2020届浙江省“9 1”高中联盟高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届浙江省“9+1”高中联盟高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{}1,0,2,3A =-，{}
11B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{}0,2 B ．{}2,3
C ．{}1,0,2-
D ．{}0,1,2
【答案】A
【解析】求出集合B 后可求A B I . 【详解】
{}
{}[]11|1110,2B x x x x =-≤=-≤-≤=，所以{}0,2A B =I .
故选：A. 【点睛】
本题考查集合的运算（交集）以及求绝对值不等式的解，解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向. 2．以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）
C ．（3，3）
D ．（3，2）
【答案】B
【解析】由过两点的直线斜率公式逐一判断即可得解. 【详解】
解：由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==o ， 则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为
321
213
-=---，显然点()2,3-不满足题意；
过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为
12
101
-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为
321
312
-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为
22
031
-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B. 【点睛】
本题考查了斜率公式，重点考查了运算能力，属基础题.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．1 3
B．
2
3
C．
4
3
D．2
【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算体积即可.
【详解】
由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其底面面积S
1
21
2
=⨯⨯=1，高h=2，故体积V
12
12
33
=⨯⨯=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．4．若实数,x y满足
20
220
x y
x y
x y
-≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-+≥
⎩
，则2
z x y
=-的最大值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】画出不等式组对应的可行域，平行移动直线20
x y z
--=后可得z的最大值. 【详解】
不等式组对应的可行域如图阴影部分所示（含边界）：
把动直线平移到A 处，z 取最大值.
由2200x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩
，故()2,2A ，所以min 2222z =⨯-=.
故选：C. 【点睛】
二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而
2
1
y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 5．已知平面α，β，直线m 满足m β⊄，αβ⊥，则“m α⊥”是“m βP ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系. 【详解】 设n αβ=I ，
若m α⊥，则过β内一点A 作n 的垂线，垂足为B ， 因为αβ⊥，n αβ=I ，,AB AB n β⊂⊥，故AB α⊥， 因为m α⊥，故AB m ∥，而m β⊄，AB β⊂，故m βP . 故命题“若m α⊥，则m βP ”为真命题.
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AA D D ⊥平面ABCD ，
BC ∥平面平面11AA D D ，但BC 与平面ABCD 不垂直.
故命题“若m βP ，则m α⊥”为假命题. 故“m α⊥”是“m βP ”的充分不必要条件. 故选：A.
【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则
p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命
题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
6．设函数()sin 1x
x
f x e
-
=
+，则()f x 的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据0x ≥时()f x 的函数值的范围及2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的符号可得正确选项. 【详解】
当0x ≥时，()sin 1
111
x
x f x e -=
≤=+，故()11f x -≤≤， 又2
1021f e
ππ-
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
+，
对比A ，B ，C ，D 中的函数图像，只有B 符合这个性质. 故选：B. 【点睛】
本题为图像识别题，考查图形构建的能力，一般地，我们需要从函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点或某范围上的函数值及其符号来做正确的判断.
7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A ．180
B ．192
C ．420
D ．480
【答案】C
【解析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】
相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.
若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有3
5C ，相对的两个直角三角形必同色，
此时共有不同的涂色方案数为33
5360C A =（种）.
若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有4
5C ，相对的两个直角三角形必同色，
余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414
524240C C A =（种）.
若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为
55120A =（种）.
综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】
本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题. 8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若
1
03
p <<，则（ ）
A ．()5
2E X = B ．()218
E X >
C ．()1
4
D X >
D ．()2081
D X <
【答案】D
【解析】结合二项分布可计算随机变量X 的分布列，再利用公式可求()E X 、()D X ，最后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】
随机变量X 可能的取值为2,3.
()()2
022
22221221P X C p C p p p ==+-=-+.
()()()()11222311122P X C p p p C p p p p p ==-+--=-，
故X 的分布列为：
故()()()2
222152221322222222E X p p p p p p p ⎛⎫=⨯-++⨯-=-++=--+ ⎪⎝
⎭ 因为103
p <<
，故()2229E X <<，而
2252221
,9298<<，故A 、B 错误. 而()()(
)()2
2
2
2
4221922222D X p p p p
p
p =⨯-++⨯---++，
令2
21122222t p p p ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝
⎭，因为11032p <<<，
故409t <<
，此时()()()22
2041920,81D X t t t t t ⎛⎫=⨯-+-+=-+∈ ⎪⎝⎭
， ()1
4
D X <
必成立，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.
9．已知平面向量a v ，b v ，c v 满足对任意x ∈R 都有a xb a b -≥-v v v v ，a xc a c -≥-v v v v
成立，且1a c b c -=-=v v v v ，3a b -=v
v ，则a v 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．7
【答案】C
【解析】根据任意x ∈R 都有a xb a b -≥-r r r r 可得()a b b -⊥r r r ，同理()
a c c -⊥r r r
，再
根据1a c b c -=-=r r r r ，3a b -=r r 得到,,a b c r r r 的终点和起点（三个向量的起点为同
一个点）在一个圆上，据此可求a r
的值.
【详解】 如图，
设,,OA a OB b OD xb ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则DA a xb =-u u u r r r ，
因为任意x ∈R 都有a xb a b -≥-r r r r ，故a b -r r 是诸向量DA uuu r
的模的最小值，而A 为定
点，
故AB u u u r 是DA u u u r 的最小值即AB OB ⊥u u u r u u u r 即()a b b -⊥r r r ，同理()
a c c -⊥r r r ，
设平面向量a r ，b r ，c r
共起点，因为1a c b c -=-=r r r r ，故c r 的终点在,a b r r 的终点的中
垂线上，故,,a b c r r r
的终点和起点可构成如下图形：
因为3a b -=r r ，故=3AB u u u r ，而1BC AC ==u u u r u u u r
，
故120ACB ∠=︒，因AB OB ⊥u u u r u u u r ，AC OC ⊥u u u
r u u u r ，
故,,,O B C A 四点共圆（据此可得,B C 在直径OA 的同侧，否则与120ACB ∠=︒矛盾），
故60BOA ∠=︒，所以3
323
OA ==u u u r .
故选：C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算及模的计算，注意挖掘向量的模的不等式或等式所蕴含的几何意义，此问题属于难题.
10．设实数x ，y 满足22
413
x xy y x y ++=+-，则代数式2
413
xy y x y ++-（ ）
A ．有最小值631
B ．有最小值
413
C ．有最大值1
D ．有最大值
2021
【答案】B
【解析】先利用条件把4
13
x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】
设y t x
=，则222222221
114113
xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()
22222244
1(1)01313
x tx t x x tx t t x t x ++=+-
⇒++-++=， 1
0(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤.
221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤
++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
⎣⎦，
2
min 441313xy y x y ⎛⎫
⎪+= ⎪ ⎪
+-⎝
⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪
+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.
二、填空题
11．椭圆22
143
x y +=的长轴长是______，离心率是______．
【答案】4
1
2
【解析】分析：由椭圆方程22
143
x y +=确定椭圆的22,a b ，进而求出,a b ，再求长轴
长、短轴长、离
心率。

详解：由椭圆22
143
x y +=可知，椭圆焦点在x 轴上，224,3a b ==。

所以，2,a b ==。

所以椭圆的长轴长为224⨯=
，短轴长为
离心率为c e a =
=
点睛：求椭圆的长轴长、短轴长、离心率，应先根据椭圆的标准方程求22,a b ，注意22a b <，再求,a b 。

12．已知复数z 满足()112i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为________，模
z =___________.
【答案】3
2
-
【解析】先把复数进行化简为a bi +的形式，然后可求虚部和模长. 【详解】 由题意，()()()()i 112i 12i 13i i 1i 1i 122
z +++=
==--+-，所以复数z 的虚部为3
2-，
模长2z =
=
故答案为：32
-；
2
. 【点睛】
本题主要考查复数的运算及相关概念，化简复数为a bi +的形式是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
13．二项式6
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开的所有项的系数和为______；展开式中的常数项是______． 【答案】729 160
【解析】利用赋值法可求所有项的系数和，利用通项公式可求展开式的常数项. 【详解】
62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66216622r
r r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
, 令620r -=，则3r =，故常数项为第4项且4160T =.
又6
662602=2r r r
r x C x
x -=⎛⎫+ ⎪⎝
⎭∑，令1x =，则6
66023729r r r C ===∑即各项系数和为729. 故答案为：729，160. 【点睛】
与二项展开式中项的系数有关的和的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据
和式的特点做合适选择，指定项的系数的计算需利用二项展开式的通项公式来计算． 14．已知二次函数()2
1f x ax bx =++，一次函数()1g x x =-，不等式()()
f x
g x ≤的解集为[]1,2，则b
a =______；记函数()()()()()()(),,f x f x g x h x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨≥⎪⎩
，则()h x 的最小值是______． 【答案】1 0
【解析】利用一元二次不等式的解与对应方程的关系可求,a b ，再画出()h x 的图象，根据图象可求()h x 的最小值. 【详解】
不等式()()f x g x ≤可化为()2
120ax b x +-+≤，
因为该不等式的解集为[]1,2，故1,2为方程()2
120ax b x +-+=的两个根，
所以01
12212a b a a ⎧
⎪≠⎪
-⎪
+=⎨⎪
⎪⨯=⎪⎩
，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以1b a =.
由题设有，()()(){}
max ,h x f x g x =，它的图象如图所示：
由图像可得函数的最小值为0. 故答案为：1,0. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解与对应的方程的根之间的关系以及分段函数的最值，一般地，“三个二次之间的关系”是指一元二次不等式的解集的端点是对应方程的根，也是函
数图象与x 轴交点的横坐标（即函数的零点），讨论形如()()(){}
max ,h x f x g x =这样的函数的性质，可利用()(),f x g x 的图像来考虑（取两个图象中位于上方的部分）. 15．若
sin 21
1cos 23
αα=-，()tan 21βα-=，则()tan αβ-=______．
【答案】2
【解析】先求出tan α，再由()2α
βαβα-=---结合两角差的正切公式可求
()tan αβ-.
【详解】 因为
sin 211cos 23
αα=-，故2
2sin cos 11
2sin tan 3αααα==即tan 3α=，所以()tan 3α-=- ()()()()()
()()
tan tan 2tan tan 21tan tan 2αβααβαβααβα----=⎡---⎤=
⎣⎦+--
()31
2131
--=
=+-⨯.
故答案为：2. 【点睛】
三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．
16．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上的一点，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，
若12PF F △的内切圆的直径为a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.
【答案】2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】设1||PF m =，2||PF n =，P 为双曲线的右支上一点，设(,)P s t ，由双曲线的第二定义得到m es a =+，n es a =-，结合12PF F ∆的面积转化为2a t s =-有解，结合双曲线的渐近线和离心率，即可求解. 【详解】
如图所示，设1||PF m =，2||PF n =，P 为双曲线的右支上一点， 设(,)P s t ，由双曲线的第二定义：||
PF e d
=
（d 为P 到双曲线的焦点F 相应准线的距离），可得m es a =+，n es a =-，由12PF F ∆的面积可得
112||(2)222
a
c t m n c ⋅⋅=⋅⋅++， 即为()2c t a es c =+，即2c t cs ca =+，则2a t s =-有解， 不妨设0t >，可得20t s ->，可得11
22
t s a =+， 由渐近线方程为b
y x a =±，且(,)P s t 在双曲线上，可得12
b a >时，方程2a t s =-有解，
则22151142
c b e a a ==+>+=
.
故答案为：5,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义的应用，以及双曲线的离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①利用定义法，求出a ，c 的值，代入公式c
e a
=
；②只需要根据条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
17．已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，1sin 2n n a a π+=，()*
n N ∈，记数列{}n a 的前n
项和为n S ，则对任意*n N ∈，则①数列{}n a 单调递增；②1122n n a a S +≤+；③13144n n a a +≥+；④2019
2020
n a <．上述四个结论中正确的是______．（填写相应的序号）
【答案】①②③ 【解析】先证明当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，
总有2
sin x x π>，再利用数学归纳法证明1
13
n a ≤<，
最后再利用导数311sin ,12
443x x x π
⎛⎫
⎡⎫≥
+∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
及()3sin 0122x x x π<<<均成立，从而可得正确的选项. 【详解】
先证明一个性质：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
时，总有2sin x x π>(★). 证明：令()2
sin f x x x π=-
，其中0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭， ()2
cos f x x π
'=-
，()f x '为0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上的减函数， 因()2
010f π'=-
>，202f ππ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭，故()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
存在唯一的零点0x x =.
当()00,x x ∈时，()0f x '>；当0,
2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0f x '<， 故()2
sin f x x x π=-
在()00,x 为增函数，在0,2x π⎛⎫
⎪⎝
⎭为减函数，
因()002f f π⎛⎫
==
⎪⎝⎭，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，总有()()00f x f >=即2sin x x π>， 从而性质得证. 令(),0,12
x t t π
=∈，由已证性质则有2sin 2
2
t t t π
π
π>
⨯⨯=， 故sin
2
t t π
>对任意的()0,1t ∈恒成立.
以下用数学归纳法证明：当1n ≥时，总有1
13
n a ≤< 因为111,
32a ⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
，所以1113a ≤<成立. 设当n k =时，1,13k a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，因622k
a πππ≤
<，故1112k a +≤<即11
13k a +≤<， 所以1n k =+时，也有
11
13
k a +≤<成立， 由数学归纳法可知：对任意的1n ≥，总有1
13
n a ≤<.
由性质★可得sin 2
n
n a a π>即1n n a a +>，故数列{}n a 单调递增，所以①正确.
令()3sin 2
2g x x x π
=-
，其中1
13
x ≤<. 则()3cos
2
22g x x π
π
'=
-，()g x '在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数且
()13
30,103422g g ⎛⎫''=-<=-< ⎪⎝⎭
，
所以()3sin
2
2g x x x π
=-
在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数， 所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，有()103g x g ⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
即3sin 2
2
x x π
≤
， 所以3sin
2
2n n a a π
≤
即132n n a a +≤，整理得到：11
2
n n n a a a +-≤，其中1,2,3,,n =L 故21112
a a a -≤
3221
2
a a a -≤，
M
11
2
n n n a a a +-≤
累加后可得111
2
n n a a S +-≤即1122n n a a S +≤+，故②正确. 令()31sin 244h x x x π=--，其中1
13
x ≤<
则()3cos
2
24h x x π
π
'=
-，()h x '在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，
而133
cos
032
6
44
h π
π
-⎛⎫
'=
-
=> ⎪⎝⎭
，()3104h '=-<，
所以()h x '在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
存在一个零点1x x =，
当11,3x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>；当()1,1x x ∈时，()0h x '<，
故()h x 在11,3x ⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数，在()1,1x 为减函数，
而()1110,10322h h ⎛⎫=
-== ⎪⎝⎭，所以当1
13
x ≤<时，()0h x ≥恒成立， 所以31sin
2
44x x π
≥
+在1,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上恒成立.
故当1n ≥时，总有31sin
244n n a a π
≥
+成立即+131
44
n n a a ≥+成立，故③正确.
因为+13144n n a a ≥+，故()+13114n n a a -≥-即()+13
114
n n a a -≤-，
因为2013n a <-≤，由累乘可得()()1
13114n n a a -⎛⎫-≤- ⎪
⎝⎭
，
整理得到()1
13114n n a a -⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭
，
当()413log 20201n a >-⎡⎤⎣⎦时，则有()
1
131
420201n a -⎛⎫
<
⎪-⎝⎭，
故()1
131142020n a -⎛⎫-<
⎪⎝⎭
，此时有()1
132019
1142020
n a -⎛⎫-->
⎪⎝⎭
，故④不成立. 综上，四个结论中正确的是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查数列的单调性、数列不等式的证明、导数应用等，一般地，数列的单调性判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到，此问题属于难题.
三、解答题
18．已知(
)()
sin sin f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期及最大值；
（2）在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()1f B =，
1b =
，a =ABC ∆的面积.
【答案】（1）最小正周期π，最大值为
32；（2
【解析】（1）先把()f x 化简为标准型，然后可求周期和最大值；
（2）先由()1f B =求出角B ，然后利用正弦定理求出角A ，进而得到角C ，结合面积公式可得或者利用余弦定理求出c ，结合面积公式可得. 【详解】
（1）由条件知：()1cos 231sin 2sin 22262x x x f x π-⎛
⎫=
+=-+ ⎪⎝
⎭， 故周期22T π
π=
=，()max 332
f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由()1
sin 2162f B B π⎛
⎫=-
+= ⎪⎝
⎭，得266
B ππ-=或56π，即6B π
=或2π. 由a b >可知A B >，故只能6
B π
=
，（否则2
B π
=
，2
A π
>
就有A B π+>与实际不符.）
法一：由正弦定理：
sin sin a b A B =，得：2sin A =，故4A π=或34
π，
故712C π=
或12π，762sin sin sin 12344C πππ+⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭
， 或62
sin sin
12
4
C π
-==
， ∴131sin 24ABC S ab C ∆+=
=
或31
4
-. 法二：由1b =，2a =，6B π
=且222
cos 2a c b B ac
+-=可知2610c c -+=，
得62
c ±=
，故131sin 2ABC S ac B ∆±==
. 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质及求解三角形问题，三角函数的性质问题一般是先化简目标式为标准型，再结合相关的公式求解，三角形面积的求解关键是求解两边及夹角，侧重考查数学运算的核心素养.
19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，
1==PA AB ，2AD =，F 是PB 中点，点E 在棱BC 上移动．
（1）若AB AD ⊥，求证：PE AF ⊥；
（2）若23
π
BAD ∠=
，当点E 为BC 中点时，求PA 与平面PDE 所成角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）
4
π
. 【解析】（1）先证明BC ⊥平面PAB ，得到BC AF ⊥后可证AF ⊥平面PCB ，从而得到要证明的线线垂直.
（2）连接AE ，过A 作PE 的垂线，垂足为G ，可证明PEA ∠为PA 与平面PDE 所成角，利用解直角三角形的方法可求PEA ∠的大小. 【详解】
（1）因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD BC ∥，因为AB AD ⊥，故BC AB ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PA BC ⊥， 因为PA AB A =I ，所以BC ⊥平面PAB . 因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥.
因为1==PA AB ，F 是PB 中点，故PB AF ⊥.
因为PB BC B ⋂=，所以AF ⊥平面PCB ，而PE ⊂平面PCB ，故PE AF ⊥. （2）连接AE ，故A 作PE 的垂线，垂足为G .
因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故PA AD ⊥，同理PA AE ⊥. 在Rt PAD ∆中，因为1,2PA AD ==，故5PD =.
在ABE ∆中，1,18012060AB BE ABE ==∠=︒-︒=︒，故1AE =. 在Rt PAE ∆，1PA =，故2PE =
.
在DCE ∆中，1,120DC CE DCE DAB ==∠=∠=︒，故3DE =所以222PD PE DE =+，所以PE DE ⊥，同理AE DE ⊥. 因为PE AE E =I ，所以DE ⊥平面PAE . 因为DE ⊂平面PDE ，故平面PAE ⊥平面PDE .
因为PG PE ⊥，PG ⊂平面PAE ，平面PAE I 平面PDE PE =， 所以PG ⊥平面PDE ，故PEA ∠为PA 与平面PDE 所成角，
在Rt PAE ∆中，1PA AE ==，故4
PEA π
∠=
，
所以PA 与平面PDE 所成角为4
π. 【点睛】
线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为
2
π
得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()431n n n S a a =+-，已知等比数列{}n b ，21b a =，34b a =，*n N ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n
n n
a c
b =
，数列{}n c 的前n 项和n T ．证明：对一切正整数n ，6n T <． 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）利用1n n n a S S -=-把题设中的递推关系转化为关于12n n a a --=，再利用等差数列的通项公式可求n a ，最后利用等比数列的性质可求等比数列{}n b 的公比，从而得到n b .
（2）利用错位相减法可求n T ，利用不等式的性质可证明6n T <. 【详解】
（1）因为()()431n n n S a a =+-，故()()111431n n n S a a ---=+-，两式相减得到：
2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得到()22112n n n n a a a a --+=-.
因为0n a >，故12n n a a --=，故{}n a 是等差数列且公差为2.
又()()111431a a a =+-即2
11230a a --=，解得13a =或11a =-（舍）.
所以()31221n a n n =+-⨯=+.
又21343,9b a b a ====，故等比数列的公比3
2
3b q b =
=，所以21333n n n b --=⨯=. 故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =+，1
3n n b -=.
（2）由（1）得1213n n n c -+=
，故12n n
T c c c =+++
L 0121
35721
3333n n -+++++=L ， 所以1231357212133333
13n n n
n n T --++++++=L ， 两式相减得到：1
121211332222121331333332313
n n n
n n T n n --⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦++++-==+--L 1
12124
44333
n n n n n -++⎛⎫=--=- ⎪
⎝⎭
，化简得到1
263n n n T -+=-. 因为
1
2
03n n -+>，故6n T <. 【点睛】
数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，我们常利用这个关系
式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 21．已知抛物线2:C x ay =的图象经过点()2,1.
（1）求抛物线C 的方程和焦点坐标；
（2）直线l 交抛物线C 于A ，B 不同两点，且A ，B 位于y 轴两侧，过点A ，B 分别作抛物线C 的两条切线交于点P ，直线AP ，BP 与x 轴的交点分别记作M ，N ．记
ABP ∆的面积为1S ，ANP ∆面积为2S ，BMP ∆面积为3S ，试问
1
23
S S S +是否为定值，
若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）2
4x y =，焦点坐标为()0,1；（2）
1
23
S S
S +为定值且定值为1.
【解析】（1）将点代入抛物线方程求出a 后可得所求的抛物线方程及焦点坐标.
（2） 设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，利用导数求出切线的斜率后可求切线,PA PB 的方
程，求出,M N 的坐标后可用12,x x 表示123,S S S +，化简后可得1
23
S S S +为定值.
【详解】
（1）将()2,1代入方程有41a =⨯，故4a =，所以抛物线的方程为2
4x y =，
焦点坐标为()1,0.
（2）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
2
2,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，AB 的中点为S .
因为抛物线的方程为24
x y =，故2x y '
=，所以12,22PA PB x x k k ==，
故直线()2211111:2424x x x x PA y x x x =-+=-，同理2
22
:24
x x PB y x =-.
令0y =，则12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 由2112222424
x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121224x x x x x y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭.
因为122S x x x +=，故PS x ⊥轴，又22
12
8
S x x y +=，
所以3
22
2112211211
22416
x x x x x x S x x -+=⨯-⨯-=.
又2122x x MN =-，故22
21112212
1223112222422224
x x x x x x x x x x S S +=⨯-⨯-+⨯-⨯- ()2
21
1216
x x x x -=
⨯+，
因为A ，B 位于y 轴两侧，故120x x <，所以3
2123
16
x x S S -+=，
即
1
231S S S =+，所以123
S S S +为定值且定值为1.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程的求法、焦点坐标的计算及定值问题，注意与抛物线切线相关的问题，可利用导数来计算切线的斜率，抛物线中的定值问题可通过设动点的坐标，把目标代数式表示为动点的坐标后再化简可得定值. 22．已知函数()(
)()ln 14f x x k x k =+++-. （1）若0k =，求出函数()f x 的单调区间及最大值；
（2）若4k ≠-且0k ≠，求函数()f x 在2
1,14k k ⎛⎫
⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝
⎭上的最大值()g k 的表达式.
【答案】（1）增区间为31,4⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，减区间为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
；最大值为32ln 2-；
（2）分类讨论，详见解析.
【解析】（1）先求解导数，判断单调性，然后可得最值；
（2）先求解导数，分类讨论40k +>或40k +<，结合导数在区间上的符号，及根的大小关系，进行分类求解. 【详解】
（1）由已知，0k =时，()()ln 14f x x x =+-， 故143
4)1
(,11f x x x x x --'-=
=>-++，
由()0f x '>得3
4x <-，所以()f x 的增区间为31,4⎛⎫-- ⎪⎝
⎭递增；
由()0f x '<得34x >-
，所以()f x 的减区间为在3,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
； 所以()max 332ln 24f x f ⎛⎫
=-
=- ⎪⎝⎭
. （2
）(
)()(
()
()
14214121)(f k x k x x +=
+--
+'+=+， 1︒ 40k +>，即4k >-时，所以()f x 在31,4⎛
⎫-- ⎪⎝⎭递增，在3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
递减，
下面比较2
14k k ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
与34-大小：
①当2
3414k k ⎛⎫-+ ⎪⎭>-+⎝，即4k >或443k -<<-时， ()max 332ln 244
x k
f f ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，
②当2
3414k k ⎛⎫-+ ⎪⎭≤-+⎝，即403k -≤<或04k <≤时， ()222
max
1ln 4444k k k k k f k k k f x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 2︒
40k +<，即4k <-时，由()0f x '=可得134
x =-，()2
2414x k =-+， 下面比较1x ，2x 大小：
①当12x x <，即84k -<<-时，()f x 在()10,x 递增，在()12,x x 递减，在()2,x +∞递增，
又2
1,14k x k ⎛⎤
⎛⎫∈--+ ⎥ ⎪ +⎝⎭⎥⎝⎦，故()()2
1max max ,14k f x f x f k ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫=-+ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎩
⎭
， 由84k -<<-知
24
k
k >+， 22
1ln 4ln 4432ln 244k k f k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+>+>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
()1332ln 244k f f x ⎛⎫
>
+-=-= ⎪⎝⎭
， 故()22
max
1ln 444k k f x f k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭； ②当12x x >，即8k <-时，()f x 在()20,x 递增，在()21,x x 递减，在()1,x +∞递增， 则
()()2
2max
max ,
14k f x f x f k ⎧⎫⎛⎫⎪
⎪⎛⎫=-+ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎝
⎭⎩⎭()2
24max 1,144k f
f k k ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪
⎪⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
， 而()()()222
4441ln 2444f x f k k k ⎛⎫=-=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭
222ln 1044k k --⎛⎫
=-+≤ ⎪++⎝⎭（利用重要不等式ln 10x x -+≤）
又8k <-，知2
104k k ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭
，故
()2
1004k f f k ⎛⎫⎛⎫-+>= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝
⎭， 所以()22
max
1ln 444k k f x f k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭； ③当12x x =，即8k =-时，()'0f x ≥，即()f x 在2
1,14k k ⎛⎤
⎛⎫--+ ⎥ ⎪ +⎝⎭⎥⎝
⎦单调递增， ()22
max
1ln 444k k f x f k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭； 综上所述，
当()44,4,3k ⎛
⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭U 时，332ln 2()44
g f k k ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭；
当()(],40,4k ∈-∞-U 时，22
()1ln 444k k g k f k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 当4,03k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，22
22()1ln 4444k k k g k f k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数求解单调区间和最值问题，主要是求解关于导数的不等式，同时要关注定义域，对参数的讨论要合理分类，主要是从根的大小及根与定义域的关系进行分类，综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.。