2017-2018学年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高一(上)第一次段考数学试卷

2017-2018学年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高一（上）第一
次段考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）下列关于集合的说法中，正确的是（）
A．绝对值很小的数的全体形成一个集合
B．方程x（x﹣1）2=0的解集是1，0，1
C．集合{1，a，b，c}和集合{c，b，a，1}相等
D．空集是任何集合的真子集
2．（5分）已知集合A={0，1}，则下列式子表示错误的是（）
A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0，1}⊆A
3．（5分）设A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x﹣a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）
4．（5分）下列集合中，不是方程（x+1）（x﹣2）=0的解集的集合是（）A．{﹣1，2}B．{2，﹣1}C．{x|（x+1）（x﹣2）=0}D．{（﹣1，2）} 5．（5分）已知集合{b}={x∈R|ax2﹣4x+1=0，a，b∈R}则a+b=（）
A．0或1 B．C．D．或
6．（5分）已知集合M={（x，y）|3x+4y﹣12＜0，x，y∈N*}，则集合M的真子集个数是（）
A．8 B．7 C．6 D．4
7．（5分）设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}
8．（5分）已知f（x）=，则f（8）的值为（）
A．13 B．﹣67 C．1313 D．﹣6767
9．（5分）已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|﹣2≤x≤3}，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）
A．{x|0≤x≤}B．{x|﹣1≤x≤4}C．{x|﹣5≤x≤5}D．{x|﹣3≤x≤7} 10．（5分）函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）在区间[1，2]上是（）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数
11．（5分）定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（）
A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
12．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，且在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a2﹣a+1）与f（）的大小关系为（）
A．f（a2﹣a+1）＜B．f（a2﹣a+1）＞C．f（a2﹣a+1）≤D．f（a2﹣a+1）≥
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）下列四个推理：①a∈（A∪B）⇒a∈A②a∈（A∩B）⇒a∈（A∪B）③A⊆B⇒A∪B=B；④A∪B=A⇒A∩B=B．其中正确的为．
14．（5分）已知函数f（x）=2x+1，x∈[1，5]，则f（2x﹣3）=．15．（5分）若二次函数y=（m﹣1）x2﹣2mx+3是偶函数，则m的值为．16．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（x）＜f （1）的x的取值范围是．
三、解答题（共6小题，17题10分，其余各题均12分，共70分）17．（10分）.（1）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
（2）已知集合A={x|﹣5≤x≤3}，函数y=a﹣x2的值域为B．若A⊆B，求实数a 的取值范围．
18．（12分）设集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+c=0}，且A≠B，A∪B={﹣3，4}，A∩B={﹣3}，求a，b，c的值．
19．（12分）已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）判断函数h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性．
20．（12分）已知函数f（x）=．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．
21．（12分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
22．（12分）已知函数f（x）=4x2﹣4ax+（a2﹣2a+2）．
（1）若a=1，求f（x）在闭区间[0，2]上的值域；
（2）若f（x）在闭区间[0，2]上有最小值3，求实数a的值．
2017-2018学年内蒙古乌兰察布市北京八中分校高一（上）
第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）下列关于集合的说法中，正确的是（）
A．绝对值很小的数的全体形成一个集合
B．方程x（x﹣1）2=0的解集是1，0，1
C．集合{1，a，b，c}和集合{c，b，a，1}相等
D．空集是任何集合的真子集
【分析】通过集合的元素满足三个要素：确定性、互异性、无序性，A不满足确
定性；选项B不满足互异性选项D，由于空集是任意非空集合的真子集，故D错【解答】解：对于选项A，“很小”不确定，故A错
对于选项B，不满足集合的互异性，故B错
对于C，由于集合的元素满足无序性，故C对
对于D，由于空集不是其本身的真子集，故D错
故选：C．
【点评】判断一些对象是否能构成一个集合，关键是判断它们是否满足集合的三
元素：确定性、互异性、无序性．
2．（5分）已知集合A={0，1}，则下列式子表示错误的是（）
A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0，1}⊆A
【分析】根据元素与集合关系的表示法，可以判断A的真假；根据集合与集合关
系的表示法，可以判断B的真假；根据∅的性质可以判断C的真假；根据集合子
集的定义，可以判断D的真假，进而得到答案．
【解答】解：根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确；
根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假；
∅是任意集合的子集，故C正确；
根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，元素与集合关系的判断，集合的表示法．
3．（5分）设A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x﹣a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）
【分析】求出集合B，由A⊆B即可找到a所满足的不等式，解出它的取值范围．【解答】解：集合B=（a，+∞），A⊆B，则只要a≤﹣1即可，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故选：B．
【点评】考本题考查集合的关系的参数取值的问题，解题的关键是正确理解包含的含义，根据其关系转化出关于参数的不等式，求解本题可以借助数轴的直观帮助判断．
4．（5分）下列集合中，不是方程（x+1）（x﹣2）=0的解集的集合是（）A．{﹣1，2}B．{2，﹣1}C．{x|（x+1）（x﹣2）=0}D．{（﹣1，2）}【分析】方程（x+1）（x﹣2）=0的解集中含有两个元素﹣1和2，并不是点集{（﹣1，2）}．
【解答】解：∵方程（x+1）（x﹣2）=0的解集中含有两个元素﹣1和2，
并不是点坐标（﹣1，2），
∴{（﹣1，2）}不是方程（x+1）（x﹣2）=0的解集的集合．
故选：D．
【点评】本题考查集合的表示方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素的性质．
5．（5分）已知集合{b}={x∈R|ax2﹣4x+1=0，a，b∈R}则a+b=（）
A．0或1 B．C．D．或
【分析】由集合{b}={x∈R|ax2﹣4x+1=0，a，b∈R}，a=0，或△=16﹣4a=0．由
此进行分类讨论，能求出a+b的值．
【解答】解：∵集合{b}={x∈R|ax2﹣4x+1=0，a，b∈R}，
∴a=0，或△=16﹣4a=0．
当a=0时，{b}={x|﹣4x+1=0}={}，即b=，a+b=；
当△=16﹣4a=0时，a=4，
{b}={x|4x2﹣4x+1=0}={}，即b=，a+b=．
故选：D．
【点评】本题考查集合中元素的性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意不要遗漏a=0的情况．
6．（5分）已知集合M={（x，y）|3x+4y﹣12＜0，x，y∈N*}，则集合M的真子集个数是（）
A．8 B．7 C．6 D．4
【分析】根据已知条件，列举出M中的元素，利用集合含真子集的个数与集合中元素个数的关系求出集合M的真子集个数
【解答】解：因为M={（x，y）|3x+4y﹣12＜0，x，y∈N*}，
所以M={（1，1），（1，2），（2，1）}，
所以M中含有3个元素，
集合M的真子集个数有23﹣1=7
故选：B．
【点评】本题考查若一个集合含有n个元素则其子集的个数是2n，其真子集的个数为2n﹣1，属于基础题．
7．（5分）设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x≤1}D．{x|0＜x≤1}
【分析】图中阴影部分表示的集合为A∩C U B，结合已知中的集合A，B，可得答案．
【解答】解：图中阴影部分表示的集合为A∩C U B，
∵A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜1}，
∴A∩C U B={x|1≤x＜2}，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．
8．（5分）已知f（x）=，则f（8）的值为（）
A．13 B．﹣67 C．1313 D．﹣6767
【分析】由已知得f（8）=f（f（10））=f（f（f（12）））=f（f（144﹣131））=f（f （13））=f（169﹣131）=f（38），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（8）=f（f（10））=f（f（f（12）））=f（f（144﹣131））=f（f（13））
=f（169﹣131）=f（38）=382﹣131=1313．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
9．（5分）已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|﹣2≤x≤3}，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）
A．{x|0≤x≤}B．{x|﹣1≤x≤4}C．{x|﹣5≤x≤5}D．{x|﹣3≤x≤7}【分析】由函数y=f（x+1）的定义域求出函数f（x）的定义域，再求函数y=f（2x ﹣1）的定义域．
【解答】解：函数y=f（x+1）的定义域是{x|﹣2≤x≤3}，
∴﹣1≤x+1≤4，
即函数f（x）的定义域是{x|﹣1≤x≤4}；
对于函数y=f（2x﹣1），
令﹣1≤2x﹣1≤4，
解得0≤x≤，
∴函数f（2x﹣1）的定义域是{x|0≤x≤}．
故选：A．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．
10．（5分）函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）在区间[1，2]上是（）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义f（x）=f （﹣x），求出b的值后，最后由函数单调性的定义结合图象判断f（x）在区间[1，2]上的单调性即可．
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴1+a+2=0，解得a=﹣3，
由f（x）=f（﹣x）得，b=0，即f（x）=﹣3x2﹣2．
其图象开口向下，对称轴是y轴的抛物线，
则f（x）在区间[1，2]上是减函数．
故选：B．
【点评】本题考查了偶函数定义的应用、函数单调性的判断与证明，利用奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称，这是容易忽视的地方．
11．（5分）定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（）
A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据偶函数的对称性是解决本题的关键．
12．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，且在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a2﹣a+1）与f（）的大小关系为（）
A．f（a2﹣a+1）＜B．f（a2﹣a+1）＞C．f（a2﹣a+1）≤D．f（a2﹣a+1）≥
【分析】判断两个函数自变量的值的大小，利用函数的单调性求解即可．
【解答】解：a2﹣a+1=（a﹣）2+≥．
偶函数f（x）的定义域为R，且在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）是减函数；
则f（a2﹣a+1）≤f（）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）下列四个推理：①a∈（A∪B）⇒a∈A②a∈（A∩B）⇒a∈（A∪B）③A⊆B⇒A∪B=B；④A∪B=A⇒A∩B=B．其中正确的为②③④．
【分析】根据集合的基本运算即可判断．
【解答】解：①a∈（A∪B），可得a∈A或a∈B．∴①不对．
②a∈（A∩B）⇒a∈（A∪B），可得a∈A且a∈B．那么a∈（A∪B），∴②对．
③A⊆B，A是B的子集，那么A∪B=B；∴③对．
④A∪B=A，B⊆A，B是A的子集，那么A∩B=B．∴④对．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础
14．（5分）已知函数f（x）=2x+1，x∈[1，5]，则f（2x﹣3）=4x﹣5，x∈[2，4] ．
【分析】本题考查的知识是函数解析式的求法，由于已知中函数f（x）=2x+1，x ∈[1，5]，故我们可以用代入法求函数的解析式，但要注意对定义域的判断．【解答】解：∵f（x）=2x+1，x∈[1，5]，
∴f（2x﹣3）=2（2x﹣3）+1=4x﹣5
且2x﹣3∈[1，5]，
即x∈[2，4]
故f（2x﹣3）=4x﹣5，x∈[2，4]
故答案为：4x﹣5，x∈[2，4]
【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g （x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g （x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f （g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．
15．（5分）若二次函数y=（m﹣1）x2﹣2mx+3是偶函数，则m的值为0．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y=f（x）=（m﹣1）x2﹣2mx+3是偶函数，
∴f（﹣x）=（m﹣1）x2+2mx+3=（m﹣1）x2﹣2mx+3，
即2mx=﹣2mx，
∴2m=﹣2m，即m=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键，比较基础．
16．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（x）＜f （1）的x的取值范围是（﹣1，1）．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）＜f（1）等价为f（|x|）＜f（1），
即|x|＜1，
解得﹣1＜x＜1，
故答案为：（﹣1，1）
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
三、解答题（共6小题，17题10分，其余各题均12分，共70分）17．（10分）.（1）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
（2）已知集合A={x|﹣5≤x≤3}，函数y=a﹣x2的值域为B．若A⊆B，求实数a 的取值范围．
【分析】（1）分类讨论：由a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2，此时A=∅，满足A∩B=∅．a ＞﹣2时，由A∩B=∅，可得2a+1≤0或a﹣1≥1，即可得出．
（2）函数y=a﹣x2的值域为B=（﹣∞，a]．根据A⊆B，即可得出．
【解答】解：．（1）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，由a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2，此时A=∅，满足A∩B=∅．
a＞﹣2时，由A∩B=∅，可得2a+1≤0或a﹣1≥1，
解得或a≥2．
综上可得：实数a的取值范围是∪[2，+∞）．
（2）已知集合A={x|﹣5≤x≤3}，函数y=a﹣x2的值域为B=（﹣∞，a]．
∵A⊆B，∴3≤a．
∴实数a的取值范围是[3，+∞）．
【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）设集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+c=0}，且A≠B，A∪B={﹣3，4}，A∩B={﹣3}，求a，b，c的值．
【分析】由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．
【解答】解：∵A∩B={﹣3}，∴﹣3∈A且﹣3∈B，
将﹣3代入方程：x2+ax﹣12=0中，得a=﹣1，
从而A={﹣3，4}．
将﹣3代入方程x2+bx+c=0，得3b﹣c=9．
∵A∪B={﹣3，4}，∴A∪B=A，∴B⊆A．
∵A≠B，∴B⊈A，∴B={﹣3}．
∴方程x2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4c=0，
∴，
由①得c=3b﹣9，代入②整理得：（b﹣6）2=0，
∴b=6，c=9．
故a=﹣1，b=6，c=9．
【点评】本题主要考查了元素与集合间的关系，解题中运用到方程的相关知识，是一道综合题．
19．（12分）已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=2．
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）判断函数h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性．
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式；
（2）根据h（x）与h（﹣x）的关系判断结论．
【解答】解：（1）设f（x）=k1x，g（x）=，
则f（1）=k1=1，g（1）=k2=2，
∴f（x）=x，g（x）=．
（2）h（x）=x+（x≠0），
∴h（﹣x）=﹣x﹣=﹣h（x），∴h（x）是奇函数．
【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数奇偶性的判断，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）=．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．
【分析】（1）直接用函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）易得函数在[1，4]上的单调性，从而得到最值．
【解答】解（1）函数f（x）在[1，+∞）上是减函数．
任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是减函数，最大值f（1）=，最小值f （4）=
【点评】本题主要考查函数的单调性和最大（小）值，属于比较基础题．定义法证明函数单调性时常用变形技巧
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；（2）通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因
式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可考虑配方，便于判断符号
21．（12分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
【分析】（1）直接利用函数的性质奇偶性求出函数的解析式．
（2）利用函数的图象求出函数的单调区间．
【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x．
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）．
∴当x＜0时，f（x）=x2+2x．…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=
作出f（x）的图象如图所示．
…（8分）
由图得函数f（x）的递减区间是（﹣∞，﹣1]，[0，1]．…（10分）
f（x）的递增区间是[﹣1，0]，[1，+∞）．…（12分）
【点评】本题考查的知识要点：函数解析式的应用，函数的性质单调性的应用．
22．（12分）已知函数f（x）=4x2﹣4ax+（a2﹣2a+2）．
（1）若a=1，求f（x）在闭区间[0，2]上的值域；
（2）若f（x）在闭区间[0，2]上有最小值3，求实数a的值．
【分析】（1）求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到值域；（2）将f（x）配方，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得a的值．
【解答】解：（1），
x=时，取得最小值0，x=2时，取得最大值9，
∴f（x）在闭区间[0，2]上的值域为[0，9]；
（2）f（x）=4（x﹣）2+2﹣2a．
①当＜0即a＜0时，f（x）min=f（0）=a2﹣2a+2=3，解得：a=1﹣；
②0≤≤2即0≤a≤4时，f（x）min=f（）=2﹣2a=3，解得：a=﹣（舍）；
③＞2即a＞4时，f（x）min=f（2）=a2﹣10a+18=3，解得：a=5+．
综上可知：a的值为1﹣或5+．
【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题．。