2020版高考数学大二轮复习第二部分专题2数列增分强化练(十三)(文)

增分强化练(十三)
考点一 利用递推关系或S n 、a n 的关系求a n
1．(2019·晋城模拟)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *
都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________.
解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，
所以a 2－a 1＝3， a 3－a 2＝4，
a 4－a 3＝5，
…，
a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，
上面n －1个式子左右两边分别相加
得a n －a 1＝(n ＋4)(n －1)2
， 即a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2
， 所以a 39＝40×412
＝820. 答案：820
2．(2019·宝鸡模拟)若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝8.
因为a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2
n －1a n ＝8n ， 所以a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2
n －2a n －1＝8n －8，(n ≥2) 两式相减得2
n －1a n ＝8＝23， 所以a n ＝2
4－n (n ≥2)，适合n ＝1. 所以a n ＝2
4－n . 答案：24－n
考点二 数列求和
1．(2019·安阳模拟)已知各项为正的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且－a 2,15，S 3依次成等差数列．
(1)求a n ；
(2)若b n ＝10－2n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设各项为正的公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＝3，且－a 2,15，S 3依次成等差数列．
所以S 3－a 2＝30，即a 1＋a 1q 2
＝30
解得q ＝3或－3(负值舍去)．
故a n ＝3·3n －1＝3n
.
(2)由于b n ＝10－2n ，则a n ＋b n ＝3n
＋10－2n ，
所以T n ＝(31＋32＋ (3)
)＋(8＋6＋…＋10－2n )
＝3(3n －1)3－1＋n (8＋10－2n )2＝3n ＋12－n 2＋9n －32.
2．(2019·湛江模拟)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝－12n 2＋212n .
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
a 2n a 2n ＋2
，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .
解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n 2＋212n ＋12(n －1)2－212(n －1)＝－n ＋11，
当n ＝1时，满足上式，∴a n ＝－n ＋11.
(2)由a n ＝－n ＋11，
可得b n ＝1
a 2n a 2n ＋2＝1(2n －11)(2n －9)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
2n －11－1
2n －9，
∴T n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9－1
－7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
－7－1
－5＋
⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －11－1
2n －9
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－9－1
2n －9
＝－118－1
4n －18.
3．(2019·汕头模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝19，S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 20的值． 解析：(1)当n ≥2时，因为S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)，① 所以S n －1＝(n －1)a n ＋n (n －1)，②
①－②得：a n ＝na n ＋1－(n －1)a n ＋2n ，
即a n ＋1－a n ＝－2(n ≥2)，
又S 1＝a 2＋2即a 2－a 1＝－2，
所以数列{a n }是以19为首项，－2为公差的等差数列， 所以a n ＝19＋(n －1)·(－2)＝21－2n .
(2)由(1)知a n ＝21－2n ，
所以b n ＝|a n |＝|21－2n |，
因为当n ≤10时a n >0，当n >10时a n <0， 所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－2n ，n ≤10
2n －21，n >10，
所以T 20＝b 1＋b 2＋…＋b 20
＝(19＋17＋...＋1)＋(1＋3＋...＋19) ＝2(19＋17＋ (1)
＝2×(19＋1)×102＝200.
考点三 数列的应用与综合问题 (2019·三明质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)设b n ＝log 2(S 3n ＋2)，数列⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求证17≤4T n <13.
解析：(1)因为a n ＋1＝S n ＋2，① 所以当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，② ①－②得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1， 即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，
又因为a 2＝a 1＋2＝4，即a 2＝2a 1， 所以a n ＋1＝2a n (n ≥1)，
即数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列， 所以a n ＝2·2n －1＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1
， 则S n ＝a n ＋1－2＝2n ＋1
－2.
(2)证明：由(1)得S 3n ＝23n ＋1
－2，
所以S 3n ＋2＝23n ＋1
，
则b n ＝log 223n ＋1
＝3n ＋1，
则1b n b n ＋1＝1
(3n ＋1)(3
n ＋4)
＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3n ＋1－13n ＋4，
所以T n ＝1
b 1b 2＋1
b 2b 3＋…＋1
b n b n ＋1
＝13×⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…
⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3n ＋1－1
3n ＋4
＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－13n ＋4＝112－13(3n ＋4)
. 因为13(3n ＋4)>0，所以T n <112
. 又T n ＝n 4(3n ＋4)＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋4n ，当n ＝1时，T n 取得最小值为128， 所以128≤T n <112
，即17≤4T n <13.。