高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用

重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
10大题型
【命题趋势】
函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型
【满分技巧】
一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:
⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，
()()
02
121>--x x x f x f ；
⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；
⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()
0212
1>--x f x f x x .
2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:
⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；
⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，
()()
02
121<--x x x f x f ；
⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()
0212
1<--x f x f x x .
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.
2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及
()
1()
f x f x -=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、常见奇、偶函数的类型
1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；
2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；
3、()221
1
x x x x x
x a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log a b x
f x b x
-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；
5、())
log a
f x x =（00a a >≠且）为奇函数；
6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；
7、()f x ax b ax b =+--为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）
（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()
1
+=
f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()
1
+=-
f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论
（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2
+=
a b
x 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称， 当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称， 当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
4、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是
2-b a ；
（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是
4-b a .
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为
2a .
（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为
4a .
（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .
其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

【热点题型】
第2天 掌握函数单调性、其应用、求最值、求参数
【题型1 函数的单调性及应用】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ）
A ．sin2y x =
B ．e 1
e 1
x
x y -=+ C ．1y x x =+ D ．(212log 1y x x =+
【答案】B
【解析】[0,1]x ∈时，2[0,2]x ∈，而π
022
<<，即π22
x =，π
4x =时，sin 2y x =取得最
大值，因此sin 2y x =在[0,1]上不是增函数，A 错；e 121e 1e 1
x x x y -==-++，设1201x x ≤<≤，则1
2
0<e e x x ≤，1
2
0<e 1e 1x x +≤+，
1222e 1e 1x x ≥++，所以1222
11e 1e 1
x x -≤-++，即12y y <，
是增函数，又记e 1()e 1x x f x -=+，定义域是实数集R ，则e 11e ()()e 11e x x
x x
f x f x -----===-++，
函数为奇函数，B 正确；112<，但115112
1221
2
+=>+=，即1y x x
=+在[0,1]上不是增函数，C 错；设1201x x ≤<≤，则2212x x <
120x x <
所以
11122
2
log (log (x x >
，即函数(12
log y x =在[0,1]上为减函数，D 错．故选：B ．
【变式1-1】（2022春·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）
A ．1
1y x x =-+ B ．1y x x
=+ C ．||y x x = D ．ln y x = 【答案】C
【解析】对于A ，将x -代入函数则1111y x x x x ⎛
⎫=--
+=--- ⎪-⎝
⎭，故该函数非奇非偶，则A 错误；对于B ，将x -代入函数则11y x x x x ⎛
⎫=-+
=-+ ⎪-⎝
⎭，故该函数为奇函数， 任意取()12,0,x x ∈+∞，12x x <，()()1221121221121212
111x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫
-+
-+=-+=- ⎪⎝⎭， 显然该函数在()0,+∞上不是单调递增的，故B 错误；对于C ，将x -代入函数则
()y x x x x =--=-，故该函数为奇函数，函数22,0
=,<0x x y x x ≥-⎧⎨⎩
，根据二次函数的性质，
可得该函数在区间(0,)+∞上单调递增，故C 正确；对于D ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，则该函数非奇非偶，故D 错误.故选：C.
【变式1-2】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要 【答案】A
【解析】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <， 由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()1
2
f x x =-，则函数
()()1
2g x f x x x =+=
在R 上严格递增，但函数()12
f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()
g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R
上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.
【变式1-3】（2022春·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数()|1||2|f x x x =-+-的单调递增区间是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(,1]-∞
C ．[]1,2
D ．[2,)+∞ 【答案】D
【解析】因为32,1
()121,1223,2x x f x x x x x x -<⎧⎪
=-+-=-≤<⎨⎪-≥⎩
，所以()f x 的增区间为[2,)+∞，故选：
D.
【变式1-4】（2022春·江苏南通·高三统考开学考试）设函数()2
28f x x x =-++，
()()log 01a g x x a =<<，则函数()()y g f x =的减区间为（ ）
A ．(),1-∞
B ．()2,1-
C ．()1,+∞
D ．()1,4 【答案】B
【解析】依题意，()()2
log (28)a g f x x x =-++，则2280x x -++>得：24-<<x ，
即函数()()y g f x =的定义域为(2,4)-，显然函数()f x 在()2,1-上单调递增，在()1,4上单调递减，而()()log 01a g x x a =<<在()0,∞+上单调递减，因此函数()()y g f x =在
()2,1-上单调递减，在()1,4上单调递增，所以函数()()y g f x =的减区间为()2,1-.
故选：B
【题型2 利用函数的单调性求最值】
【例2】（2022·河北·校联考模拟预测）已知13m <≤，则23244
m m m m m ++++的取值
范围为（ ） A ．31,134⎛⎤
⎥⎝⎦ B ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．31,134⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】∵13m <≤∴原式()()()232221441414
m m m m m
m m m m m m m ++===+++++++
令()2
4m f m m =+，则()()()()
2
2
2
2
2
2
2
42444m m m f m m m +--'==++，当()1,2m ∈时，()0f m '>，()
f m 在区间()1,2上单调递增，当()2,3m ∈时，()0f m '<，()f m 在区间()2,3上单调递减， 又∵()2
11
1145
f =
=+，()23333413f ==+，()()13f f <，()2212244f ==+，∴当(]1,3m ∈
时，()11,54f m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴当13m <≤，2
32
44
m m
m m m ++++的取值范围是11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D.
【变式2-1】（2022春·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数
()()
21
21x x f x x +=-,则()f x 在[)(]2,00,1-⋃上的值域为（ ） A ．[)5,3,6∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦ B ．50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(]5,00,36⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭ D ．5,6⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】由题知()()
21
21x x f x x +=-,定义域为
()
(),00,∞-+∞,()()()
()2121
2121x x x x f x f x x x --++∴-===---,∴()f x 在定义域上为偶函
数,则当0x >时,()()()()()212121212121212121x x x x x x f x x x x x x ⎛⎫
+-+ ⎪=
==+=+ ⎪----⎝⎭, ()()()2212122ln 212121x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪' ⎪∴=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()211222ln 22121x x x x x x ⎛⎫
⋅ ⎪
=-++
⎪--⎝⎭
0,210x x >∴->，()()
21222ln 2
02121x x x x x ⋅∴+
+>--，()0f x '∴<,∴()f x 在()0,∞+单调递减,
()f x 在定义域上为偶函数,∴()f x 在(),0∞-单调递增,∴()f x 在[)
2,0-单调递增,在(]0,1单调递减,
()()()
021
213,lim 215,6x x x f f x →+-===+∞-,故()f x 在
[)(]2,00,1-⋃上的值域为5
,6⎡⎫
+∞⎪⎢⎣
⎭
.故选:D
【变式2-2】（2022春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数()f x 对任意的,R x y ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，若(),0x ∈-∞时，()0f x >，且()2
13
f =-，则当[]3,1x ∈-时，()f x 的最大值为（ ） A ．0 B ．2
3 C ．1 D ．2 【答案】D
【解析】令0x y ==，则()()()000f f f =+，得(0)0f =，令y x =-，则
()()()0f f x f x =+-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，任取12,R x x ∈，且
12x x <，则120x x -<，12)(0f x x ->，所以
[]121222()()()()f x f x f x x x f x -=-+-1222()()()f x x f x f x =-+-12()0f x x =->，所以
12()()f x f x >，所以()f x 在R 上递减，所以当[]3,1x ∈-时，()f x 的最大值为()3f -，
因为()213
f =-，所以()2
13f -=，所以
()()()()()()2
121113323
f f f f f f =-+-=-+-+-=⨯
=-，故选：D
【变式2-3】（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）若函数()
f x 是在R 上的奇函数，当0x >时，1()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则()f x 的值域为（ ）
A ．(1,1)-
B ．,1(),)1(-∞-⋃+∞
C ．(1,0)(0,1)-
D ．(,0)(0,)-∞+∞ 【答案】A
【解析】当0x >时，
1()(0,1)3x
f x ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，因为()f x 是
R 上的奇函数，所以(0)0f =；
当0x <时，由于()f x 图象关于原点对称，故()(1,0)f x ∈-，所以()(1,1)f x ∈-.故选：A
【变式2-4】（2022·浙江杭州·模拟预测）2(1)e ,1
()1,1x x x f x ax x a x ⎧-=⎨-+->⎩
的最小值是1-，
则实数a 的取值范围是（ ）
A
．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ B
．∞⎛- ⎝⎦
C
．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】A
【解析】当1x 时，()e x
f x x '=，令()0f x '=，得0x =，则()f x 在(),0∞-上单调递
减，()0,1上单调递增，即函数()f x 在0x =处取得最小值1-，所以问题转化为
211ax x a -+--在()1,+∞上恒成立，令()2
2g x ax x a =-+-，则()0g x ≥在()1,+∞上
恒成立，当0a 时，不符合.当0a >时，对称轴12x a =，则()1
1
21120
a g a a ⎧<⎪⎨⎪=-+-≥⎩
或
()1
12Δ1420
a
a a ⎧≥⎪⎨⎪=--≤⎩
，解得12a >
12a ，所以23
2a -，故选：A.
【题型3 利用函数的单调性求参数】
【例3】（2022春·吉林·高三校联考阶段练习）已知函数 ()()323,1log 5,1
a a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨
+>⎩ (0a >且1a ≠)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．()20,1,3⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
B ．()10,1,2⎛⎤
⋃+∞ ⎥⎝⎦
C ．()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
D ．()1,11,2
⎡⎫
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】因为()()323,1log 5,1a
a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨
+>⎩ (0a >且1a ≠)是R 上的单调函数，若()f x 是
R 上的单调递增函数，则()3201323log 15a a a a a
⎧->⎪
>⎨⎪-+≤+⎩，解得1a >；若()f x 是R 上的单调
递减函数，则()320
01323log 15a a a a a
⎧-<⎪
<<⎨⎪-+≥+⎩
，解得102a <≤；综上，a 的取值范围是
()10,1,2⎛⎤
+∞ ⎥⎝⎦
.故选：B.
【变式3-1】（2022春·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知函数
1,(1)
()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩
，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x
-<-成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．3
,14⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3
,24
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】由对任意12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x -<-成立可得，()f x 在R 上单调递减，
所以110120(2)13a a a a a
-<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⨯+⎩
，解得304a <≤，故选:C.
【变式3-2】（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已
知函数()()2
222f x ax a x =++-，若对于任意1211x x -≤<≤，都有
()()
1212
2f x f x x x ->--，
则a 的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．12
- D ．0
【答案】B
【解析】因为12x x <，所以
1212
()()
2f x f x x x ->--，可化为1212()()2()f x f x x x -<--，即
1122()(22)f x x f x x +<+，令2()()2(24)2F x f x x ax a x =+=++-， 即()F x 在[1,1]-单调
递增，当0a =时，()42F x x =-在[1,1]-单调递增，当0a ≠时，则021a a a >⎧⎪
+⎨-≤-⎪⎩或
2
1a a a <⎧⎪
+⎨-≥⎪⎩
，解得0a >或10a -≤<，综上所述，1a ≥-，即a 的最小值为1-.故选：B.
【变式3-3】（2022春·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数()2ln f x x k x =+，
对任意的210x x >>，有
()()2121
2022f x f x x x ->-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．[)0,∞+
B ．1011,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ C ．21011,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．21011,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D
【解析】∵对于任意得210x x >>有
()()2121
2022f x f x x x ->-，∴
()()221120222022f x x f x x ->-，∴()()2022g x f x x =-在()0,+∞上单调递增，
∵()2
ln 2022g x x k x x =+- ，∴()220220k g x x x
-'=+≥在()0,+∞上恒成立，∴
2220220x x k -+≥，即2
20222,0k x x x ≥->在()0,+∞上恒成立，，∵
2
222
101110111011
202222222x x x ⎛⎫-=--+≤ ⎪⎝
⎭∴2
10112k ≥，即实数k 的取值范围为21011,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.故选：D.
第3天 掌握函数奇偶性、对称性及周期性
【题型4 函数的奇偶性及应用】
【例4】（2022春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）． A ．sin 2y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．1
22
x x y =+ D ．2sin y x x =+ 【答案】D
【解析】由题意，四个函数定义域都是R ，在()sin 2f x x x =+中，
()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，是奇函数；在()2cos g x x x =-中，()()()()2
2cos cos g x x x x x g x -=---=-=，是偶函数；在()1
22x x
h x =+
中，()()11
2222
x x x x h x h x ---=+
=+=，是偶函数；在()2sin w x x x =+中，()()()()()2
2sin sin w x x x f x x x w x -=-+-==-≠，∴2sin y x x =+既不是奇函数，也不
是偶函数；故选：D.
【变式4-1】（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()2=-a f x x x
，若()()201f f +=，则()6f -=（ ） A ．-6 B ．-7 C ．-11 D ．-15 【答案】C
【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，由()()201f f +=得()21f =； 即()2412
a f =-=，得6a =，所以()62f x x x =-；()66(6)(26)116
f f -=-=-⨯-=-.故选：C.
【变式4-2】（2022春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）若
1
()ln 2f x a b x
=+
+-是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】1
4-；ln 4 【解析】因为1
()ln 2f x a b x
=+
+-是奇函数，所以其定义域关于原点对称， 由102a x +
≠-可得，()()2210x a ax -+-≠，所以212a x a
+==-，解得1
4a =-，
所以函数的定义域为(,2)(2,2)(2,)-∞--+∞，因为()f x 在0x =处有定义，即
(0)0f =，所以1
ln
04
b +=，解得ln 4b =.
【变式4-3】（2022春·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考阶段练习）函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()43y f x =+为偶函数，()41y g x =++为奇函
数，对x ∀∈R ，均有()()2
1f x g x x +=+，则()()77f g ⋅=__________.
【答案】621
【解析】由函数()43y f x =+为偶函数，则()()4343=+-f x f x ，即函数()f x 关于直线4x =对称，故()()8f x f x =-；由函数()41y g x =++为奇函数，则
()()4141-++=-+-g x g x ，整理可得()()424g x g x -=--+，即函数()g x 关于()
41-,对称，故()()28g x g x =---；由()()2
1f x g x x +=+，则()()()28881f x g x x -+-=-+，
可得()()()2
281f x g x x --=-+，故()()()()2
2
1
1667f x g x x f x g x x x ⎧+=+⎪⎨-=-+⎪⎩
，解得()2834f x x x =-+，()833g x x =-，()()()()774956345633621f g ⋅=-+⨯-=.
【变式4-4】（高考真题）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇
函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()()lg 101x
f x =+，(,)x ∈-∞+∞，那么（ ）
A ．()g x x =，()()lg 10102x x
h x -=++
B ．()1()lg 1012
x
g x x ⎡⎤=++⎣⎦，()1()lg 1012
x h x x ⎡⎤=+-⎣⎦
C ．()2x
g x =，()()lg 1012
x x h x =+- D ．()2x g x =-，()()lg 1012
x x h x =++ 【答案】C
【解析】根据题意，令
()()()()
(),()22f x f x f x f x g x h x --+-=
=
则有
()()()()
()22f x f x f x f x f x --+-=
+
，所以
()()()101lg 101lg lg 101lg 1()()(01)221022x x
x x x f x f x x g x -⎛⎫
++- ⎪
+-+⎝=⎭--===
，
()()lg 101lg 10()()()212
x
x
f x f x h x --=+++=+()()101l
g 101lg lg 2
012101x x
x x
x =⎛⎫+++ ⎪
⎝+-⎭=，故选:C.
【变式4-5】（2023·广西桂林·统考一模）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++
⎪⎝
⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（ ）
A ．－1
B ．1
2
- C ．1
2 D ．1 【答案】A
【解析】()f x 是定义在R 上的函数，11
22
f x ⎛⎫
++ ⎪⎝
⎭
为奇函数，则
1111111222222f x f
x f x f x ⎡⎤⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫-++=-++⇒-++
+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.
∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫
⎛⎫
+-=++-+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.故选：A
【题型5 奇函数+常数型求值】
【例5】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知
)
()ln
3f x x ax =-+，若(2)2f =-，则(2)f -=______.
【答案】8
【解析】设())
ln g x x ax =-，则()()3f x g x =+.||+0x x x >≥，所
以函数())
ln g x x ax =-的定义域为R ，因为
()()))ln
ln
ln10g x g x x ax x ax +-=-++==，所以()g x 是一个奇函数.
所以()()()()3++63g x x f x f x g +-+-==，又()22f =-，故()28f -=.
【变式5-1】（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函
数()()(lg 1x x f x a a x -=-++，若(2)4f =，则()2f -=（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．3
D ．2 【答案】B
【解析】因为()()(lg 1,R x x f x a a x x -=-++∈，令
()()
(lg ,R x x g x a a x x -=-+∈，所以()()1f x g x =+，又因为
(
)
((
)
()lg x x x x g x a a x a a ---=-+-=--+(
)
-lg(()x x a a x g x ---=-，所以()g x 为奇函数，因为(2)4f =，即(2)14g +=，
所以(2)3g =，所以(2)(2)3g g -=-=-，所以(2)(2)1312f g -=-+=-+=-.故选：B.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数=()y f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则函数()f x 在R 上的解析式为___________．
【答案】222,0
()=2,>0x x x f x x x x ---⎧≤⎪
⎨⎪⎩
【解析】因为函数=()y f x 是定义在R 上的奇函数，则有(0)=0f ，设0x <，有0x ->，则22()()2()2f x x x x x -=---=+，又由函数()f x 为奇函数，则
2()()2f x f x x x =--=--，则222,0
()=2,>0x x x f x x x x ---⎧≤⎪
⎨⎪⎩
．
【变式5-3】（2022春·吉林·高三校联考阶段练习）已知函数3
()3(R),
b
f x x b x
=++∈若(5)2f -=，则(5)f =（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4 【答案】D
【解析】设3()b g x x x =+，则3
()b g x x x
=+为奇函数，()()3f x g x =+，因为
(5)(5)32f g -=-+=，所以(5)1g -=-，所以(5)1g =，所以(5)(5)34f g =+=.故选:D.
【变式5-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数()1e e 3x x f x x
-=-++，若()2f m =，则()f m -=（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．2
D ．4 【答案】D
【解析】令()()1
3e e x x g x f x x
-=-=-+，则()()1e e x x g x g x x
--=--=-，()g x ∴为定义在()
(),00,∞-+∞上的奇函数，()()0g m g m ∴+-=，即()()330f m f m --+-=，
()()64f m f m ∴-=-=.故选：D.
【变式5-5】（2022·上海·高三统考学业考试）已知函数
())5f x x x =+-[]()2016,2016x ∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝
（ ）
A ．－10
B ．10
C ．5
D ．－5 【答案】A
【解析】设()()5)g x f x x x =+=+，则
()()))g x g x x x x x +-=+-+ln )ln10x x ⎡⎤===⎣⎦
∴()()g x g x -=-，()g x 是奇函数，因此min max ()()0g x g x +=，又
min min ()()55g x f x m =+=+，max max ()()55g x f x M =+=+，∴
min max ()()550g x g x M m +=+++=，10M m +=-．故选：A ．
【题型6 函数的对称性及应用】
【例6】（2022·四川资阳·统考二模）已知函数()()4
22x x
f x x =+∈R ，则()f x 的图象（ ）
A ．关于直线1x =对称
B ．关于点()1,0对称
C ．关于直线0x =对称
D ．关于原点对称 【答案】A
【解析】对于A 项，由已知可得，()()224244
22
422422
x x
x x x x f x f x ---=+
=⋅+=+=，
所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故A 项正确；对于B 项，因为
()4
222x x
f x -==+
，则()()2f x f x -≠-，故B 项错误；对于C 项，()4124222x x
x x f x ---=+
=⋅+，则()()f x f x -≠，故C 错误；对于D 项，因为()1
422x x
f x -=⋅+
，则()()f x f x -≠-，故D 错误.故选:A.
【变式6-1】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知函数()()
32
0ax bx d a f x cx =+++≠满足()()()22,1
x
f x f x
g x x +-==
-，若函数()y f x =与()y g x =的图像恰有四个交点，则这四个交点的横坐标之和为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B
【解析】因为函数()()32
0ax bx d a f x cx =+++≠满足()()22f x f x +-=，所以，函数
()y f x =图像关于点()1,1对称，因为()()1111111
x x
g x x x x -+=
==+---，其图像由1y x =图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所以，函数()y g x =图像关于
点()1,1对称，设数()y f x =与()y g x =的图像的四个交点的横坐标为1234,,,x x x x ，且
1234x x x x <<<，所以，根据对称性，14232x x x x +=+=，所以，这四个交点的横坐标
之和为21434x x x x +++=.故选：B
【变式6-2】（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）函数
2sin π(01)()lg (1)x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩
，若a b c 、、互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的
取值范围是（ ）
A ．()1,100
B ．()1,11
C ．()2,101
D ．[]2,11 【答案】C
【解析】函数()f x 的图像如图所示：
设a b c <<，由函数图像数形结合可知：1
212
a b +=⨯=，0lg 2c <<，1100c ∴<<
2101a b c ∴<++<．故选：C ．
【变式6-3】（2022·上海·统考模拟预测）己知函数()f x ()R x ∈满足
()()2f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与()y f x =图像的交点为()()()112220232023,,,,,x y x y x y ，则()20231
i i i x y =+=∑________；
【答案】2023
【解析】因为()()2f x f x -=-，所以函数()f x ()R x ∈关于()0,1对称，又
11
1x y x x
+=
=+的图像关于()0,1对称，所以两函数的交点也关于()0,1对称， 对于每一组对称(),i i x y 和(),i i x y ''，都有0i i x x '+=，2i i y y '+=．从而
()20231
2023
220232
i i i x y =+=
⨯=∑．
【题型7 函数的周期性及应用】
【例7】（2022春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知()f x 是R 上的奇函数，
()2f x +是R 上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()22f x x x =+，则
()2021f =___________．
【答案】3-
【解析】
()f x 是R 上的奇函数∴()()f x f x -=-
，
()2f x +是R 上的偶函数，
∴()()22f x f x +=-，即()()4f x f x +=-，()()8f x f x ∴+=，
()()()2021252855f f f ∴=⨯+=，又()()()511f f f =-=-当[]0,2x ∈时，
()22f x x x =+，()13f ∴=，()()202113f f ∴=-=-.
【变式7-1】（2022春·山东泰安·高三统考期中）已知函数()f x 是定义在R 上
的偶函数，且对任意实数x 都有()(2)0f x f x +-=，当[1,0]x ∈-时，1()22
x
f x =-，
则()2log 63f =___________. 【答案】3164
-
【解析】由于()f x 是偶函数，∴当[]0,1x ∈ 时，()()1
22
x f x f x -=-=- ；由
()()20f x f x +-= 得()()=2f x f x -- ，关于()1,0 点对称，当12x ≤≤ 时，
021x ≤-≤ ，()()
2211
2
222
x x f x ---⎛⎫=--=-+ ⎪⎝
⎭
，并且函数的周期()4104T =⨯-= ，562632<< ，25log 636<< ，21log 6342<-< ，∴()()2log 634222131log 63log 6342264
f f --=-=-+
=-.
【变式7-2】（2022·全国·模拟预测）若函数()()()2,0
,0
f x x f x h x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩的图象关于原
点对称，且()51f =，则()()()202220232024h h h -+-+-=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A
【解析】由题可知，当0x ≥时，()()2f x f x =+，且()51f =，由题意知()f x 为奇函数，则()00f =，又
()()()()()()202220232024202220232024h h h f f f -+-+-=-+-+- ()()()202220232024f f f ⎡⎤=-++⎣⎦，
()()()()202220240,202351f f f f ====，
则()()()2022202320241h h h -+-+-=-.故选：A.
【变式7-3】（2022春·河南·高三期末）已知定义在R 上函数()f x ，对任意的
x 有()()2f x f x ++=()1f x +的图像关于直线=1x -对称，则
()2023f =______.
【解析】因为函数()1f x +的图像关于直线=1x -对称，所以函数()f x 的图像关于
y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，所以，()()2f x f x +=-+()()
42f x f x +=-++()()4f x f x +=，所以，函数()f x 的周期4T =，()()()()20235054331f f f f =⨯+==-，因为()()11f f -=，令=1x -，
()()
11f f =--+()1f =所以
()()()()()
202350543311f f f f f =⨯+==-==
【变式7-4】（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则
(1)(2)(3)(2021)(2022)f f f f f +++
++=（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1 【答案】B
【解析】由于()(1)g x f x =-是奇函数，图象关于原点对称，所以()f x 关于()1,0-对称，()()010g f =-=所以()()2f x f x -+=--，由于()f x 是偶函数()()f x f x -=，所以()()()2f x f x f x -+=--=-，所以()()()()2,2f x f x f x f x =-++=-，所以
()()()()()()4222f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以()f x 是周期为4的周期函
数.()01f =，()()()()()110,20201f f f f f =-==+=-=-，
()()()()()()31210,42221f f f f f f =+=-==+=-=，所以()()()()12340f f f f +++=，
所以(1)(2)(3)(2021)(2022)f f f f f +++
++()()5050121f f =⨯++=-.故选：B
第4天 掌握利用函数性质比较大小和解不等式
【题型8 利用函数的性质比较大小】
【例8】（2021春·江苏淮安·高三江苏省盱眙中学校考期中）已知(2)f x +是偶函数，当122x x <<时，
2121()()0f x f x x x ->-恒成立，设12a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，(3)b f =，(4)c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b<c<a
D ．a b c << 【答案】A
【解析】因为当122x x <<时，
2121
()()
0f x f x x x ->-恒成立，因为210x x ->，所以
21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以()f x 在(2,)+∞上是增函数，
又因为函数(2)f x +是偶函数，则(2)(2)f x f x -+=+，令3
2
x =，得
332222f f ⎛⎫⎛⎫
-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即1722f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即72a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，因为7342
<<，()f x 在(2,)+∞上是增函数，所以()()7342
f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
，即.b a c <<故选：A.
【变式8-1】（2022春·福建莆田·高三校考阶段练习）若函数()2f x +为偶函数，对任意的[12,2,+)x x ∈∞ ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，则（ ） A ．()()212
log 60log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝
⎭
B ．()()122
log 0.20log 6f f f ⎛⎫<< ⎪⎝
⎭
C ．()()122log 0.2log 60f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
D ．()()2120log 6log 0.2f f f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意知函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 关于直线=2x 对称， 由对任意的[12,2,+)x x ∈∞ ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，
可知函数()f x 在[2,+)x ∈∞时单调递减，而()()1220(4),log 0.52log f f f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，因为
2252<log log 64<<，故()()2120(4)log 6log 0.2f f f f ⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
，故选：D
【变式8-2】（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数()f x 为R 上的偶函数，对任意不相等的12,(,0)x x ∞∈-，均有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，若
ln 2ln 3ln5,,235a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．c a b << 【答案】D
【解析】∵对任意不等1x ，()2,0x ∞∈-，均有
1212
()()
0f x f x x x -<-成立，∴此时函数在
区间(),0∞-上为减函数，又∵()f x 是偶函数，∴当()0,x ∞∈+时，()f x 为增函数． 由25ln5ln 2ln5ln 22ln55ln 252<⇔<⇔
<，23ln3ln 2
ln3ln 22ln33ln 232
>⇔>⇔>，所以ln5ln 2ln3
523
<<，所以ln 3ln 2ln 5325f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即c a b <<.故选：D ．
【变式8-3】（2022春·山西运城·高三统考期中）已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且
12x x ≠，都有()()()()1212
0x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
的大小关系是（ ）
A ．7
211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．11
72333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<
-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
D ．1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】C
【解析】∵(1)f x + 在R 上为偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，∴()f x 关于x =1对称. ∵(2)f x + 在R 上为奇函数，∴(2)(2)0++-+=f x f x ，∴()f x 关于(2,0)对称，且
(2)=0f ∵(1)(1)f x f x +=-+，∴()(2)f x f x =-+（将上式中的x 换成x -1）
又∵(2)(2)0++-+=f x f x ，∴(2)(2)f x f x -+=-+ ②∴由①②得：()(2)f x f x =-+ ③∴由③得：(+2)(4)f x f x =-+ ④ （将③中的x 换成x +2）∴由③④得：
()(4)f x f x =+∴()f x 的一个周期为4T =，且(0)=0f ，()f x 关于(0,0)对称
又∵对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->， ∴()f x 在[]0,1上单调递增.∴()f x 在一个周期内的草图为：
∴77551()(4)()(2)()33333f f f f f -=-+==-=，11111
()(
4)()333
f f f =-=-， ∴如图所示：1
12()()()3
3
3
f f f -<<，即：1172
()()()3
3
3
f f f <-<，故选：C.
【题型9 利用函数的性质解不等式】
【例9】（2023·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对
()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有
()()
211212
0x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式
()
2f x x
>的解集为（ ） A ．()4,+∞ B ．()0,4 C ．()0,2 D ．()2,+∞ 【答案】D
【解析】令()()f x g x x =，因为对()120,x x ∀∈+∞、，且12x x ≠，都有
()()211212
0x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则
()()121
2
f x f x x x <
，
即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()24f =，所以
()()2222f g =
=，故()
2f x x
>可化为()()2g x g >，所以由()g x 的单调性可得2x >，即不等式()
2f x x
>的解集为()2,+∞.故选：D.
【变式9-1】（2022春·河南驻马店·高三统考阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的()1212,x x x x ≠，有()()
1212
0f x f x x x -<-，()23f =，则不等式()210
f x x -+<的解集为（ ）
A ．()3,+∞
B ．()2,+∞
C ．(),3-∞
D ．(),2-∞ 【答案】B
【解析】在R 上的函数()f x 满足：对任意的()1212,x x x x ≠，有
()()
1212
0f x f x x x -<-，
所以()f x 在R 上单调递减，令()()21g x f x x -=+，则()g x 在R 上单调递减，且
()20g =，则由()0g x <，即()()2g x g <，得2x >，所以不等式()210f x x -+<的解
集为()2,+∞．故选：B ．
【变式9-2】（2022春·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）
已知函数()f x 的定义域为{}R,0x
x x ∈≠∣，对定义域内任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x =+，且当1x >时，()()0,164f x f >=，则不等式()()32f x f +>的
解集为（ ）
A ．4334,,00,,3443∞∞⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫--⋃-⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭⎝⎭
⎝
⎭
B ．4334
,,1,3443
∞⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
⎝
⎭
C ．4334
,1,,1,3443∞∞⎛
⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--⋃--⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⎝⎭⎝⎭ D ．4334,0,,3443
∞⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫--⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⎝⎭
【答案】A
【解析】由于对定义域内任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x =+，取12==1,x x 则
()()()1=211=0f f f ⇒，取12==1,x x - 则()()()1=211=0f f f -⇒-，12=,=1,x x x - 则
()()()()=+1=f x f x f f x --，所以()f x 是偶函数，令120x x <<，则21
>1,x
x 由1x >时，
()0f x >，()()()()()()2222112121111==+=>0>0x x x f x f x f x f
f x f x f f x f x x x x ⋅⇒-⇒-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()16=24=44=2f f f ⇒ ，由于()1=0f ，当1x >时，原不等式可化为：()()()34f x f f +>，即()()43>43>4>3
f x f x x ⇒⇒， 当01x <<时，原不等式可化为：()()()34f x f f -+>，
即()()()()3>4+=4f f f x f x ，()()34<34<30<<4
f x f x x ⇒⇒，当0x <时，由()f x 是偶
函数可得3
<<04
x -或4<3
x -，故原不等式的解集是：
4334,,00,,3443∞∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--⋃-⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,故选：A
【变式9-3】（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知()g x 为定义在R 上的奇函数，且对任意的非负数a
b ，有
()()0g a g b a b
-<-，且()()2f x g x =+，若
()()24f m f m +->，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()3,+∞
B ．(),3-∞
C ．()1,+∞
D ．(),1-∞ 【答案】D
【解析】因为对任意的非负数a
b ,有
()()
0,a g a g b b
--< 故函数()g x 在R 上为单调
递减函数，又()()2f x g x =+，()()24f m f m +->，所以()()2224g m g m ++-+>,即()()2,g m g m >--因为()g x 为奇函数，则()()2g m g m >-,所以2m m <-,解得
1m <,所以实数m 的取值范围是()1∞-，
.故选：D
【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=+++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞
B ．(2,1)--
C ．1
(,)(1,)3
-∞-⋃+∞ D ．(1,)+∞ 【答案】C
【解析】函数()lg(||1)22x x f x x -=+++定义域为(,0)(0,)-∞+∞，显然有
()lg(||1)22()x x f x x f x --=-+++=，即函数()f x 是偶函数，当0x >时，()lg(1)22x x f x x -=+++，令()22(0)x x g x x -=+>，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x <，
11221212121
()()2222(22)(1)22
x x x x x x x x g x g x ---=+--=--
⋅，因120x x <<，则12122x x <<，
即1
2
220x x -<，12
1
1022x x -
>⋅，有12()()<g x g x ，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又lg(1)y x =+在(0,)+∞上单调递增，因此，()f x 在(0,)+∞上单调递增，于是得
(1)(2)(|1|)(|2|)|1||2|f x f x f x f x x x +<⇔+<⇔+<，解得1
3
x <-或1x >，
所以不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是1(,)(1,)3
-∞-⋃+∞.故选：C
第5天 掌握类周期函数及应用
【题型10 类周期函数及应用】
【例10】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）设函数()f x 的定义域为R ，满
足()()31f x f x =+，且当(]0,1x ∈时，()2
,f x x x =-若对任意(],x a ∈-∞，都有
()54
25
f x ≥-
，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,5⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B ．13,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],2∞- D ．(],3-∞ 【答案】A
【解析】因为()2f x x x =-对称轴为12
x =，所以当(]0,1x ∈时，()2
f x x x =-的最小
值为14
-；当(]1,0x ∈-时，(]()()()2
10,111,1x f x x x +∈+=+-+，由()()3 1f x f x =+知，
()()113f x f x =
+，所以此时()()()2
1113f x x x =+-+⎡⎤⎣⎦，其最小值为112
-；同理，当(]1,2x ∈时，()()()2311f x x x =---⎡⎤⎣⎦，其最小值为3
4
-；当(]2,3x ∈时，()()()2 922f x x x =---⎡⎤⎣⎦的最小值为94-；作出如简图，因为9543
4254
-<-<-，要使
()5425
f x ≥-
，
则有()()2
5492225x x ⎡⎤⎦
≥-⎣---.解得125x ≤或13
5
x ≥，要使对任意(],x a ∈-∞，都有()5425f x ≥-
，则实数a 的取值范围是12,5⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.故选:A .
【变式10-1】（2022·高一课时练习）设函数()f x 的定义域为R ，满足
()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有
()8
9
f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）
A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
D ．8,3⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】当10-<≤x 时，011x <+≤，则()()()11
1122
f x f x x x =
+=+；当12x <≤时，
011x <-≤，则()()()()21212f x f x x x =-=--；当23x <≤时，021x <-≤，则()()()()()222122223f x f x f x x x =-=-=--，……
由此可得()()()()()()()2
1
1,10,21,01,212,12,223,23,x x x x x x f x x x x x x x ⎧
⎪⎪+-<≤⎪⎪
-<≤=⎨⎪--<≤⎪--<≤⎪⎪⎩
由此作出函数()f x 的图象，如图所示．。