2022-2023学年江苏省苏州中学高二年级上册学期11月期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省苏州中学高二上学期11月期中数学试题
一、单选题
1．已知椭圆22:3412C x y +=，则它的焦点坐标是（ ） A ．()5,0和()5,0- B ．()1,0和()1,0- C ．()0,5和()0,5- D ．()0,1和()0,1-
【答案】B
【分析】转化为标准方程后即可求解.
【详解】椭圆2
2
:3412C x y +=的标准方程为22
143
x y +
=，其中224,3a b ==， 所以222431c a b =-=-=. 所以焦点坐标是()1,0和()1,0-. 故选：B
2．“4m =”是“直线()()24120m x m y -+++=与直线()130m x my +-+=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线垂直求得m 的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断.
【详解】当4m =时，两条直线分别为4520x y ++=与5430x y -+=，两条直线互相垂直，反之，由()()24120m x m y -+++=与直线()130m x my +-+=垂直，()()()()12410m m m m +-+-+=，解得4m =或1m =-，则不能推出4m =，所以4m =”是“直线()()24120m x m y -+++=与直线
()130m x my +-+=垂直的充分不必要条件.
故选：A
3．圆22
1:1C x y +=与圆()()()2
2
22:340C x y m m -++=>内切，则实数m 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C
【分析】由圆12,C C 内切得1212C C r r =-即可解决.
【详解】由题知22
1:1C x y +=，()()()2
2
22:340C x y m m -++=>
所以1122(0,0),1,(3,4),C C r r m =-=，
因为圆22
1:1C x y +=与圆()()()22
22:340C x y m m -++=>内切，
所以1212C C r r =-，即51m =-， 因为0m >， 所以6m =， 故选：C.
4．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的
间距()11
,2,3,,9i i PP i +=⋯约为4.4m ，拉索下端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i A A i +=⋯均为16m.最短拉索的锚1P ，1A 满足157m OP =，186m OA =，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A ．0.40±
B ．0.42±
C ．0.43±
D ．0.45±
【答案】B
【分析】根据题意利用已知长度可分别计算10OA ，10OP ，再利用斜率的定义可解. 【详解】解：如图，以O 为原点建系，
根据题意，最短拉索的锚1P ，1A 满足157m OP =，186m OA =，
且()11,2,3,,9i i PP i +=均为4.4m ，拉索下端相邻两个锚的间距()11,2,3,,9i i A A i +=均为16m ，
则10111086916230m OA OA A A =+=+⨯=，即点()10230,0A ， 同理()10230,0B -，
又101110579 4.496.6OP OP PP =+=+⨯=，即点()100,96.6P ， 所以101096.600.420230A P k -=
=--，101096.60
0.420230
B P k -==+，
即最长拉索所在直线的斜率为0.42±. 故选：B.
5．若数列{}n a 满足12a =，23a =，21n n n a a a +++=，则2022a 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．2
【答案】C
【分析】由21n n n a a a +++=得21n n n a a a ++=-，依次列举可得数列{}n a 是以6为最小正周期的数列，则202261a a ==-.
【详解】由21n n n a a a +++=得21n n n a a a ++=-，故有 12a =，23a =，
3211a a a =-=， 4322a a a =-=-，
5433a a a =-=-， 6541a a a =-=-， 7652a a a =-=， 8763a a a =-=，
故数列{}n a 是以6为最小正周期的数列，由2022
3376
=得202261a a ==-. 故选：C
6．己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，321S S =，则23S =（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】∵321S S =， ∴()345421212190S S a a a a a -=+++=+=，
∴2410a a +=，
∴()2312345212223S a a a a a a a a =+++++++
()12322231421122a a a a a a a a a =++++=++==，
故选：B
7．已知正方形ABCD 的边长为1，点M 在边AB 上，点N 在边BC 上，1
4
AM BN ==
，动点P 从M 出发沿直线向N 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到M 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．10
【答案】B
【分析】根据入射角等于反射角，对称，作图分析即可解决.
【详解】
根据已知中的点,M N 的位置，可知入射角的正切值为1
tan 3
α=
，第一次碰撞点为N ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为F ，在AD ，且512
DF =，第三次碰撞点为J ，在BC 上，且1
12
CJ =，第四次碰撞点为H ，在CD 上，且14CH =，第五次碰撞
点为E ，在AD 上，且1
4DE =，第六次碰撞点为I ，在BC 上，且712
CI =，第七次碰撞点为G ，在AD 上，且112
AG =
，第八次回到M 点， 1
4AM =；
故需要碰撞8次即可. 故选：B
8．已知()0,2A ，()10
B ,，(),0
C t ，点
D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则正整数t 的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【分析】求出直线AC 的方程，设22,D x x t ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
.由2AD BD ≤，列不等式，利用判别式法求出t 的
范围，即可求解.
【详解】由题意知直线AC 的方程为2
2y x t
=-+.
因为点D 是直线AC 上的动点，所以可设22,D x x t ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
.
因为2AD BD ≤，
化简得：22123820032x x t t ⎛⎫+⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭-+⎭+≥⎝对任意x 恒成立,
所以2
23242001283t t ∆=++⎛⎫⎛⎫-⨯⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，化简得2512176064t t ∆-=≤+
,
解得t ≥
或t ≤
,结合t 为正整数得：t 的最小值为4. 故选：B
二、多选题
9．过点()1,3P 的直线与x 轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，则||||OA OB +的可能值是（ ）
A ．7
B ．7.4
C ．4+
D ．8
【答案】CD
【分析】设直线方程为1(0,0)x y
a b a b +=>>，求出131a b
+=，再利用基本不等式求出||||OA OB +的
最小值即得解.
【详解】设直线方程为1(0,0)x y
a b a b
+=>>，
由题得
13
1a b
+=，
所以133||||()()444a b OA OB a b a b a b b a +=+=++=++≥++故选：CD
10．已知公比不为1的等比数列{}n a 的n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a < B ．若40a >，则20220a > C ．若130a a +>，则20210S >
D ．若240a a +<，则20220S <
【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据通项公式及求和公式即可判断出答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，
当30a >时，2018
202130a a q
=>，A 不正确； 当40a >时，2018
202240a a q
=>，B 正确； 当130a a +>时，即()
22
11110a a q a q +=⋅+>，则10a >，
所以(
)2021
1202111a q q
S -=
-，由1q -与同号，所以2021
0S
>，C 正确；
当240a a +<时，取数列{}n a 为1，1-，1 ，1-，，则20220S =，D 不正确.
故选：BC.
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线
22 C: 22x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴
B ．曲线
C 围成的图形的周长是 C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过5
D ．若(),T a b 是曲线C 上任意一点，4318a b +-的最小值是11-【答案】ABD
【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD.
【详解】22
22x y x y +=+，
当0,0x y ≥≥时，2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，
表示圆心为(1,1)，半径r =
当0,0x y ≥<时，2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=，
表示圆心为(1,1)-，半径r =
当0,0x y <≥时，2222x y x y +=-+，即22(1)(1)2x y ++-=，
表示圆心为(1,1)-，半径r =
当0,0x y <<时，2222x y x y +=--，即22(1)(1)2x y +++=，
表示圆心为(1,1)--，半径2r =的半圆.
曲线22
C:22x y x y +=+的图像如下图所示：
对于A ，易知曲线图像有4条对称轴，A 正确；
对于B ，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为2242r ⨯π⨯=π，B 正确； 对于C ，由图可知，曲线C 上的任意两点间的最大距离为442r =，C 错误； 对于D ，圆心(1,1)到直线43180x y +-=的距离为122
115
434318d ++-=
=
， (),T a b 到直线43180x y +-=的距离222
4318433148
5
d a b a b +++-=
=
-，
若使2d 最小，则有2111
25
d d r =-= 所以
5
4318a b +-11
25=24131158a b =-+-D 正确. 故选：ABD.
12．数列{}n a 满足11a =，11
(N*)2n n n
a a n +=
∈， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．1
2112n n a --⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
B ．1n n a a +≤
C ．3n S <
D ．13
2
n n S S -<
【答案】ABC
【分析】根据题意求得21211
2
n n n n n n a a a a a a ++++==，得到{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为12的等比数列，即可求出{}21n a -的通项公式，即可判断A ；求得n 为奇数和n 为偶数时，数列的通项公式，可判
定B 正确；根据n 为奇数和偶数，求得n S ，可判定C 正确；结合2n =时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 满足11
,N 2
n n n a a n *+=∈， 所以2111
2n n n a a +++=， 可得
212112
n n n n n
n a a a a a a ++++==， 因为11a =，可得2112a a =
，所以21
2
a =， 所以{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为1
2的等比数列，且首项分别为11a =，212
a =， 即{}
21n a -是以1为首项，1
2
为公比的等比数列，所以1
2112n n a --⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，故A 正确；
当2,N*n k k =∈时，12112k
n k a a ++⎛⎫
== ⎪⎝⎭，212k
n k a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1n n a a +=，
当21,N*n k k =-∈时，1212k
n k a a +⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，1
211112222k k
n k n a a a --+⎛⎫⎛⎫
===⋅= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，所以1n n a a +<，
所以1n n a a +≤，故B 正确；
对于C 中，当2,N*n k k =∈时，()()21321242n k k k S S a a a a a a -==+++++++
1
111112223131121122
k
k k +⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎡⎤
⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
--， 当21,N*n k k =-∈时，212211131343222k k k
n k k k S S S a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-=--=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦，
所以3n S <恒成立，即C 正确； 对于D 中，当2n =时，可得213122S =+=，1332
2S =，此时13
2n n S S -=，所以D 错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．若(3,3n =-是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角大小为___________.
【答案】
5π
6
##150 【分析】根据方向向量可求得tan θ，根据直线倾斜角θ的取值范围即可求得结果.
【详解】设直线l 的倾斜角为θ
，则tan θ=，又[)0,πθ∈，5π6θ∴=. 故答案为：
5π6
. 14．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，22
1120n n n n a a a a ++--=，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭前10
项的和为___________. 【答案】
682
2049
【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.
【详解】由22
11111)(20(2)20n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++--=⇒-==⇒+，或1n n a a +=-，
当1n n a a +=-时，即1
1n n
a a +=-，所以数列{}n a 是以1-为公比的等比数列，这不符合数列{}n a 的各项均为正数； 当12n n a a +=时，即
1
2n n
a a +=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又12a =， 所以1222n n
n a -=⨯=，
因为
()()()()111211
1121212121n n n n n n n n a a a +++==-++++++，
所以()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭前10项的和为
1223101111111111682
21212121
2121320492049
-+-++
-=-=++++++， 故答案为：
682
2049
15．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y
E
a b a b
+=>>的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A ，
B 两点，123AF AF =，2AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为___________.
【分析】根据椭圆的定义结合123AF AF =，求得21,AF AF ，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】解：由123AF AF =， 得12242a AF AF AF +==，所以213,22
A a F a F A ==， 因为2AF x ⊥轴，
所以2
2
2
2121AF F F AF +=，
即2229444a a c +=，所以22
c a =， 即椭圆的离心率为22
. 故答案为：
2
2
.
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22
:2220C x y -+-=与x 轴交于A ､B （点A 在点B 的左侧），圆C 的弦EF 过点()4,3G ，分别过E ､F 作圆C 的切线，交点为P ，则线段AP 的最小值为___________. 【答案】65【分析】设00(,)P x y ，根据切线的垂直关系，可得,E F 在以CP 为为直径的圆上，求出EF 的方程，将()4,3G 代入，求出P 点轨迹方程，转化为点到直线的距离，即可求出结论. 【详解】()()2
2
2220x y -+-=，圆心(2,2)C ， 令0,2y x ==-或6x =，点A 在点B 的左侧，
(2,0)A ∴-，设00(,)P x y ，,PE PF 为圆C 的切线，
,PE CE PF CF ⊥⊥，EF ∴在以PC 为直径的圆上， 其方程为00(2)()(2)()0x x x y y y --+--=，
即22
0000(2)(2)220x y x x y y x y +-+-+++=，
直线EF 为圆C :2244120x y x y +---=与以PC 为直径的圆的相交弦， 直线EF 方程为0000(2)(2)12220x x y y x y -+----=， 弦EF 过点()004,3,2260G x y ∴+-=，
点P 的轨迹为直线，其方程为2260x y +-=，
线段AP 最小值为点A 到直线2260x y +-=
=
故答案为:
四、解答题
17．设2阶方矩阵a b M c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
则矩阵A 所对应的矩阵变换为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中x ax by ''=+，y cx dy ''=+，其意义是把点(),P x y 变换为点(),Q x y ''，矩阵M 叫做变换矩阵.
(1)当变换矩阵1221M ⎛=⎫
⎪⎝⎭
时，点()1,1B -，()3,1C -经矩阵变换后得到点分别是B '，C '，求经过B '，
C '的直线的方程；
(2)当变换矩阵2-312M =⎛⎫
⎪⎝⎭
，点(),D m n 经矩阵M 的作用变换后得到点()1,2D '，求实数m ，n 的值.
【答案】(1)210x y +-= (2)4m =-，5n =.
【分析】（1）由变换矩阵的定义结合直线方程的点斜式即可求解； （2）由变换矩阵的定义即可得解.
【详解】（1）由题可知：11221212x x y y x y '''-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎪ ⎪'''+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则21
21x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解得11x y =⎧⎨=-''⎩
，所以(1,1)B '-.
同理可得57(,)33
C '-，则7
132513B C k ''
-+
==--， 所以经过B '，C '的直线方程为：12(1)y x +=--， 即210x y +-=.
（2）由题可知：231122m n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
即有21(3)2
1122m n =⨯+-⨯⎧⎨=⨯+⨯⎩，得45m n =-⎧⎨
=⎩
. 所以4m =-，5n =.
18．已知等差数列{}n a 满足59a =，11121S =，数列{}n b 是单调递增的等比数列且满足149b b +=，238b b =.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)记()*
,21,N ,
2n n n a n k c k b n k =-⎧=∈⎨
=⎩，求数列{}n
c 的前2n 项的和2n
S
.
【答案】(1)()21N n a n n *=-∈，()12N n n b n -*
=∈
(2)()()222
214N 3
n n n n n S *
=---∈
【分析】（1）计算等差数列和等比数列的基本量即可写出通项公式. （2）根据题意利用分组转化即可进行求和. 【详解】（1）由已知59a =，11121S = 设数列{}n a 首项为1a ，公差为d
5149a a d =+=，1111110
111212
S a d ⨯=+= 解得：11a =，2d =
所以()()1121N n a a n d n n *
=+-=-∈
因为149b b +=，23148b b b b ==， 数列{}n b 是单调递增的等比数列，
设数列{}n b 首项为1b ，公比为q ，所以1q > 解得：11b =，48b = ，所以2q
所以()1112N n n n b b q n --*
=⋅=∈
（2）由已知()*
,21,N ,
2n n n a n k c k b n k =-⎧=∈⎨
=⎩
所以12342122n n n a b a b a b S -=++++
++
32121242n n n a a a b b S b -=+++++++
()()211414214n b n n na --=+⨯+
- ()()22
214N 3
n n n n *=--
-∈ 19．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的顶点()1,2B -，BC 边上中线AD 所在直线方程为
5330x y --=，AB 边上的高CH 所在直线方程为290x y +-=，求：
(1)顶点A 的坐标；
(2)ABC 外接圆的一般方程. 【答案】(1)()3,4A ； (2)2277222650x y x y +---=.
【分析】（1）求出直线AB 的方程，与直线AD 联立，即可求出A 的坐标；（2）先求出点C 的坐标，利用待定系数法求出ABC 外接圆的一般方程.
【详解】（1）因为AB 边上的高CH 所在直线方程为290x y +-=， 所以()21AB k ⨯-=-,解得：1
2
AB k =. 所以直线AB 的方程为()1
212
y x -=
+，即250x y -+=. 由5330250
x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩，即()3,4A .
（2）因为点C 在直线290x y +-=上，所以可设(),92C t t -，则BC 中点为1112,2
2t t --⎛⎫
⎪⎝⎭. 把1112,22t t --⎛⎫ ⎪⎝⎭代入直线AD ：5330x y --=，有0115323122t t --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⨯-⨯-=，解得：4t =，所以()4,1C .
经过()3,4A ，()1,2B -，()4,1C 可设为：220x y Dx Ey F ++++=, 所以()2222
2234340
12204140D E F D E F D E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪++++=⎪⎩
，解得：22726757D E F ⎧
=-⎪⎪⎪=-⎨⎪
⎪=-⎪⎩
, 所以ABC 外接圆的方程为2277222650x y x y +---=.
20．如图所示，曲线y x =上的点1,2,(),,i P i n =⋯⋯与x 轴正半轴上的点1,2,(),,i Q i n =⋯⋯及原点O 构成一系列正三角形1i i i PQ Q -（设0Q 为O ）
，记1n n n a Q Q -=.
(1)求1a ，2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)若132
n n n a b +=
，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，是否存在正整数m 使得2
2n m S m -<<恒成立？若存在，求出所有的正整数m ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)12
3a =，243
a =； (2)2
3
n a n =
； (3)2m =.
【分析】（1）设2
1111(,)(0)P t t t >，则由111tan 3
OP
k t π
==，可求出1t ，从而可1P 的坐标，从而可求出1a ，同理可求出2a 的值；
（2）设2
(,)(0)n n n n P t t t >，表示直线1n n P Q -的方程可得213n n n Q t -⎛⎫ ⎪⎝⎭，表示出直线n n P Q 的方程，可
得23n n n Q t ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，21113n n n Q t ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22
1133n n n n t t --=13n n t t --=，求出n t ，进而可求出n a ； （3）由（2）得1113212
22222
n n n n n
n n a n n n n b ++-++=
===-，然后利用裂项相消法可求出n S ，再由*N n ∈可求出n S 的范围，再由2
2n m S m -<<可求出m 的范围，从而可求出m 的值.
【详解】（1）设2
1111(,)(0)P t t t >，则
112111tan 3OP t k t t π=
===
1t =，
所以113P ⎛ ⎝⎭
， 所以11012
3
a Q Q OP ===
， 设2
2222(,)(0)P t t t >，
因为12,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，12222
23Q P t k t -==-
2t =
所以243P ⎛ ⎝⎭
，
所以221124
3
a Q Q Q P ===
； （2）设2(,)(0)n n n n P t t t >，得直线1n n P Q -
的方程为2
)n n
y t x t -=-，
所以21n n Q t -⎛⎫
⎪⎝
⎭，
所以直线n n P Q
的方程为2
)n n
y t x t -=-
，得2n n Q t ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，
所以211n n Q t --⎛⎫
⎪⎝
⎭，
所以2
2
1n n t t -=+ 因为0n t >
，所以1n n t t --=
所以11)n t t n =-=，
所以1(1),03n Q n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，11(1),03n Q n n -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
所以12
3
n n n a Q Q n -==； （3）1113212
22222
n n n n n n n a n n n n b ++-++=
===-， 所以12n n S b b b =++⋅⋅⋅+
0112123341222222
2n n n n -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
22n
n +=-
， 因为*N n ∈，所以2
222
n n n S +=-<， 因为0n b >，所以112
n S S ≥=
， 若2
2n m S m -<<恒成立，则22
1
22m m ⎧≥⎪⎨-<⎪
⎩，解得522m ≤<， 因为m 为正整数，所以2m =，
所以存在正整数2m =，使得2
2n m S m -<<恒成立.
21．已知圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |3
2
=． (1)求圆C 的标准方程；
(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝1相交于M ，N 两点． ①求证：
MA MB
为定值，并求出这个定值；
②求△BMN 的面积的最大值．
【答案】(1)()2
2
5251416x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ (2)①证明见解析，定值为1
2；②33
4
【分析】（1）利用垂径定理计算出圆的半径，从而得出圆心坐标，即可得出标准方程； （2）①设M （cosα，sinα），利用距离公式计算|MA |，|MB |，即可求出
MA MB
的值，得出结论；
②设直线MN 的方程1
2
y kx =+，代入单位圆方程消元，利用根与系数关系求出M ，N 两点到y 轴距
离之和的最大值，即可求出三角形面积的最大值．
【详解】（1）
（1）过C 向y 轴作垂线，垂足为P ，则|CP |＝1，|BP |1
2=|AB |34
=， ∴圆C 的半径为|BC
|54=
，故C （1，5
4
）， ∴圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+（y 5
4-）22516
=．
（2）①由（1）可知A （0，1
2），B （0，2），
设M （cosα，sinα），则2
2
2
15cos sin sin 24MA ααα⎛
⎫=+-=- ⎪⎝
⎭
()22
2cos sin 254sin MB ααα=+-=-
∴2
25
14544sin MA sin MB
αα-==-，故MA MB 为定值12． ②设直线MN 的方程为1
2
y kx =+，
联立方程组221
12x y y kx ⎧+=⎪⎨=+
⎪⎩
，消元得()22
3104k x kx ++-=，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则122
1k x x k +=-+，1223
41x x k -
=+，
∴|x 1﹣x 2
|==
=211t k =+≥，则 |x 1﹣x 2
|=
当t ＝1时，|x 1﹣x 2|
∴△BMN 的面积S △BMN 12=
•|AB |•|x 1﹣x 2|34=|x 1﹣x 2
|， ∴△BMN
22．已知单位圆22:1O x y +=过圆外一点M 作圆O 的两条的切线1l ，2l . (1)当12l l ⊥时，求动点M 的轨迹方程；
(2)记直线1l ，2l 的斜率分别是1k ，2k ，若122k k +=，求动点M 的轨迹方程；
(3)现有曲线方程2
21:14x E y +=，过曲线外一点()00,N x y 作两条互相垂直的切线，请直接写出0x 和0
y 满足的关系式；若曲线方程为2
22:14
x E y -=呢？0x 和0y 满足什么关系式？（直接写出）
【答案】(1)222x y +=
(2)(
)()1,,11,y x x x ⎛⎫⎛=-∈-∞-⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
(3)曲线方程22
1:14
x E y +=为22005x y +=；曲线方程为222:14x E y -=为220
03x y +=
【分析】（1
）易得OM =(),M x y ，根据两点得距离公式即可得解；
（2）设()00,M x y ，设过点M 的切线方程为()00y y k x x -=-，根据圆心到直线得距离等于半径，结合韦达定理及122k k +=即可得出答案，注意变量得范围；
（3）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，当两条切线斜率都存在时，设切线方程为
()00y y k x x -=-，联立方程，根据Δ0=结合两直线垂直，利用韦达定理即可得解.
【详解】（1
）解：由题意得OM = 设(),M x y ，
222x y +=， 所以动点M 的轨迹方程为222x y +=； （2）解：设()00,M x y ，
设过点M 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，
1=，
整理得()222
00001210x k x y k y --+-=，
12,k k 即为此方程得两根， 则00122
0221x y k k x +=
=-，整理得000
1
y x x =-， 因为M 在圆外，所以22
01x y +>， 则2
2
0011x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，解得201x >或20102x <<， 所以(
)()0,11,22x ⎛⎫⎛∈-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
所以动点M 的轨迹方程为(
)()1,,11,y x x x ⎛⎫⎛=-∈-∞-⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭； （3）解：当一条切线斜率存在另一条不存在时， 点N 的坐标为()2,1±或()2,1±，
当两条切线斜率都存在时，设切线方程为()00y y k x x -=-， 联立()
0022
14
y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩， 消y 得()()
222222
00000000888848440ky k x x ky k x x k x kx y y -+-+-+-=， 则()()()2
2222200000
0008848848440ky k x ky k x k x kx y y ∆=----+-=， 整理得()222
0004210x k x y k y --+-=， 则2012201
4
y k k x -=-，
因为两切线垂直，所以20122
01
14
y k k x -==--， 即220
05x y +=， 当点N 的坐标为()2,1±或()2,1±时，上式也成立，
所以0x 和0y 满足的关系式为22
05x y +=， 同理若曲线方程为222:14
x E y -=，0x 和0y 满足的关系式为22
003x y +=.
【点睛】关键点点睛：本题考查了平面中的轨迹及圆的切线问题，在解决圆的切线的问题时，通常是用圆心到切线的距离等于半径，而直线与圆锥曲线的相切问题，通常是联立方程，根据Δ0=来解题.。