新版【冀教版适用】初三数学上册《专训1 构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型》

专训1构造三角函数的基本图形解决实际问题中的四种数学模型
名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．
构造直角三角形解决实际问题
1．【中考·山西】太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)．
(第1题)
2．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
(第2题)
构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题
3．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M 的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
(第3题)
4．【中考·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1 m．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．【导学号：83182074】
(第4题)
5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．
(第5题)
构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题
6．【中考·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号)．【导学号：83182076】
(第6题)
7．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大
【导树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，求大树的高度(结果保留根号)．学号：83182075】
(第7题)
构造形如“”的两个直角三角形解决实际问题
8．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6 m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21 m，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．【导学号：83182077】
(第8题)
答案
1．解：如图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，则∠CAG ＝30°.
(第1题)
在Rt △ACG 中，CG ＝AC·sin 30°＝50×12＝25(cm )，∵GD ＝50－30＝20(cm )，∴CD ＝
CG ＋GD ＝25＋20＝45(cm )．
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，则∠H ＝30°， 在Rt △CDH 中，CH ＝CD sin 30°
＝2CD ＝90 cm ，
∴EH ＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290(cm )， 在Rt △EFH 中，EF ＝EH·tan 30°＝290×
33＝2903
3
(cm )． 答：支撑角钢CD 和EF 的长度各是45 cm ，2903
3
cm .
2．解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点C 作CH ⊥DF 于点H ，
(第2题)
则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，
在Rt △ADF 中，∵AF ＝80－10＝70(m )， ∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m .
在Rt △CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°， ∴CE ＝DE tan 30°＝103
3
＝103(m )．
∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )． 答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m . 3．解：由题易得，∠AMN ＝30°， ∠ABN ＝45°.
如图，过点A 作AC ⊥MN 于点C.
(第3题)
在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC
BC
，
∴BC ＝AC.在Rt △AMC 中，tan ∠AMC ＝AC
MC ，∴MC ＝3AC.
由MB ＝MC －BC ，得3AC －AC ＝400， ∴AC ＝200(3＋1)≈546(m )>500 m .
∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．
4．解：延长AD 交BC 的延长线于点G ，作DH ⊥BG 于点H ，如图．
(第4题)
在Rt △DHC 中，∠DCH ＝60°，CD ＝4 m ，
则CH ＝CD·cos ∠DCH ＝4×cos 60°＝2(m )，DH ＝CD·sin ∠DCH ＝4×sin 60°＝23(m )， ∵DH ⊥BG ，∠G ＝30°， ∴HG ＝DH tan G ＝23tan 30°＝6(m )，
∴CG ＝CH ＋HG ＝2＋6＝8(m )， 设AB ＝x m ，
∵AB ⊥BG ，∠G ＝30°，∠BCA ＝45°， ∴BC ＝x m ，BG ＝AB tan G ＝x tan 30°＝3x(m )．
∵BG －BC ＝CG ， ∴3x －x ＝8， 解得x ≈11.
答：电线杆的高(AB)约为11 m .
5．解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F.
在Rt △ABF 中，∠ABF ＝α＝60°，∴AF ＝AB·sin 60°＝20×3
2
＝103(m )． 在Rt △AEF 中，β＝45°，∴AF ＝EF.
∴AE ＝AF 2＋EF 2＝
（103）2＋（103）2＝106(m )． 即改造后的坡长AE 为10 6 m .
(第5题)
6．解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，BH 垂直水平线于点H ，
(第6题)
由题意得∠ACH ＝75°， ∠BCH ＝30°，AB ∥CH ， ∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝45°.
∵AB ＝32 m ，∴AD ＝CD ＝AB·sin 30°＝16(m )，BD ＝AB·cos 30°＝163(m )． ∴BC ＝CD ＋BD ＝(16＋163)m ， 则BH ＝BC·sin 30°＝(8＋83)m .
即这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m . 7．解：如图，作CE ⊥AB 于点E.
(第7题)
则CD ＝BE ＝5 m ，CE ＝BE tan 30°＝53(m )，
AE ＝CE·tan 45°＝53(m )， ∴AB ＝AE ＋BE ＝(5＋53)m . 即大树的高度为(5＋53) m . 8．解：∵∠CBE ＝45°，CE ⊥AE ， ∴CE ＝BE.∴CE ＝21 m .
在Rt △ADE 中，∵∠DAE ＝30°，AE ＝AB ＋BE ＝6＋21＝27(m )， ∴DE ＝AE·tan 30°＝27×
3
3
＝93(m )． ∴CD ＝CE －DE ＝(21－93) m .
即该屏幕上端与下端之间的距离CD 为(21－93) m .。