线段的和差倍分问题的证明

A
B
E D
C
线段的和差倍分问题的证明
证明线段的倍分问题： 一、运用定理法
即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =
2
1
AB 二、比例线段法
即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。

例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =
2
1
AC ， 求证：CE =2AD 。

对应练习
1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2
1
=
．
2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2
1
=
． Q A D
P C B E A
E
A
D
F
3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．
4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 2
7
=
二、割补法证明线段的和差问题：
这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。

但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。

下面请看一个例子。

例3、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .
例4、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，
求证：DB =DE +CE 。

A
D E B
C A
B
C D
E
F
对应练习
1、如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．
2、如图所示，已知ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：BC=AC+AD ．
3、如图所示，等边ABC ∆和等边BDE ∆，点A 在DE 的延长线上，求证：BD+DC=AD ．
证明线段的和差倍分问题作业
1、如图所示，在等腰三角形ABC 中，P 是底边BC 上的任意一点．（1）求证：P 点到两腰的
距离之和等于腰上的高．（2）若P 点在BC 的延长线上，那么点P 到两腰的距离与腰上的高
三者之间存在什么关系？
2、如图所示，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，︒=∠108A ，BD 平分ABC ∠．求证：BC=AB+DC ．
3、如图所示，已知ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，︒=∠45BAC ，AD 和CE 是高，它们相交于H ，求证：AH=2BD ． A O
E
B
C
D
A
D B A
E B
D C
M P
B C
F
D
A
E A B
D
C A E
H
线段的和差倍分问题的证明
一、运用定理法
即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.
求证：DM = 21AB
分析：如图，因为
2
1
AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。

∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。

说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。

“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。

1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2
1
=
．
2、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、
Q
A D
P C B E
AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ．
能力挑战1、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 2
1
=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．
能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ．
【经典练习】
1、如图所示，已知ABC ∆中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 2
1=．
2、已知：如图所示，D 是ABC ∆的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：AC=2AE ．
3、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120BAC ，D 是BC 的中点，AB DE ⊥于E ．求证：EB=3EA ．
A B E D E
C E A
E B
M
A
D
B
C
A
E
G B D
H F
A
D B C 1 2
4、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120BAC ，P 是BC 上一点，且︒=∠90BAP ．求证：PB=2PC ．
5、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．
6、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2
1
=．
二、割补线段法
这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上.
A
D E B
C A
B E
D C
A B C
求证：FG =AB -DE
分析：本题的关键在于构造一条线段， 使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线 段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化
为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。

例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .
证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90°
∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP
说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。

因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。

因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。

从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。

但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线
段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。

下面请看一个例子。

例4 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，
求证：DB =DE +CE 。

分析：通过分析题目的已知条件可知： △ABD ≌△CAE ,从而得AD =CE ，则DE +CE =AE ， 而BD =AE ，原命题得证。

常规题型1、如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．
能力挑战1、如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90BAC ，AD=AE ，BE AF ⊥交BC 于F ，过点F 作CD FG ⊥于M ，交BE 延长线于点G ，求证：BG=AF+FG ．
能力挑战2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠100A ，BE 平分ABC ∠，求证：AE+BE=BC ．
【练习】
A O
E
B C
D
A
D
E M C F
B G A
E B
1、如图所示，已知ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：BC=AC+AD ．
2、如图所示，若E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 为DAE ∠的平分线，AF 与CD 相交于F 点．求证：AE=BE+DF ．
3、如图所示，已知ABC ∆和ADE ∆均为等边三角形，B 、C 、D 在一直线上，求证：CE=AC+CD ．
4、如图所示，已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 是BAC ∠的平分线，求证：AB=AC+CD ．
5、如图所示，等边ABC ∆和等边BDE ∆，点A 在DE 的延长线上，求证：BD+DC=AD ．
三、比例线段法
即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得
A B C D E
A
D B A B C D E
F
A D
B C
A E B
D C
11 出线段之间的和差倍分关系。

例5 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。

分析与证：
因为“CE =2AD ”与“AB =2
1AC ”的倍分关系一致，因此想办法通过比例式将这些线段联系起来，连接DE ，则∠CDE =∠ABC ，故△CDE ∽△CBA ，得CE ：DE =AC ：AB =2，又由BD 为∠ABC 的平分线得DE =AD ，所以CE ：AD =2，即CE =2AD 。

运用定理法、割补法和比例线段法是证明线段的和差倍分问题常用的方法，它们的共同点是：通过变换，促使问题的转化从而达到证明的目的。

鉴于几何问题的复杂多样性，在证明线段的和差倍分问题时，不应局限于这三种方法，而应积极开动脑筋，拓展思路，即能够运用定势思维进行思考，又要防止定势思维的局限性。

证明线段的和差倍分问题作业
1、如图所示，在等腰三角形ABC 中，P 是底边BC 上的任意一点．（1）求证：P 点到两腰的距离之和等于腰上的高．（2）若P 点在BC 的延长线上，那么点P 到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系？
2、如图所示，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，︒=∠108A ，BD 平分ABC ∠．求证：BC=AB+DC ．
M
P B C F D A E A
B D C
12
3、如图所示，已知ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，︒=∠45BAC ，AD 和CE 是高，它们相交于H ，求证：AH=2BD ．
4、如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，P 是AC 的中点，过A 过BP 的垂线交BC 延长线于点D ，E 是垂足．若︒=∠30DBE ，求证：BP=4PE ．
A E H
B D
C A
P E C B D。