天津市南开区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷(含解析)

天津市南开区2019-2020学年高三（上）期末考试
数学试卷
一、选择题（本大题共9小题）
1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,2}，T ={2,3}，则(∁U S)∩T 等于( )
A. {2}
B. {3}
C. {4}
D. {2,3，4} 2. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0=x 0−1”的否定是( )
A. ∀x ∈(0,+∞)，ln x ≠x −1
B. ∀x ∉(0,+∞)，ln x =x −1
C. ∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0≠x 0−1
D. ∃x 0∉(0,+∞)，ln x 0=x 0−1 3. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y =x 3
B. y =−lgx 2
C. y =2x
D. y =
4. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 3+S 5>2S 4”的
( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件 5. 设a =1−20.2，b =1og 3
103
，c =lg4，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A. a <c <b
B. b <c <a
C. c <a <b
D. c <b <a
6. 过点A(−1,0)，斜率为k 的直线，被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3，则k 的值为( )
A. ±√33
B. √33
C. ±√3
D. √3
7. 函数y =sin πx 6
−√3cos
πx 6
(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A. −1−√3
B. −1
C. 0
D. 2−√3
8. 已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，
与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=( ) A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：3
9. 四边形ABCD 中，BC =1，AC =2，∠ABC =90°，∠ADC =90°，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−1,3] B. (−3,−1) C. [−3,1] D. [−√3,√3] 二、填空题（本大题共6小题） 10. 复数2+i
1−2i 的共轭复数是______．
11. 曲线y =x
2x−1在点(1,1)处的切线方程为______．
12. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面
上，若该棱锥的体积为4，AB =2，则此球的表面积等于______． 13. 设双曲线C 经过点(2,2)，且与
y 24
−x 2=1具有相同渐近线，
则C 的方程为______；渐近线方程为______． 14. 已知正数x ，y 满足
x+y 2xy
=3，则当x ______时，x +y 的最小值是______．
15. 对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a(a −b)3,a ≤b b(b −a)3,a >b
，设f(x)=(2x −1)∗
(x −1)，若函数g(x)=f(x)−mx 2(m ∈R)恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是______；x 1x 2x 3的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题）
16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =1
3，△ABC
的面积为2√2．
(Ⅰ)求a 及sin C 的值； (Ⅱ)求cos(2A −π
6)的值．
17. 如图，已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB =90°，AA 1=AB =
2BC =2，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．
(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
(Ⅱ)求二面角A −BD −A 1的余弦值； (Ⅲ)求点B 1到平面A 1BD 的距离．
18. 已知椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x −y +2√2=0
的距离为3．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设椭圆C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ． (i)当k >0，m ≠0时，射线OE 交直线x =−3于点D(−3,n)(O 为坐标原点)，求k 2+n 2的最小值；
(i)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，求m 的取值范围．
19. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，
b 8=a 4．
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；
(Ⅱ)令c n =log 2
a n 3
，证明：1
c 2c 3
+
1c 3c 4
+⋯+
1c n c n+1
<1(n ∈N ∗,n ≥2)；
(Ⅲ)求∑b
2i (√33
)b i+1
n
i=1(n ∈N ∗)．
20. 已知函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若f(x)≤x 2对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围；
(Ⅲ)当a =1时，设g(x)=xe −f(x)−x −1(e 为自然对数的底).若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，x 1，x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2)，证明：g(λ1x 1+λ2x 2)<λ1g(x 1)+λ2g(x 2).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，集合S={1,2}，T={2,3}，
∴C U S={3,4}，
∴(∁U S)∩T={3}．
故选：B．
先求出C U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0,+∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1．
故选：A．
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：A.函数为奇函数，不满足条件．
B.函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y=−lgx2=−2lgx为减函数，不满足条件．
C.y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
D.f(−x)=f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，
故选：A．
根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．
4.【答案】C
【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，
∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，
∴a5−a4=d>0，
则“d>0”是“d>0”的充要条件，
故选：C．
化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．
本题考查充要性，以及数列，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵20.2>20=1，∴a<0，
>log33=1，∴b>1，
∵log310
3
∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，
∴a<c<b，
故选：A．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
6.【答案】A
【解析】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，
∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，
∴圆心到直线的距离为√4−3=1，
∴|2k|
√k2+1
=1，
∴k=±√3
3
．
故选：A．
设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．
本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．
7.【答案】D
【解析】解：函数y=sinπx
6−√3cosπx
6
=2(
1
2
sin
πx
6
−
√3
2
cos
πx
6
)
=2sin(πx
6−π
3
)，
由0≤x≤9，得−π
3≤πx
6
−π
3
≤7π
6
，
所以−√3
2≤sin(πx
6
−π
3
)≤1，
所以y的最大值为2，最小值为−√3，
所以y的最大值与最小值之和为2−√3．
故选：D．
化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，
点A坐标为(2,0)
∴抛物线的准线方程为l：y=−1，直线AF的斜率为
k=0−1
2−0=−1
2
，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=−k=1
2
，
∴|PM|
|PN|=1
2
，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|
因此，|PM|
|MN|=1
√5
，可得|FM|：|MN||=1：√5
故选：C
求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−1
2
.过M作MP⊥l于P，根据
抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠MNP=1
2
，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．
本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −√3,y),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1)，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵∠ADC =90°，
∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0， ∴(x −
√32)2
+(y −1
2
)2=1，
∴设x =√32
+cosθ,y =12
+sinθ，
∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3
2+cosθ,1
2
+sinθ)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3cosθ+sinθ−1=2sin(θ−π
3)−1， ∵−1≤sin(θ−π
3)≤1，
∴AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−3,1]． 故选：C ．
根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出
B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)，从而可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，根据条件可得出AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√3
2+cosθ,y =1
2
+sinθ，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin(θ−π3
)−1，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题． 10.【答案】−i
【解析】解：复数2+i
1−2i =(2+i)(1+2i)
(1−2i)(1+2i)=
5i 5
=i 的共轭复数是−i ．
故答案为：−i ．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 11.【答案】x +y −2=0 【解析】解：y =x
2x−1的导数
，
，
而切点的坐标为(1,1)，
∴曲线y =x
2x−1在在x =1处的切线方程为x +y −2=0．
故答案为：x +y −2=0
根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】24π
【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且PA⊥平面ABCD，
所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，
所以2R=√4+4+16=√24=2√6，解得R=√6，
所以表面积为S=4πR2=4π×6=24π．
故答案为：24π．
根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．
13.【答案】x2
3−y2
12
=1；y=±2x
【解析】解：与y2
4−x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y2
4
−x2=m，(m≠0)，
∵双曲线C经过点(2,2)，
∴m=22
4
−22=1−4=−3，
即双曲线方程为y2
4−x2=−3，即x2
3
−y2
12
=1，
对应的渐近线方程为y=±2x，
故答案为：x2
3−y2
12
=1，y=±2x．
利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．
本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．
14.【答案】=1
2
9
【解析】解：正数x，y满足x+y 2
xy
=3，
∴x=y2
3y−1>0，可得y>1
3
，
∴x+y=y2
3y−1+y=4y2−y
3y−1
，
令t=3y−1则y=1+t
3
且t>0，
x+y=t(t+1)2
9t −3t
9(t+1)
，
=4t2+5t+1
9t =1
9
(4t+1
t
+5)≥1
9
(5+4)=1，
当且仅当4t=1
t 即t=1
2
，此时x=y=1
2
取最小值9，
故答案为=：1
2
，9．
由已知可得，x=y 2
3y−1>0，可得y>1
3
，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
15.【答案】(0,1
4)(1−√3
16
,0)
【解析】解：当2x −1≤x −1时，即x ≤0，f(x)=(2x −1)x 3，当2x −1>x −1时，即x >0，f(x)=−(x −1)x 3，
所以f(x)={(2x −1)x 3,x ≤0
−(x −1)x 3,x >0，因为g(x)有三个零点，所以
f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，即k(x)=
{(2x −1)x,x ≤0−(x −1)x x >0与函数y =m 有三个交点，作出k(x)的图象，如图，
所以0<m <1
4，
不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=1，所以0<x 2x 3<(x 2+x 32
)2
=1
4
由{(2x −1)x =1
4x <0解得x ═1−√3
4
，
所以1−√34
<x 1<0， 所以
1−√316
<x 1x 2x 3<0．
故答案分别为(0,1
4)和(1−√3
16
,0).
首先根据定义求出函数的解析式，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．
本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．
16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =1
3
，∴sinA =√1−cos 2A =2√23
，
∵△ABC 的面积为12
bc ⋅sinA =
bc 2
⋅
2√23
=
√23
bc =2√2，∴bc =6，∴b =3，c =2，
∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅1
3=3． 再根据正弦定理可得a sinA =c
sinC ，即2√2
3
=2
sinC ，∴sinC =4√29
．
(Ⅱ)∴sin2A =2sinAcosA =√2
9
，cos2A =2cos 2A −1=−7
9，
故cos(2A −π6)=cos2Acos π6+sin2Asin π6=−79⋅√32+√29⋅12
=√
2−7√318
．
【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积
求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．
(Ⅱ)利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos(2A −π
6)的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．
17.【答案】解：依题意，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间
直角坐标系，
则C(0,0,0),B(1,0,0),C 1(0,2,0),B 1(1,2,0),A(0,0,√3)，A 1(0,2,√3)， ∵DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D(0,1
2,0)，
(Ⅰ)证明：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,−√3),BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12
,0)， 设平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +12
y =0，令z =√3，
则m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，
∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ ，即AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；
(Ⅱ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12
,0)， 设平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n
⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +1
2
b =0，令
c =√3，则n ⃗ =(3,6,√3)，
又平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=|m
⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
|=|−3−12+3√1+4+3√
9+36+3
|=√6
4
，即二面角A −BD −A 1的余弦值为√6
4
；
(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =1
2|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+3=2√2，
∴点B 1到平面A 1BD 的距离为√2．
【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标， (Ⅰ)求出AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面A 1BD 的法向量，验证它们平行即可得证； (Ⅱ)求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；
(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =1
2|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|，由此得解． 本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基
础题．
18.【答案】解(Ⅰ)，设椭圆的右焦点(c,0)，c >0，由题意得：b =1，3=
|c+2√2|√2
，a 2=
b 2+
c 2，解得：a 2=3，b 2=1， 所以椭圆的方程：
x 23
+y 2=1；
(Ⅱ)i)设M(x,y)，，将直线与椭圆联立整理得：(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−3=0，△=36k 2m 2−4(1+3k 2)(3m 2−3)>0，即m 2<1+3k 2， 且
，
，所以MN 的中点
E(−3km
1+3k 2,m
1+3k 2)，所以射线OE ：y =−1
3k x ，与直线x =−3的交点(−3,1
k )，所以n =1
k ，所以n 2+k 2=k 2+1
k 2≥2，当且仅当k 2=1，k >0， 所以k =1时n 2+k 2有最小值2．
ii)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，则AE ⊥MN ，所以k AE =−1
k
MN
，即
m
1+3k 2+1−3km 1+3k 2
=−1
k ，∴2m =
1+3k 2，∴2m >m 2，解得0<m <2，
所以m 取值范围(0,2)．
【解析】(Ⅰ)由题意得b 值及右焦点到直线的距离得c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；
(Ⅱ)i)直线MN 与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE 求出n 的值，再求n 2+k 2，用均值不等式求出最小值；
ii)由题意知EA ⊥MN ，斜率互为负倒数得m 与k 之间的关系，再与判别式大于零联立得m 的范围．
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，
由a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4，可得b 1+d =3q ，b 1+4d =3q 2+3，b 1+7d =3q 3，
解得q =2，d =3，b 1=3，
则a n =3⋅2n−1，b n =3+3(n −1)=3n ； (Ⅱ)证明：c n =log 2
a n 3
=log 22n−1=n −1，
1c 2c 3+
1c 3c 4
+⋯+
1c n c n+1
=11×2
+
12×3
+⋯+
1(n−1)n
=1−12
+12
−13
+⋯+
1n−1
−1
n
=1−
1n
<1；
(Ⅲ)由2n
(33
)b =(33)3(n+1)=2n
3n ， 可设T n =∑2i 3
b n
=23+49+627+⋯+2n
3n ， 13
T n =29
+
427
+
681+⋯+
2n 3n+1
，
相减可得2
3T n =2
3+2
9+2
27+⋯+2
3n −2n
3n+1 =2⋅
13(1−1
3
n )1−13
−
2n 3n+1
，
化简可得∑2i (33
)b n
=3
2−2n+32⋅3n
．
【解析】(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，运
用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式； (Ⅱ)由对数的运算性质求得c n =n −1，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；
(Ⅲ)由2n
3
b =33(n+1)=2n
3n ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >0}，f′(x)=1
x −a ，
①当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a>0时，令f′(x)>0解得0<x<1
a ，令f′(x)<0解得x>1
a
，故此时函数f(x)在
(0,1
a )上单调递增，在(1
a
,+∞)上单调递减；
(Ⅱ)f(x)≤x2对x∈(0,+∞)恒成立，即为对任意的x∈(0,+∞)，都有a≥lnx
x
−x，
设F(x)=lnx
x −x(x>0)，则F′(x)=1−lnx
x2
−1=1−lnx−x2
x2
，令G(x)=1−lnx−x2(x>
0)，则G′(x)=−1
x
−2x<0，
∴G(x)在(0,+∞)上单调递减，且G(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，G(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)，G(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，
∴F(x)max=F(1)=−1，
∴实数a的取值范围为[−1,+∞)．
(Ⅲ)证明：当a=1时，g(x)=xe−(lnx−x)−x−1=xe x−lnx−x−1=e x−x−1，g′(x)=e x−1>0(x>0)，不妨设0<x1<x2，
下先证：存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，
构造函数H(x)=g(x)−g(x1)−g(x2)−g(x1)
x2−x1(x−x1)，显然H(x
1
)=H(x2)，且H′(x)=
g′(x)−g(x2)−g(x1)
x2−x1
，
则由导数的几何意义可知，存在ξ∈(x1,x2)，使得H′(ξ)=g′(ξ)−g(x2)−g(x1)
x2−x1
=0，即存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，
又g′(x)=e x−1为增函数，
∴g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)>g′(x1)(x2−x1)，即g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，
设x3=λ1x1+λ2x2(λ1+λ2=0)，则x1−x3=(1−λ1)x1−λ2x2，x2−x3=(1−
λ2)x2−λ1x1，
∴g(x1)>g(x3)+g′(x3)(x1−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ1)x1−λ2x2]①，
g(x2)>g(x3)+g′(x3)(x2−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ2)x2−λ1x1]②，
由①×λ1+②×λ2得，λ1g(x1)+λ2g(x2)>g(x3)=g(λ1x1+λ2x2)，
即g(λ1x1+λ2x2)<λ1g(x1)+λ2g(x2).
【解析】(Ⅰ)求导，分a≤0及a>0解不等式即可得到单调性；
(Ⅱ)依题意，问题可转化为a≥lnx
x
−x对任意x∈(0,+∞)恒成立，进而转化为求函数的最值问题；
(Ⅲ)先证存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，结合g′(x)=e x−1为增函数，可得结论g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，令x3=λ1x1+λ2x2，再利用所证结论即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．。