点 , G 是 CC 1 的 中点, 求异面直 线 H G # 21#
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