应变状态分析
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简化： εx +εy εx −εy γ xy εα = + cos 2α − sin 2α 2 2 2 γ xy γα εx −ε y = sin 2α + cos 2α 2 2 2 平面应力公式： σ x +σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ x sin 2α 2 2 σ x −σ y τα = sin 2α + τ x cos 2α 2
∂u′ ∂u ′ ∂x ∂u ′ ∂y ε x′ = = + ∂x ∂x ∂x′ ∂y ∂y′ ∂v′ ∂u ′ γ x′y′ = −( + ) ∂x′ ∂y′
求导整理后：
ε x′ = ε x cos 2 α + ε y sin 2 α − γ xy sin α cos α γ x′y′ = 2(ε x − ε y ) sin α cos α + γ xy (cos 2 α − sin 2 α )
∂u ′ ε′ x = ∂x′
ε′ y =
γ x′y′ = −(
∂v′ ∂u ′ + ) ∂x′ ∂y′
y’
y r
v v’ M u i’
α
M’ u’ x’ x
坐标轴旋转公式：
j’
j i
u ′ = u cos α + v sin α v′ = −u sin α + v cos α x = x′ cos α − y′ sin α y = x′ sin α + y ′ cos α
R1 R2 ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ∆U = U ( − − + ) 2 ( R1 + R2 ) R1 R2 R3 R4
接入的应变片电阻值相同时： ∆U = U
R1 R2 ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ( − − + ) ( R1 + R2 ) 2 R1 R2 R3 R4
U ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ∆U = ( − − + ) 4 R R R R kU = (ε 1 − ε 2 − ε 3 + ε 4 ) 4
εx +εy εx −εy γ xy εα = + cos 2α − sin 2α 2 2 2 γ xy γ γα εx −ε y = sin 2α + cos 2α 2 2 2 εx +εy εx −εy γ xy εα1 = + cos 2α1 − sin 2α1 2 2 2 εx +εy εx −εy γ xy εα 2 = + cos 2α 2 − sin 2α 2 2 2 2 εx +εy εx −εy γ xy εα 3 = + cos 2α 3 − sin 2α 3 2 2 2
由测点处的正应变确定应力状态
三、主应变及主方向
γ xy tan 2α 0 = − εx −εy
ε x − ε y 2 γ xy 2 ε max ⎫ ε x + ε y ± ( ) +( ) ⎬= ε min ⎭ 2 2 2
四、应变实测（应变花） 如果已知一点的三个应变分量 ε x , ε y , γ xy ，就可以求出 该点任意方向上的应变以及主应变。但是 γ xy很难测量， 故一般都选定三个方向，再联立求解。
应变状态理论
由测点处的正应变确定应力状态
一、位移与应变分量
y
v+
∂v dy ∂y
u+
∂u dy ∂y
β
α
∂v v + dx ∂x
(u +
εx =
L dy v U Μ u Ν dx
εy =
γ xy
∂v ∂y
∂u dx) − u ∂u ∂x = dx ∂x
∂u u + dx ∂x
x
∂v ∂u = α + β = −( + ) ∂x ∂y
I2
R4
U AD =
D
U
R1U R3U ∆U = U AB − U AD = − R1 + R2 R3 + R4 R1 R4 − R2 R3 = U ( R1 + R2 )( R3 + R4 )
∆U = U AB − U AD =
R1U RU − 3 R1 + R2 R3 + R4 R1 R4 − R2 R3 = U ( R1 + R2 )( R3 + R4 )
当电桥平衡时， ∆U 即：
=0
R1 R4 − R2 R3 = 0
实际测量时： ( R1 + ∆R1 )( R4 + ∆R4 ) − ( R2 + ∆R2 )( R3 + ∆R3 ) ∆U = U ( R1 + ∆R1 + R2 + ∆R2 )( R3 + ∆R3 + R4 + ∆R4 ) 略去高阶微量：
xy
一般取：
α1 = 0° ; α 2 = 45° ; α 3 = 90°
五、电测法
应变片
45 °应变花 45°
60 °应变花 60°
原始电阻值：120Ω，350Ω；1000Ω 发生应变后，R＋ΔR
∆R kε = R
K——灵敏度系数
B R1
I1
A R3
R2
C
∆U
U I1 = R1 + R2 U AB R1U = R1 + R2 R3U R3 + R4
B
R1 I1
A
R2
C R3 I2 R4 D
对臂同号，
∆U
邻臂异号
U
半桥接法：
B
R1
A R3 D
R2 C
∆U
A B
R4Uຫໍສະໝຸດ kU ∆U = (ε 1 − ε 2 ) 4 ε1 = ε A + ε t
ε 2 = −ε B + ε t
kU kU ∆U = (ε A + ε B ) = ε max 4 2
� � � U = ui + vj
由测点处的正应变确定应力状态
二、平面应变状态
y’
y r
v v’ M u i’
α
∂v′ ∂y′
M’ u’ x’ x
j’
j i
� � � U = ui + vj � � � U = u′i ′ + v′j ′
� � � � � � � � u ′i ′ + v′j ′ = ui + vj x′i ′ + y′j ′ = xi + yj
∂u′ ∂u ′ ∂x ∂u ′ ∂y ε x′ = = + ∂x ∂x ∂x′ ∂y ∂y′ ∂v′ ∂u ′ γ x′y′ = −( + ) ∂x′ ∂y′
求导整理后：
ε x′ = ε x cos 2 α + ε y sin 2 α − γ xy sin α cos α γ x′y′ = 2(ε x − ε y ) sin α cos α + γ xy (cos 2 α − sin 2 α )
∂u ′ ε′ x = ∂x′
ε′ y =
γ x′y′ = −(
∂v′ ∂u ′ + ) ∂x′ ∂y′
y’
y r
v v’ M u i’
α
M’ u’ x’ x
坐标轴旋转公式：
j’
j i
u ′ = u cos α + v sin α v′ = −u sin α + v cos α x = x′ cos α − y′ sin α y = x′ sin α + y ′ cos α
R1 R2 ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ∆U = U ( − − + ) 2 ( R1 + R2 ) R1 R2 R3 R4
接入的应变片电阻值相同时： ∆U = U
R1 R2 ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ( − − + ) ( R1 + R2 ) 2 R1 R2 R3 R4
U ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ∆U = ( − − + ) 4 R R R R kU = (ε 1 − ε 2 − ε 3 + ε 4 ) 4
εx +εy εx −εy γ xy εα = + cos 2α − sin 2α 2 2 2 γ xy γ γα εx −ε y = sin 2α + cos 2α 2 2 2 εx +εy εx −εy γ xy εα1 = + cos 2α1 − sin 2α1 2 2 2 εx +εy εx −εy γ xy εα 2 = + cos 2α 2 − sin 2α 2 2 2 2 εx +εy εx −εy γ xy εα 3 = + cos 2α 3 − sin 2α 3 2 2 2
由测点处的正应变确定应力状态
三、主应变及主方向
γ xy tan 2α 0 = − εx −εy
ε x − ε y 2 γ xy 2 ε max ⎫ ε x + ε y ± ( ) +( ) ⎬= ε min ⎭ 2 2 2
四、应变实测（应变花） 如果已知一点的三个应变分量 ε x , ε y , γ xy ，就可以求出 该点任意方向上的应变以及主应变。但是 γ xy很难测量， 故一般都选定三个方向，再联立求解。
应变状态理论
由测点处的正应变确定应力状态
一、位移与应变分量
y
v+
∂v dy ∂y
u+
∂u dy ∂y
β
α
∂v v + dx ∂x
(u +
εx =
L dy v U Μ u Ν dx
εy =
γ xy
∂v ∂y
∂u dx) − u ∂u ∂x = dx ∂x
∂u u + dx ∂x
x
∂v ∂u = α + β = −( + ) ∂x ∂y
I2
R4
U AD =
D
U
R1U R3U ∆U = U AB − U AD = − R1 + R2 R3 + R4 R1 R4 − R2 R3 = U ( R1 + R2 )( R3 + R4 )
∆U = U AB − U AD =
R1U RU − 3 R1 + R2 R3 + R4 R1 R4 − R2 R3 = U ( R1 + R2 )( R3 + R4 )
当电桥平衡时， ∆U 即：
=0
R1 R4 − R2 R3 = 0
实际测量时： ( R1 + ∆R1 )( R4 + ∆R4 ) − ( R2 + ∆R2 )( R3 + ∆R3 ) ∆U = U ( R1 + ∆R1 + R2 + ∆R2 )( R3 + ∆R3 + R4 + ∆R4 ) 略去高阶微量：
xy
一般取：
α1 = 0° ; α 2 = 45° ; α 3 = 90°
五、电测法
应变片
45 °应变花 45°
60 °应变花 60°
原始电阻值：120Ω，350Ω；1000Ω 发生应变后，R＋ΔR
∆R kε = R
K——灵敏度系数
B R1
I1
A R3
R2
C
∆U
U I1 = R1 + R2 U AB R1U = R1 + R2 R3U R3 + R4
B
R1 I1
A
R2
C R3 I2 R4 D
对臂同号，
∆U
邻臂异号
U
半桥接法：
B
R1
A R3 D
R2 C
∆U
A B
R4Uຫໍສະໝຸດ kU ∆U = (ε 1 − ε 2 ) 4 ε1 = ε A + ε t
ε 2 = −ε B + ε t
kU kU ∆U = (ε A + ε B ) = ε max 4 2
� � � U = ui + vj
由测点处的正应变确定应力状态
二、平面应变状态
y’
y r
v v’ M u i’
α
∂v′ ∂y′
M’ u’ x’ x
j’
j i
� � � U = ui + vj � � � U = u′i ′ + v′j ′
� � � � � � � � u ′i ′ + v′j ′ = ui + vj x′i ′ + y′j ′ = xi + yj