07级高等数学AI2008年1月(有答案)

07级高等数学AI2008年1月(有答案)
高等数学AI 2022年.1.21
一、填空题(每空3分，共18分) 1.函数y
2x arcsinx的自然定义域为。

2.x 2是函数y
x 3x 2x 2
2
的第类间断点。

3.设f(x) x(x 1)(x 2) (x 2022年)，则f'(0) 。

4.若exf(x) 2x2 3x c。

则f(x) 。

5.由xoy坐标面上的曲线5x2 3y2 8绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为
6.已知向量a i k，b 2i 3j，则a b 。

二、计算题(每小题6分，共36分) 1.limn[ln(n 1) lnn] 2.lim
n
sinx __tanx
2
x 0
3.试讨论函数f(x) sinx在x 0处的可导性。

t
x 3e
4.求曲线，在t 0相应的点处的切线和法线方程。

t
y 2e
5.设函数y y(x)由方程ex y cosy 0所确定，求
dydx。

6.确定函数y 3x4 4x3 1的单调区间及该函数图形的拐点。

三、计算积分(每小题6分，共18分) 1.
ee
2x
x
4
dx 2.
41
ln__
3.
50
x 8x 16dx
2
四、解答题(每小题7分，共14分)
2
1.求曲线y x 1、x轴及直线x 2三者所围成平面图形绕x轴旋转而成
的旋转体体积。

2.求过点A(2,0, 3)且与直线l:
x 2y 4z 7 0 3x 5y 2z 1 0
垂直的平面方程。

五、证明与综合题(每小题7分，共14分) 1.设f(x)为区间[a,b]上的正值连续函数，F(x)
xa
f(t)dt
xb
dtf(t)
，x [a,b]
证明：方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个根。

x x
2
2.已知函数f(x)
sint，(x R)，
(1) 证明：对任意的x R，有f(x ) f(x)；(2)试求函数f(x)在R上的最大值。

答案：一、1. 1 x
12
2. 第一类间断点
3. -2022年!
4. e x(4x 3)
5. 5(x2 z2) 3y2 8
6. 2
二、计算题(每小题6分，共36分) 1.limn[ln(n 1) lnn] limln(1
n
n
1
2.lim
sinx __tanx
2
x 0
= lim
sinx __ x
2
x 0
=lim
n
cosx 13x
2
) lne 1
n
x 0
=
16
3.试讨论函数f(x) sinx在x 0处的可导性。

在x 0处不可导因为f'(0) lim
f(x) f(0)
x 0
x 0
lim
sin__
x 0
1 1
x 0x 0
，左右导数不相等。

t
x 3e
4.求曲线，在t 0相应的点处的切线和法线方程。

t
y 2e
解t 0对应点(3,2)，
dydx
= t 0
23
，所以切线方程y 2
dydx
23
(x 3)，法线方程y 2
32
(x 3)
5.设函数y y(x)由方程ex y cosy 0所确定，求
x y
'
'。

e
x y
x y
解两边对x求导e(1 y) sinyy 0 整理
dydx
=
siny e
6.确定函数y 3x4 4x3 1的单调区间及该函数图形的拐点解y' 12x3 12x2 12x2(x 1)，令y' 0 驻点x 0,x 1
y 36x 24x 12x(3x 2)，令y 0，
x 0,x
''
2
''
2，
(23, 79)
所以函数在( ,1)上单调递减，函数在(1, )上单调递增，拐点(0,1), 三、计算积分(每小题6分，共18分) 1.
ee
412x
x
4
dx=
(e
4
de
x
2
x
2
) 2
=
12
arctan
e
x
2
4
c
2. 3.
ln__
2
=
1
2lnxd
x=2(xlnx1
41
x
1x
dx)=4ln4 4
5
50
x 8x 16dx=
50
x 4= (4 x)dx+ (x 4)dx=8 4
4
12
172
四、解答题(每小题7分，共14分)
1.求曲线y x2 1、x轴及直线x 2三者所围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。

解Vx
21
22
(x 1)dx=
21
42
(x 2x 1)dx= (
15
x
5
23
x x)1
32
3815
2.求过点A(2,0, 3)且与直线l:
j 25
k
x 2y 4z 7 0 3x 5y 2z 1 0
垂直的平面方程。

解
n 4=( 16,14,11)，由点法式得平面方程为16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0 2
五、证明与综合题(每小题7分，共14分) 1.设f(x)为区间[a,b]上的正值连续函数，F(x)
xa
f(t)dt
xb
dtf(t)
，x [a,b]
证明：方程F(x) 0在区间(a,b)内有且仅有一个根。

证明因为F(x)在[a,b]上连续，且F(a)F(b) 0
aa
ab
{F(a)
f(t)dt
dtf(t)
ab
dtf(t)
0 F(b)
ba
f(t)dt
bb
dtf(t)
f(t)dt 0}
a
b
由零点定理，方程F(x) 0在区间(a,b)内至少有一个根；又F'(x) f(x) 1f(x)
0，F(x)在区间(a,b)内单调递增，故根是唯一的。

2.已知函数f(x)
x x
2
sint，(x R)，
(1) 证明：对任意的x R，有f(x ) f(x)；
x x
2
证明f(x)
sint，所以f(x )
x x
2
sint
(令t y ，t x ，y x；t x
x x
2
，y x
；dt dy)
2
f(x )
sint=
x x
2
siny f(x)
(2)试求函数f(x)在R上的最大值。

x 2 sinx cosxsintdt x
解f(x) =
x
2 cosx sinx 2sintdt x
0 x
2
2
x
sinx cosx
f'(x)
sinx cosx
0 x
2
x
在x
2
处，limf'(x) 1，limf'(x) 1，故在x x
2
2
x
2
处可导。

sinx cosx 3
令f'(x) 0，x ，x ，f''(x)
44 sinx cosx
f(
''
0 x
2
2
x
4
) 2 0，有极大值，f(
3 4
) 2 0，有极小值，
所以，函数f(x)在R上的最大值是2。