灰色系统理论与建模

1.40% 0.52% 2.71% 1.78%
残差修正GM(1,1)
若用
0
修正 X
(0)
则称修正后的时间响应式
b ak b (0) ( x (1) ) e k k0 a a (1) ˆ x ( k 1) b b ak b (0) (0) ( x (1) ) e a ( ( k 0 ) ) e a ( k k 0 ) k k 0 a a a

于是，
z (1) (2) (1) z (3) B z (1) (4) (1) z (5) 1 4.513 1 7.820 1 11.184 1 14.718 1 1 1 1 Y ( 2 ) 3 .2 7 8 (0) 3 .3 3 6 x (3) (0) x ( 4 ) 3 .3 9 0 (0) x (5) 3 .6 7 8 x
还原值
x ( k 1)
(0) (1)
x ( k 1) x ( k 1) x ( k )
(1)
(1)
(1)
k 1, 2, n 1
DGM(1, 1)模型是灰色预测模型的一种新形式，可 以全面解释原GM(1, 1)模型从离散形式到连续形式 转变问题，用DGM(1, 1)做纯指数增长序列预测模 拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性 问题。
(0)
ˆ ( 4 ), x
(0)
(5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
第七步
检验误差。 残差平方和
( 2 ) (3) T 0 .0 1 5 1 1 s [ ( 2 ), (3), ( 4 ), (5)] ( 4 ) (5) 平均相对误差 1 5 k 1 .6 0 2 5 % 4 k 2
误差检验表 序号 实际数据
x (k )
(0 )
模拟数据
(0)
残差
(k ) x (k ) x (k )
(0 ) (0 )
相对误差
k
x
(k )
1 2 3 4
3.278 3.337 3.390 3.679
3.230 3.3545 3.4817 3.6136
0.0460 -0.0175 -0.0917 0.0654
x
(0)
(k ) az
(1)
(k ) b
称之为GM(1, 1)模型的基本形式。
GM(1, 1) 模型的一般过程
其中a, b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色 作量,a的有效区间是(-2, 1)。 3. 求解参数。 应用最小二乘法可经下式得：
T T 1 T ˆ a ( a , b ) ( B B ) B Yn
ˆ x
(1)
( k 1) ( x
(0)
(1)
b a
) e
ak

b a
85.276151e
0.0372 k
82.402151
第五步
求 X
(1)
(1)
的模拟值
(1) (1) (1) (1) (1)
X
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( x (1), x (2), x (3), x (4), x (5))
x ( t 1) z ( t ) x ( t )
还原成总量。我们称经过 这种变换的模型为灰色增量 模型(IGM模型)。
2.新初值GM模型—以 x ( n ) 为初始条件的GM模型
(1)
根据灰色系统理论的新信息优先原理，把 x x 的第n个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以 使模型精度有所提高。灰色微分方程 的时间响应 函数为 b b
2
k 1
C s2

s1
p P{ e
(0)
( k ) e 0 .6 7 4 5 s1 }
当 k 0 .0 1 ， C 0 .3 5 ， p 0 .9 5 时，模型精度 为一级。当发展系数 a ( 2, 1) 且 a 0.3 时, 则所建 GM(1, 1) 模型则可用于中长期预测。
e

n
x
(0)
(k )
k 1
n 1
1
n
e
(0)
(k )
k 2
GM(1, 1) 模型的一般过程

求出原始数据方差 s1 与残差方差 s 2 的均方差比值C 和小误差概率p:
s1
2
2
2
1
[x n
k 1
n
(0)
(k ) x ]
2
s2
2
1 n

n
[e
(0)
(k ) e ]
1 1 / 2 ( x (1 ) (1) x (1 ) ( 2 )), (1 ) (1 ) 1 / 2 ( x ( 2 ) x (3)), 1 其中, B 1 / 2 ( x (1 ) ( n 1) x (1 ) ( n )), 1
灰色系统理论与建模
灰色系统理论基础

1982 年 ， 中 国 学 者 邓 聚 龙 教 授 创 立 的 灰 色 系 统 理 论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方 法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未 知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统为研究 对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提 取有价值的信息、实现对系统运行行为、演化规律 的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测 数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十 分宽广。
( i ), k 1, 2, , n
i 1
GM(1, 1) 模型的一般过程
2. 建模。 由 X (1) 构造背景值序列
Z
(1)
[z
(1)
( 2 ), z
(1)
(1)
(3), , z
(1)
( n )]
(1)
其中， z
(1)
(k ) x
( k 1) (1 ) x
T T

1
B
T
x (1) (0) (2) x (0) (n) x
(0)
1 / 2( x (1) (1) x (1) (2)), 1 (1) (1) 1 / 2( x (2) x (3)), 1 B 1 / 2( x (1) ( n 1) x (1) ( n )), 1
(2.874, 6.152, 9.489,12.897,16.558)
第二步
对X
(1)
作紧邻均值生成。令
z
得
(1)
( k ) 0 .5 x
(1)
( k 1) 0 .5 x
(1)
(k )
Z
(1)
(z
(1)
(2), z
(1)
(3), z
(1)
(4), z
(1)
(5))
(4.513, 7.820,11.184,14.718)

Yn [ x
(0)
( 2 ), x
(0)
(3), , x
(0)
( n )]
GM(1, 1) 模型的一般过程
4. 建立预测公式
(1) b ak b (0) ˆ x ( k 1) ( x (1) ) e a a x ( 0 ) ( k 1) x (1) ( k 1) x (1) ( k ) ˆ ˆ ˆ
(1)
(1)
x
(1)
(t ) ( x
(1)
(n)
)e
a (t n )

还原值
x
(0) (1) (1)
a
a (1)
a
b a )e
a ( t 1 n )
( t 1) x ( t 1) x ( t ) (1 e )( x ( n )
3.离散GM模型
称为
为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)
新陈代谢GM(1,1)
设原始序列为：
X
设 x 息
x
(0)
(0)
(x
(0)
(1), x
(0)
(2), , x
(0)
( n ))
( n 1) 为最新信息，置入最新信息，去掉最老信
(0)
(1) ，称用
X
(0)
(x
(0)
(2), x
(0)
(k )
( k 2, 3, , n ) 一般取= 0.5 ,建立白化方程
(影子方程)为
dx
(1 )
ax
(1 )
b
dt
称之为GM(1, 1)模型的原始形式
GM(1, 1) 模型的一般过程
这里，符号GM(1, 1)的含义如下： G M （1， 1）
Grey Model 1阶方程 1个变量 将上式离散化，微分变差分，得到GM(1, 1)微 分方程如下：
4. 无偏GM(1,1)模型

在求出
ˆ x
(0)
a,Fra Baidu bibliotekb
T
( B B ) B Yn
T T
1
之后, 得到模型：
a k 1
( k ) (1 e ) [ x (1) b a ] e
a
0
( k 2, 3, )
无偏GM(1,1)模型
令 再令，
2a ˆ1 ln , 2a 2b ˆ 2 2a
(x
(0)
(1), x
(0)
(2), x
(0)
(3), x
(0)
(4), x
(0)
(5))
(2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679)
试用GM(1,1)模型对 X
(0)
进行模拟。
第一步
对X
(0)
作一阶累加
(1) (1) (1) (1) (1)
X
(1)
( x (1), x (2), x (3), x (4), x (5))
(2.8704, 6.1060, 9.4605,12.9422,16.5558)
第六步
还原求出 X
(0)
的模拟值
(1) (1)
ˆ x
得
(0)
ˆ ˆ ( k 1) x ( k 1) x ( k )
(0)
X
ˆ (x
(0)
ˆ (1), x
(0)
ˆ ( 2 ), x
(0)
ˆ (3), x
x
(1 )
( k 1) 1 x
(1 )
(k ) 2
离散GM(1, 1)模型，即DGM(1, 1)模型。 k 1 1 时间响应函数： x (1 ) ( k 1) 1k x ( 0 ) (1) 2
1 1
这里，
(1, 2 ) ( B B )
(3), , x
(0)
( n 1))
建立的模型为新陈代谢GM(1,1)
GM(1，1)模型的变换
1.
GM增量模型 对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一 累减算子运算，分离出增量部分
z (t ) x
(0)
(0)
x ( t 1) x ( t )
(0) (0)
再对增量序列建立普通GM(1, 1)预测模型，最后再经 式 (0) (0) (0)
(0)
第三步
对参数列 得
ˆ a (a, b)
T
进行最小二乘估计。
ˆ a (B B)
T
1
0 .0 3 7 2 0 B Y 3 .0 6 5 3 6
T
第四步
确定模型
dx
(1)
0 .0 3 7 2 x
(1)
3 .0 6 5 3 6
dt
及时间相应式
GM(1, 1) 模型的一般过程
5.检验模型 (0) ˆ (0) 求出x ( k ) 与 x ( k ) 之残差 k ，相对误差 e ( k )
k e(k ) x
(0)
100%
(k )
ˆ e(k ) x (k ) x (k )
(0) (0)
求出原始数据平均值
x 1 n
x , 残差平均值 e :
GM(1, 1) 模型的一般过程
1.
累加生成。设 X
(0)
为原始序列
(0)
X
对 X
(0)
[x
(0)
(1), x
(2), , x
(0)
( n )]
(0)
进行一次累加生成，得生成序列
X
其中,
(1)
[x
(1)
(1), x
(1)
(2), , x
(1)
( n )]
x
(1)
(k )

k
x
(0)
GM(1, 1) 模型的一般过程
精度检验等级参照表 相对误差

关联度
0
均方差比值
C0
小误差概率
p0
一级 二级 三级 四级
0.01 0.05 0.10 0.20
0.90 0.80 0.70 0.60
0.35 0.50 0.65 0.80
0.95 0.80 0.70 0.60
例题
设原始序列为：
X
(0)