理论力学课后答案10

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四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
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我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
10.9 质量为 m1 和 m2 的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为 r1 和 r2 并装在同一轴的鼓轮上，已知鼓轮对转轴 O 的转动惯量为 J ，系统在重力作用 下发生运动，求鼓轮的角加速度。
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1 (a)： mr 2 2 1 (b)： m(r 2 2e 2 ) 2
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解：
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
10.2 如图所示，质量为 m 的偏心轮在水平地面上作平面运动。轮子轴心为 A ， 质心为 C ， AC e ，轮子半径为 R ，对轴心 A 的转动惯量为 J A ； C 、 A 、 B 三 点在同一铅直线上。 (1)当轮子只滚不滑时，若 v A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 (2)当轮子又滚又滑时，若 v A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。
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系统对 z 轴动量矩守恒。设圆盘角速度为 。则圆盘和人对轴 z 的动量矩分 别为 1 hz1 MR 2 2 ds hz 2 rm(r ) mr 2 mrat dt 初始时刻动量矩为零： hz1 hz 2 0 2mrat MR 2 2mr 2 2mra MR 2 2mr 2
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对点 B 动量矩：
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轮子动量： mvC m(vA e )
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解： 轮对质心 C 转动惯量： J C J A me2 (1)轮纯滚动， Re 轮心速度为： vC ( R e) vA R Re 轮子动量： mvC m vA R Re mvA ( R e) J C R 对点 B 动量矩： v [ J A me2 m( R e) 2 ] A R (2)轮又滚又滑 轮心速度为： vC vA e
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解： 圆盘和人组成的系统的受力如图
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10.8 滑轮重 FW 、半径为 R ，对转轴 O 的回转半径为 。一绳子绕在滑轮上，一 端系一重为 FP 的物体 A 。 滑轮上作用一不变转矩 M ， 忽略绳的质量， 求重物 A 上 升的加速度和绳的拉力。
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10.12 圆轮 A 重 FP1 ， 半径为 r1 ， 可绕 OA 杆的 A 端转动； 圆轮 B 重 FP 2 ， 半径为 r2 ， 可绕其轴转动。现将 A 轮放在轮 B 上。两轮开始接触时，轮 A 的角速度为 1 ， 轮 B 处于静止。放置后，轮 A 的重量由轮 B 支持，略去轴承的摩擦和杆 OA 的重 量，两轮可视为均质圆盘，并设两轮间的动摩擦系数为 f 。问自轮 A 放在轮 B 上 起，到两轮间没有滑动时止，经过多少时间？
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mgh J C mh2
T2 h ) 4π 2 g
即：
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J C mgh(
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解： 从左向右看，如图
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1 1 T 2π
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mgh sin J D J D
而 所以
当微小摆动时， sin 所以 mgh 0 ( J C mh2 ) 根据单自由度系统振动特性，有
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J D ( J C mh2 )
mgh sin ( J C mh2 )
m(v A e ) ( R e) J C m( R e)v A ( J A meR)
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10.3 撞击摆由质量为 m1 的摆杆 OA 和质量为 m2 的摆锤 B 组成。若将杆和锤视为 均质细长杆和等厚圆盘，并已知杆长为 l ，盘的半径为 R ，求摆对轴 O 的转动惯 量。
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10.6 小球的质量为 m ，连在细线的一段，线的另一端穿过光滑水平面上的小孔 O ，令小球在水平面上沿半径为 r 的圆作匀速圆周运动，速度为 v ，如将绳往下 r 拉，使圆的半径缩小为 ，求此时小球的速度和线的拉力。 2
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0 (1 f 2 )r0 2 fg (1 f )
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10.11 图示两轮的半径各为 R1 和 R2 ，其质量各为 m1 和 m2 ，两轮以胶带相连接， 各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为 M 1 的主动力偶，在第二 个带轮上作用矩为 M 2 的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与带轮间无滑动， 且胶带质量不计。求第一个带轮的角加速度。
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10.10 均质圆柱重 FP ，半径为 r ，放置如图并给以初角速度 0 。设在 A 和 B 处的 动摩擦系数皆为 f ，问经过多少时间圆柱才静止？
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解： 圆柱受力如图。因为质心静止，所以 N A FB N B mg FA 由于是动滑动摩擦，所以有 FB fN B FA fN A fFB f 2 N B 于是有 N B mg FA mg f 2 N B 所以： mg NB 1 f 2 由此得 f 2 mg FA 1 f 2 fmg FB 1 f 2 根据动量矩定理，有： 1 ( FA FB )r mr 2 2 所以： 2 fg (1 f ) ，方向与 0 相反 (1 f 2 )r
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后
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8 (c)： OA 对 Oy 轴转动惯量： J OA ml 2 3 BC 对 Oy 轴转动惯量： J BC ml 2 8 11 动量矩： ( ml 2 ml 2 ) ml 2 3 3
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解： 系统对转轴 O 的动量矩： LO m1r1 r1 m2 r2 r2 J (m1r12 m2 r22 J ) 根据对定点的动量矩定理： dLO d (m1r12 m2 r22 J ) m1 gr1 m2 gr2 dt dt d m gr m2 gr2 12 1 dt m1r1 m2 r22 J
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解：
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1 OA 杆对轴 O 的转动惯量： J O m1l 2 3 1 锤对对轴 O 的转动惯量： J B m2 R 2 m2 (l R) 2 2 系统对轴 O 的转动惯量： J O J B
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解： 两轮的受力图如下。
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运动学关系 R11 R2 2 对轮 1： 1 m1R121 M 1 (T1 T2 ) R1 2 对轮 2： 1 2 m2 R2 2 (T2 T1 ) R2 M 2 2 三式联立求解， 2( R2 m1 R1m2 ) 1 (m1 m2 ) R12 R2
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10.4 为求物体对于通过其质心 C 之轴 AB 的转动惯量 J C 。用两杆 AD 、 BE 和这 物体固结，并借这两杆将物体挂在水平轴 DE 上，轴 AB 平行于 DE ，使其绕 DE 轴作微小摆动，测出摆动周期 T 。如物体的质量为 M ，轴 AB 和 DE 之间的距离 为 h ，杆 AD 、 BE 的质量忽略不计，求转动惯量 J C 。
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解： 小球在运动过程中，对通过 O 点的铅垂轴的动量矩守恒。 对通过 O 点的铅垂轴的初始动量矩： mvr 对通过 O 点的铅垂轴的末动量矩： 0.5mv1r 所以： v1 2v 线的拉力维持小球的法向加速度 v2 v2 T 1 m 8m 0.5r r
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解： 设物体 A 上升速度为 v ，则系统对转轴 O 的动量矩为 FP FW 2 v FP R 2 FW 2 LO vR v g g R gR 根据对定点的动量矩定理： dLO FP R 2 FW 2 dv M FP R dt gR dt 所以： dv ( M FP R) gR a dt FP R 2 FW 2 容易求得绳子的拉力 F F ( M FP R) R FP ( MR FW 2 ) T FP P a FP P 2 g FP R FW 2 FP R 2 FW 2
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Байду номын сангаас
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我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
10.7 一半径为 R 、 质量为 M 的均质圆盘可绕通过其中心的铅垂轴无摩擦地转动， 1 质量为 m 的人在圆盘上相对于圆盘按规律 s at 2 绕此轴作半径为 r 的圆周运 2 动，开始时，圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度。
10.5 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm ，无初速地沿倾角 20 的轨道 只滚不滑，5 秒内轮心滚过的距离为 s 3 mm 。求轮子对轮心的回转半径。
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解： 假设轮心即为质心。轮受力如图。轮心加速度恒定。
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魏
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2s 0.24 m s 2 t2 根据质心运动定理，轮受到的静滑动摩擦力为 F mg sin ma m( g sin 20 a) 根据对轮心的相对动量矩定理 m 2 m( g sin 20 a)r 而： a r 代入值之后可得： 89.1 mm
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
10.1 计算下列情形中系统对定轴的动量矩： (a)均质圆盘质量为 m ，半径为 r ，以角速度 转动 (b)均质偏心圆盘半径为 r ，偏心距为 e ，质量为 m ，以角速度 转动； (c)十字杆由两个均质细杆固连而成， OA 长为 2l 、质量为 2m ， BC 长为 l ，质量 为 m 。以角速度 绕 Oy 轴转动。