利用GGB软件辅助高中数学新教材函数教学

学
生通过观察发现:当底数 ０＜a＜１ 时,指数 函 数y＝ax
的图象呈现下降 趋 势,随 着 x 值 的 不 断 增 大,函 数 图
图２
响,可 以 利 用 GGB 软 件
画 出 四 个 指 数 函 数 y＝
x
x
x
２．
８,
８,
７,
y ＝１．
y ＝０．
x
８ 的 图 象 (图 ３)．
y＝０．
图３
还可以拖动滑 动 条,让 底 数 a 不 断 变 化,通 过 观 察 我
则
x２
x１x２ ＝b ３ 若 函 数 y ＝f (
x),
x)共 有 四 个 不 同 零 点,由 小 到 大 记 为 x１ ,
x２ ,
y＝g(
x３ ,
x４ ,则 x１x３ ＝x２x４ ＝b．
说明:这些 素 材,可 结 合 前 文 中 改 编 命 制 试 题 的
三步骤,命制新的试题,也可给学生探究 ．
７ 结束语
教学研究
２０２４ 年 ５ 月上半月
利用 GGB 软件辅助高中数学新教材
∗
函数教学
◉ 新疆昌吉州第一中学 李 梅
吉
学
院 蔡 华
◉ 昌
如果教师能 巧 妙 地 利 用 函 数 图 象 将 抽 象
摘要:函数是数学中一个重要的概念,也是新教材高中数学教学的重点和难点 ．
的问题转化为直观的图形,则可以帮助学生有效地理解函数,也可以大大降低学习函数的难度 ．
我国著名 数 学 家 华 罗 庚 先 生 曾 说:“出 题 比 做 题
”命 题 是
更难,题目要出得 妙,出 得 好,要 测 得 出 水 平 ．
一次由内而外的工作,是一 个 将 解 题 引 向 深 人 的 研 究
过程 ．
本次命题比赛,除 了 享 受 过 程,笔 者 体 验 了 一 回
“确定考查 目 标、选 择 恰 当 背 景、构 造 试 题 雏 形、打 磨
们发现在 y 轴 右 侧 区 域,底 数 越 大 图 象 越 高,顺 理 成
章也就总 结 出 了 指 数 函 数 图 象 在 y 轴 右 侧 区 域“底 大
图高”这一规律 ．
这 样 形 象 直 观,也 大 大 降 低 了 学 生 学
习指数函数的难度 ．
如果不使用信息技术,只 能 手 工 列 表 描 点 作 出 有
值、渐近线等一系列的相关性质 ．
在画图 时 可 以 用 滑 动 条 控 制
参数 a．
通过拖动 滑 动 条 观 察 a 对
图象产 生 的 影 响 ．
我 们 发 现:当 参
数 a＞０ 时,图 象 (图 ４)呈 现 出 对
勾形;当参数 a＜０ 时,图象(图 ５)
不 再 呈 现 对 勾 形;当 参 数 a ＝０
数的相关性 质,形 象 且 直 观,这 样 就 大 大 降 低 了 学 生
学习函数的难度 ．
３ 实例三:三角函数各参数对其图象的影响
在学习三 角 函 数 y＝As
i
n(
ωx ＋φ)的 图 象 时,学
图８
(
３)研究参数 φ 对函数图象的影响
通过改变变量 φ 的值,引导学生 观 察 总 结 出 φ 影
响的是函数的位置,如 图 ９．
nx＋
x
x－b 有:(
１)二 者 具 有 同 构 关 系 f (
l
nx)＝g (
x),
x
e )＝f(
x);(
２)函数 y＝f(
x),
x)共 有 两 个
g(
y＝g(
不同的零点,记为 x１ ,
x２ ,且 x１ ＋x２ ＝b．
e
x
结论 ２ 函数 f (
x)＝ －b 和 g(
x)＝
－b
x
l
nx
有:(
１)符合结论 １ 的 同 构 关 系,且 二 者 右 支 有 相 同 的
编号为 ２２JCJY００１．
２０
教学研究
２０２４ 年 ５ 月上半月
个具体的 函 数 图 象 就 可 以 代 表 一 般 的 函 数 图 象? 由
此得到的 性 质 是 否 可 靠? 利 用 GGB 软 件,作 图 更 加
能巧妙灵活使用 GGB 软件,把 其 中 的 参 数 A ,
ω,
φ均
x 的不断增大,
y 值也在不断增大,图象呈现出“一 撇”
状(如图 ２)．
图象的因素,就 很 难 真 正 掌 握 这 些 函 数,更 不 用 说 利
用相关的函数性质 来 解 决 实 际 问 题 了 ．
如果教师能巧
妙地利用函数图象将抽象 问 题 转 化 为 直 观 的 图 形,则
可以帮助学生有效地理解 函 数,也 可 以 大 大 降 低 学 习
图象是描述函数变量之间关系的途
径之一,中学 阶 段 要 研 究 的 函 数 主 要 有 一 次 函 数、二
次函数、指数函数、对数函数、三角函数和幂函数 等 ．
如
果学生不清楚这些函数的 图 象,或 者 不 明 确 影 响 函 数
象不断趋近于 x 轴,图象呈“一捺”状(如图 １);当底数
a＞１ 时,指数函数 y＝ax 的 图 象 呈 现 上 升 趋 势,随 着
用参数按钮设置成对应 的 变 化 框 或 者 滑 动 按 钮,展 示
方便,学生也 能 通 过 大 量 的 函 数 图 象 看 到 共 性,更 容
图象的变化 过 程,学 生 就 可 以 清 晰、直 观 地 感 受 到 每
易概括出指数函数的性质 ．
个参数对图象的影响 ．
２ 实例二:双曲函数的相关性质
a
在学习拓展内容———函数 f(
Ｇ
５６,
６０．
Z

(上接第 ２１ 页)
影响,可以很好地帮助学生理解这类函数的相关性质 ．
函数是高中数学的核 心 内 容,也 是 培 养 学 生 分 析
“数 形 结 合”法 能 够
问题和解决问题能 力 的 重 要 内 容 ．
这样就可以有效地辅助函数的教
在同 一 个 直 角 坐 标 系 中
函数图象,让 学 生 充 分 进 行 观 察 和 思 考,并 总 结 出 相
学．
本文中将 从 人 教 A 版 (
２０１９)高 中 数 学 必 修 第 一
册中三类 函 数 的 教 学 入 手,例 谈 如 何 有 效 利 用 GGB
软件辅助高中数学中的函数教学 ．
图４
时,函数的图象(图 ６)为 过 原 点 的
一条直线 ．
图７
图５
(
２)研究参数 ω 对函数图象的影响
通过改变变量 ω(
ω＞０)的 值,引 导 学 生 观 察 总 结
出 ω 影响的是函数的周期,如图 ８．
当 ω＝２ 时,图 象 上
图６
通过观察,发现图 ４ 和 图 ５ 中 的 曲 线 都 有 相 同 的
利用 GGB 软件展示一些常见
的函数图象,让学生充分进行观察和思考,并总结出相关函数的图形的特征 ．
这样就可以有效辅助函数的教学工作,从而相对
轻松地突破高中阶段的重点教学内容 ．
关键词:函数;
GGB 软件;辅助函数教学;数形结合
函数是数学中一个重 要 的 概 念,也 是 高 中 数 学 教
学的重点和难点 ．
当 φ＞０ 时,图 象 上 所 有 点
向左移动;当 φ＜０ 时,图象上所有点向右移动 ．
(下转第 ６６ 页)
生很难感受到每一 个 参 数 对 于 函 数 图 象 的 影 响 ．
如果
２１Байду номын сангаас
命题历程
２０２４ 年 ５ 月上半月
x)＝xl
nx－a．
g(
(
)
证明:
函数 f(
１
x),
x)都恰有一个零点;
g(
(
２)设函数 f(
x)的零点为 x１ ,
x)的零点为 x２ ,
g(
证明 x１x２ ＝a．
２
,
练习 ３ 已知函数 f(
x)＝ex －a (
x－２)
a＞０,
′(
x)为 f(
x)的导函数 ．
f
(
１)讨论 f (
x)的 单 调 性,设 f
′(
x)的 最 小 值 为
m ,并求证:
m ≤e２ ;
(
２)若 f(
际,结合学生 的 数 学 学 习 情 况,探 索 更 合 适 的 教 学 策
略,帮助学生掌握 更 好 的 学 习 方 法 ．
当 然,在 教 学 过 程
中不能仅关注知识和技 能 的 传 授,还 应 该 培 养 学 生 的
核心素养 ．
这就需要 教 师 注 重 培 养 学 生 的 数 学 思 维 和
图９
通过 GGB 软 件 作 图,我 们 可 以 准 确 地 展 示 图 象
使抽象的数学问题具体 化,将 数 学 的 研 究 方 法 和 解 题
策略具体化,能 让 学 生 在 学 习 中 更 好 地 理 解 知 识、掌
握方法 ．
而实现数形结合的 有 力 工 具 就 是 精 准 的 GGB
作图软件,所以我们要合 理、有 效、有 意 识 地 使 用 这 种
软件来助力教学 ．
高中函数教学要基于教材和学生实
到大记为 x１ ,
x２ ,
x３ ,
x４ ,则 x１x４ ＝x２x３ ．
结论 ３ 函数 f(
x)＝xex －b 和g(
x)＝xl
nx－
b 有:(
１)符合结 论 １ 的 同 构 关 系,且 二 者 有 相 同 的 最
小值;(
２)若函数 y＝f(
x),
x)共 有 两 个 不 同 零
y＝g(
,
;
(
)
点,记为 x１ ,
函数y＝f(
x),
x)共 有 四 个 不 同 的 零 点,由 小
y ＝g(
参考文献:
[
高考 数 学 试 题 情 境 的 创 设 实 践 [
中 国 考 试,
１]柯跃海 ．
J]．
２０２０(
６):
１
Ｇ
９．
[
如何设置恰当背 景 编 造 数 学 新 题[
数 学 通 讯,
２]李志敏 ．
J]．
２０２０(
１０):
５４
渐近线 y＝x．
当参数 a＞０ 时,函 数 f(
x)＝x ＋
a
在
x
所有点的横 坐 标 缩 短 为 原 来 的
１
１
;当 ω ＝ 时,图 象
２
２
上所有点的横坐标伸长为原来的 ２ 倍 ．
区间 (－ ∞ ,－ a ),(
０, a )上 单 调 递 减,在 区 间
(－ a ,
０),(a ,＋ ∞ )上 单 调 递 增;当 参 数 a＜０ 时,
１ 实例一:指数函数底数对函数图象的影响
在指 数 函 数 y ＝ax (
a＞０ 且 a≠１)的 教 学 过 程
中,若想研究底数 a 对 函 数 图 象 的 影 响,在 利 用 GGB
软件画图时,可以用滑动条控制参数 a,通过拖动滑动
条,仔细观察 a 对 图 象 产 生 的 影 响,然 后 进 行 总 结 ．
a
函数 f(
x)＝x＋ 在区间(－∞ ,
０),(
０,＋ ∞ )上 均 单
x
调递增 ．
不论参数a 取何值,函数的图象均关于原点对
a
称,函数 f(
x)＝x＋ 为奇函数 ．
x
所以利用 GGB 软件可 以 轻 松 作 出 双 曲 函 数 的 图
象,通过对精 准 函 数 图 象 的 观 察,学 生 很 容 易 了 解 函
函数 的 难 度．
近 年 来,
GGB 软 件 是 一 种 操 作 简 单 方 便
且形象直观、功 能 强 大 的 数 学 作 图 软 件,使 用 范 围 非
图１
为了 进 一 步 研 究 底
常广泛 ．
我们可以充分利用 GGB 软件展示一些常见 的
数的 变 化 对 图 象 的 影
关函数的图象特征 ．
限的几个人为设定的特 殊 函 数 的 图 象,然 后 观 察 这 几
个图象来 讨 论 指 数 函 数 的 性 质,显 然 会 带 来 一 些 问
题,比如,为 什 么 要 画 这 几 个 函 数 的 图 象? 为 什 么 几
∗ 项目信息:昌吉学院教科研项目(基础教育研究)“利用 Geogebr
a软件培养直观想象素养的高中函数教学研 究”,项 目
x)＝x＋ 时,可 以
x
利用 GGB 软件 画 出 相 应 的 函 数 图 象,然 后 观 察 函 数
(
１)研究参数 A 对函数图象的影响
可以输入不同的 A (
A ＞０)值,让学生观察总结出
A 对 函 数 的 最 值 是 有 影 响 的,对 周 期、单 调 性 均 不 产
生影响,如图 ７．
的 图 象,就 可 以 轻 松 看 出 函 数 的 单 调 性、奇 偶 性、最
x)有三个零点,求 a 的取值范围 ．
说明:三道习题层层递进,适合学后反馈练习 ．
６ 试题的变式推广
在学生学有余力的情 况 下,教 师 可 引 导 学 生 对 其
他常见函数作进一步探究,从 而 把 本 试 题 进 一 步 变 式
推广,得到如下结论 ．
结论 １ 函数 f(
x)＝e ＋x－b 和g(
x)＝l
的变换,让学生能够直观地 感 受 到 每 个 参 数 对 图 象 的
６６
解决问题的能力 ．
数形结合法可以让学生更好地掌握
函数知识,形 成 数 学 思 维 和 解 决 问 题 的 能 力,从 而 提
高高中函数教学水平 ．
形成试题”的过程 [２],更重要的是发现自 身 不 足 ．
今 后,
笔者将以命制出富有创新、让 师 生 津 津 乐 道 的 新 题 为
目标不断学习,继续努力 ．
x
最小值;(
２)若函数 y＝f(
x),
x)共 有 三 个 不 同
y＝g(
,
,
,
(
的零点,由小到大记为 x１ x２ x３ 则 x２
３)若
２ ＝x１x３ ;