2011年考研数学三真题及答案

2011年考研数学三真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）
(1)已知当时，与是等价无穷小，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。

【解析】
【方法一】
(洛必达法则)
(洛必达法则)
()
由此得。

【方法二】
由泰勒公式知
则
故。

【方法三】
故
综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则
(2)已知在处可导，且,则
(A) (B)
(C) (D)0
【答案】B。

【解析】
【方法一】加项减项凑处导数定义
【方法二】拆项用导数定义
由于，由导数定义知
所以
【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则
而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)
【方法四】由于在处可导，则
综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算
(3)设是数列，则下列命题正确的是
(A)若收敛，则收敛。

(B)若收敛，则收敛。

(C)若收敛，则收敛。

(D)若收敛，则收敛。

【答案】A。

【解析】
若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛
综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件
(4)设,则的大小
关系为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。

【解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，
由于当时，
又因为为上的单调增函数，所以
,
故
即
综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2
行和第3行得单位矩阵，记,,则
(A)(B)
(C)(D)
【答案】D。

【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵
按题意，
从而，从而
所以
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵
(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性
无关的解，
为任意常数，则的通解为
(A) (B)
(C)
(D)
【答案】C。

【解析】
因为是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，那么是的2个线性无关的解。

从而即
显然，因此
由于知(A),(B)均不正确。

又，所以是方程组的解综上所述，本题正确答案是C。

【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解
(7)设与为两个分布函数，其对应的概率密度与
是连续函数，则必为概率密度的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。

【解析】
判断函数是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：
(1)满足是概率密度的充要条件
和
(2)或者,而为分布函数
由于与为两个分布函数，显然也是分布函数，而
综上所述，本题正确答案是D。

【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度
(8)设总体的服从参数为的泊松分布，为
来自该总体的简单随机样本，则对于统计量和
,有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。

【解析】
,所以，,相互独立均服从可求得
而，
所以
综上所述，本题正确答案是D。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。

）
(9)设,则。

【答案】。

【解析】
综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算
(10)设函数,则。

【答案】。

【解析】由，可得
所以
综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算
(11)曲线=在点处的切线方程为。

【答案】。

【解析】
方程=两端对求导得
将代入上式，
故所求切线方程为
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线
(12)曲线直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所
成的旋转体的体积为。

【答案】
【解析】
由旋转体公式得
综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用
(13)设二次型的秩为1，的各行元素之和为3，
则在正交变换下的标准形为。

【答案】
【解析】
的各行元素之和为3，即
所以是的一个特征值。

再由二次型的秩为1是的2重特征值。

因此正交变换下标准形为
综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—二次型—二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形
(14)设二维随机变量服从正态分布，则。

【答案】。

【解析】
服从正态分布
所以与相互独立，且
==
综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
三、解答题：小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。

(15)求极限.
【解析】
【方法一】
(等价无穷小代换)
(洛必达法则)
(极限为非零常数的因子极限先求)
(洛必达法则)
=【方法二】
(等价无穷小代换)
(分子有理化)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
(16)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极
值，.求.
【解析】
由链导法则，，其中.
所以
由于是的极值，则
, ,
令，得
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算
，多元函数的极值
(17)求不定积分.
【解析】
【方法一】
令，则
【方法二】
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)证明恰有两个实根。

【解析】
令，本题也就是要证明恰有两
个零点
令得，则
当时，,单调减；
当时，,单调增；
当时，,单调减；
又
则为的一个零点，在内还有一个零点故恰有两个实根。

【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别
(19)设函数在上有连续导数，且
,其中
.求的表达式。

【解析】
化已知等式左边的二重积分为二次积分计算
等式右边的二重积分化为二次积分
可知为区域的面积，区域易得为三角形，面积为
所以
所以
两边对求导得
解得，由得
所以，
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义
高等数学—常微分方程和差分方程—齐次微分方程，一阶线性微分方程
(20)设向量组，，不能由
向量组，，线性表示
(I)求的值；
(II)将用线性表示。

【解析】
(I)因为，所以线性无关。

那么不能由线性表示线性相关，即
所以
(II)如果方程组都有
解，即可由线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解
对做初等行变换，有
所以，
【考点】线性代数—向量—向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关
(21)设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且
(I)求的所有特征值与特征向量；
(II)求矩阵
【解析】
(I)因知，所以是的特征值
又
所以按定义，是的特征值，是属于的特征向量；
是的特征值，是属于的特征向量。

是属于的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此
解出
故矩阵的特征值为；特征向量依次为
,其中均是不为0的任意常数。

(II)由，有
【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵
(22)设随机变量的概率分布分别为
01
P
01
P
且
(I)求二维随机变量的概率分布；
(II)求的概率分布；
(III)求的相关系数。

【解析】
(I)由得
而
即
的概率分布的边缘分布为
-101 0
1
已知
最后可得
-101
000
10
(II)的可能取值,由的概率分布可得的概率分布
01
P
(III)由及的概率分布得
，
, 所以。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
(23)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由
与所围成的三角形区域
(I)求的概率密度；
(II)求条件概率密度。

【解析】
(I)
当或时，；
当时，；
当时，
所以
(II)
等价于
在时，条件概率密度
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常见二维随机变量的分布
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