圆锥曲线第二定义内容及推论

圆锥曲线第二定义内容及推论
本系列将介绍圆锥曲线的基础知识。

圆锥曲线主要有椭圆、抛物线、双曲线。

下面主要介绍它们的定义、标准方程、几何性质和一些特征量。

同时，圆锥曲线的统一定义，即第二种定义，也将在下面介绍。

本文首发于如下：数学那些事sunsnow。

概述了双曲线的定义和几何性质。

1 双曲线定义
1 第一定义
平面内与两个定点f_1、f_2的距离之差的绝对值等于常数
2a( 0 < 2a < |f_1f_2| )的点的轨迹称为双曲线。

即双曲线上的点m满足
\left\|m f_{1}|-| m f_{2}\right\|=2 a \\
其中f_1、f_2为双曲线的焦点，2c=|f_1f_2|为双曲线的焦距，2a为双曲线的实轴。

2 第二定义
平面上到定点f与到定直线l距离之比为常数e( e>1 )的点的轨迹为双曲线。

其中，定点f为双曲线的焦点，定直线l为双曲线的准线，常数e为双曲线的离心率。

2 几何性质
标准方程
双曲线的标准方程为
\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-
\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ &\frac{y^{2}}{a^{2}}-
\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\
上面表达式所表示的双曲线焦点在x轴上；下面表达式所表示的双曲线焦点在y轴上。

可见，哪个坐标前面的系数为正，双曲线焦点就在哪个轴上。

下面以焦点在x轴上的双曲线为例进行介绍。

即：
\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-
\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{aligned} \\
几何图形
离心率
双曲线的离心率e定义为
e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1 +\frac{b^{2}}{a^{2}}} \\
显然双曲线的离心率范围为 e>1 。

且离心率越大，双曲线的开口就越大。

准线
双曲线有两条准线，方程为：
x=\pm \frac{a^{2}}{c} \\
很明显，两个directrixs垂直于实轴，在两个顶点内。

渐近线
双曲线有两条渐近线，求法为令双曲线方程等式右侧为 0 ，
即
\begin{aligned} &\frac{x^{2}}{a^{2}}-
\frac{y^{2}}{b^{2}}=0 \end{aligned} \\
解出来的直线方程即为渐近线，即
y=\pm \frac{b}{a} x \\
一些特殊的双曲线
实轴和虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，此时双曲线方程可表示为(以焦点位于x轴为例)：
x^{2}-y^{2}=a^{2} \\
其离心率为
e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{2} \\
其准线方程为
y=\pm \frac{a}{a} x=\pm x \\
如果一条双曲线的实轴和虚轴是另一条双曲线的实轴和虚
轴，则它们是共轭双曲线。

显然，它们有共同的渐近线，四个焦点是同心的。

方程式和示意图如下所示。

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad
\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1 \\
一些特征量
3 总结
以上是双曲线基础知识的介绍，基本概念需要牢牢掌握。