第三章曲率函数图形的描绘

[1 (2ax b)2 ]2
公式：k
y 3.
(1 y2 )2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
10
摆线
例3
t为何值时,
曲线

x y

a(t a(1

sin t); cos t),
(t) (t) 3(t)
(t) .
(t) (t) (t) (t)
k
3.
[ 2(t ) 2(t )]2 9
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
0
0
y


0
y
极 大
拐 点
极大点: x 5 , 极大值: f (5) 13.5 ,
拐点为 (1, 0) .
lim
x
(x 1)3 (x 1)2


,
曲线无水平渐近线 .
lim
x1
( (
x x

1)3 1)2


,
x 1为垂直渐近线 .
lim
x
lim
x
f
(x)

4( x
lim[
x
x2
1)

2]
2,
水平渐近线
y

2;
26
函数图形的描绘
4( x 1) f (x) x2 2
f
(
x)


4(
x x3
2)
f
( x)

8( x x4
3)
lim
x0
f
(x)

4( x 1)
lim[
x0
x2

2]
,铅直渐近线
拐点 (3, 26)
9
补充点
1
(1 3,0), (1 3,0),

3

2 1O

12
x
(1,2), (1,6), (2,1).
2
3
28
例5
作出函数
y

(x 1)3 (x 1)2
的图形 .
解 函数的定义域 : x (, 1) (1, ) .
ds s0 s s0 s
直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率
K
d
lim
s r

lim
1
1，
ds s0 s
s0 r r
圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
圆的半径越小曲率越大.
8
2.曲率的计算公式
(1) 设y f ( x)二阶可导, tan y,
f
(x) x

lim
x
(x 1)3 x (x 1)2
1
a 1
lim(
x
f
(
x)

a
x)

lim
x

5
x2 (x
2x 1) 2

1

5
曲线有斜渐近线 y x 5.
曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系:
①过同一点 ②有公切线
③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
13
例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.
y0.8x y0.8

|
MM MM

|

2

1


y x

2


y
M
令x 0 取极限, M M ,
即
| MM |
lim
1
MM | MM |
O
M
M
0s
s y
x
x0 x x x x
又
lim y y x0 x
得 ds dx
y
y sin x

x
y 0
O
x
例2 求曲线 y ln x 的渐近线.
解 y ln x 的定义域： x (0, )
lim ln x , x0
x 0 是曲线
y y ln x
y ln x 的垂直渐近线.
O1
x
例3. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
(t), (t),
dx
dy


(t )dt ,
(t)dt,
ds 2(t) 2(t)dt.
如曲线以极坐标方程给出 ( )
可化为参数方程形式
x ( )cos

y


(
) s in
代入公式,得 ds [( )]2 [( )]2d .
M0
S
.M)
M.
S
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
7
例1 (1) 直线的曲率
K d lim lim 0 0，
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
15
§3.6 函数图形的描绘
渐近线(asymptotic line) 图形描绘的步骤 作图举例
16
现在我们还不能很好地 作出函数的图形 , 因为还不 知道如何求曲线的渐近线 .
中学就会求 了.
一、曲线的渐近线
定义 若动点 P 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无
有 arctan y,
d

y 1 y2
dx,
(2)
ds 1 y2dx. K d ,
ds
设
x y


(t ), (t ),
二阶可导,
y
k
3.
(1 y2 )2
dy (t) , dx (t)
d2y dx2

(t )
O
x
lim 1 0 , 水平渐近线 y 0 . x x lim 1 , 垂直渐近线 x 0 . x0 x
例1 求曲线 y sin x 的渐近线 .
x
解 lim sin x 0 ,
x x y 0 是曲线 y sin x 的水平渐近线 .
x
曲线可以穿过 其渐近线 .
§3.7 曲 率
前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量。
1
一、弧微分 y
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
设对应于x的增量x, 弧 s
的增量为 s, 那末
O
s M0 M M0M M M
M
M
M
0s
s y
x
x0 x x x x
于是

s x
2


MM x
2

|
MMMM| 2

| MM |2
(x)2

|
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f
(x)

4( x x2
1)

2
f ( x)
f ( x)
水平渐近线:
0
0

y 2, f ( x)
拐点 极小
垂直渐近线:
y值
x 0.
作图
6
不存在

间 断 点
极小值 f (2) 3
基点 : A( x0 , y0 ),
o
M ( x, y)为任意一点,
AM
x0
x
N
T R
x x x
规 (1)曲线的正向与x增大的方向一致; 定 (2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号,相反时, s取负号.
2
s s( x)单调增函数. y
设M( x x, y y), 如图，
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
MxLeabharlann 作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
MMMM| 2

(x)2 (y)2 (x)2

|
MMMM| 2
1


y x
2


3
s x

s x

2

|
MMMM|
2

1


y x

2


限远离坐标原点时, 动点 P 到一直线 L 的距离 趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
水平渐近线
曲
线
的
渐
垂直渐近线
近
线
斜渐近线
两种渐近线的定义
1. 铅直渐近线 (垂直于x轴的渐近线)
如果lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
y|x00 y|x00.8. 把它们代入曲率公式 得
| y|
K
0.8.
(1 y2)3 2
抛物线顶点处的曲率半径为
K11.25.
因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径
不得超过2.50单位长. 14
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
y

(
x
1)2 (x (x 1)3
5)
,
y

24(x 1) (x 1)4
,
令 y 0 , 得驻点 x 1, x 5 ,
令 y 0 , 得拐点可疑点 x 1,
x (, 5) 5 (5, 1) 1 (1, 1) 1 (1, )
y
5
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度越大,
转角越大
S1
M
M
N
S2 N

转角相同，
弧段越短，弯曲程度越大
6
y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点. MM s ,
M M 切线转角为 .
D 曲率中心, 曲率半径.
12
注意:1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 即 1 ,k 1 . k 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
t

(0,
2
)
的曲率最小？求出最小曲率, 写出该点的曲率半径.
解
K (t )

| y |
3
[1 ( y)2 ]2

4a
|
1 sin
t
, |
要使K(t)最小,
2
等价于 | sin t |最大, 故当 | sin t | 1, 即 t
2
2
曲率最小, 且
K min

1, 4a
R 1 4a. K
y 2 为水平渐近线; lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线.
x1 x 1
2 1
函数图形的描绘
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数的定义域、值域、间断点, 判定 函数是否有奇偶性、周期性.
讨论函数的单调性和极值, 曲线的凹凸性 和拐点, 渐近线.

1 y2
s s( x) 为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
弧微分公式
4
弧微分公式 ds 1 y2dx
如将dx写到根式内,得 ds (dx)2 (dy)2 .
如曲线x x( y), 则 ds 1 x2dy.
如曲线为参数方程

x y
x x0
那么 x x0就是y f ( x)的一条 铅直渐近线.
2. 水平渐近线 (平行于x轴的渐近线)
如 果lim f ( x) b 或 lim f ( x) b(b为常数)
x
x
那么 y b就是 y f ( x)的一条 水平渐近线.
20
y y1
x
x

0.
无斜渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0


f (x)
拐点
(3, 26) 9
极小 值 3
间 断 点
27
函数图形的描绘
函数图形的描绘
适当计算曲线上一些点的坐标, 特别注意 是否与坐标轴是否有交点.
25
三、作图举例
例4
作函数
f (x)
4(
x x2
1)

2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,
f
(
x)


4(
x x3
2)
,
f
(
x)

8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得x 3.