1.3 线段的垂直平分线 课件(共42张PPT)数学北师大版八年级下册

感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系： 两者都可以直接得到两条线段相等 . 区别： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的 距离 .
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知4－练
感悟新知
知4－练
(2)用尺规作 BC 边的垂直平分线.(不写作法，保留作 图痕迹)
解：如图所示， 直线MN即为所求．
性质 判定
线段的垂直 平分线
线段的垂 直平分线
三角形三条 边的垂直平 分线
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
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知2－练
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：一是定 义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进行判定，而利用判定定理判定一条直线 是线段的垂直平分线时，一定要证明直线 上有两点到线段两个端点的距离相等 .
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知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC， 点 E 是 AC上一点 . 求证： (1) BE=DE；
感悟新知
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求 的线段向已知条件转化 .
知1－练
解： ∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD. ∴ △ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8 cm. ∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.
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知1－练
1-1. [ 中考·丽水]如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分 线交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E，∠ B= ∠ADB． 若AB=4， 则 DC 的长是 ___4____.
3-1.如图， 点 P 为△ ABC 三边垂直平分线的交点， ∠PAC=20°，∠PCB=30° . (1)求∠ PAB 的度数；
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知3－练
解：∵点 P 为△ ABC 三边垂直平分线的交点， ∴PA＝PC＝PB. ∴∠PAC＝∠PCA＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°， ∠PAB＝∠PBA. ∴∠PAB＝12×(180°－2×20°－2×30°)＝40°.
知3－练
感悟新知
知3－练
OB=OC， 在△ BOM 和△ COM 中，ቐ∠ BOM=∠ COM，
OM=OM， ∴ △ BOM ≌△ COM(SAS) . ∴ ∠ BMO= ∠ CMO. ∵∠ BMO+ ∠ CMO=180°， ∴ ∠ BMO= ∠ CMO=90°，即 OI ⊥ BC.
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知3－练
3. 从草图中找出可作的基本图形，确定作图顺序；
4. 按确定的顺序作出所求作的图形.
感悟新知
例4 如图 1-3-8，已知线段 a.
知4－练
(1)只用直尺(没有刻度)和圆规，求作一个直角三角形 ABC，以 AB 和 BC 为两条直角边，使 AB=a，
BC=
1 2
a(要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
求作：△ ABC， 交BC 于点 D.
使AB=AC，
(3)在 l 上作线段 DA，使 DA=h.
BC=a，高 AD=h. (4)连接 AB， AC.
△ ABC 为所求作的等腰三角形 .
感悟新知
作图 已知、求作
过直 已知：如图，直线
线上 一点 作直 线的
l 和 l 上一点 P. 求作：直线 l 的垂 线，使它过点 P.
感悟新知
知3－讲
知识点 3 三角形三条边的垂直平分线的性质定理
性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这 一点到三个顶点的距离相等 .
感悟新知
特别解读
知3－讲
因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交
于一点，所以要证明三角形三条边的垂直平分线
的性质，只要证明这个交点在第三条边的垂直平
分线上即可.该性质综合了线段垂直平分线的性质
感悟新知
证明：连接BD. ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． 又∵BC＝DC， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线． ∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.
知2－练
感悟新知
知2－练
(2)∠ ABE= ∠ ADE. 证明：易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的 轴对称图形，∴∠ABE＝∠ADE.
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解：OI ⊥ BC. 证明如下：如图 1-3-7，延长 OI 交 BC 于点 M. ∵ OE 垂直平分 AB， OF 垂直平分 AC， ∴点 O 在 BC 的垂直平分线上 . ∴ OB=OC. 又∵ BI 平分∠ OBC， CI 平分∠ OCB， ∴ OI 平分∠ BOC，即∠ BOI= ∠ COI.
解：∵ BC=
1 2
AB=2
cm，∴
AC=2
5 cm.
设斜边 AC 上的高为 h cm，
∴ 12× 4× 2=
1 2
×
2
5 × h，解得 h= 4 5 5 .
∴ AC 边上的高为4 5 5 cm.
知4－练
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4-1. 已知△ ABC(如图). (1)用尺规作 AB 边上的高 .
解：如图所示， 线段CE即为所求．
垂线
作法
(1)如图，以点 P 为圆心， 适当长为半径画弧， 交直线 l 于点 A， B. (2) 作线段 AB 的垂直 平分 线 m. 直线 m 为所求作的垂线 .
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归纳总结
Hale Waihona Puke 知4－讲作图题的一般思路：
1. 假设所求作的图形已作出，画出草图；
2. 在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的
交点字母；
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的判定定理 三角形三条边的垂直平分线的性质
定理 用尺规作已知直线(或线段)的垂线
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 线段垂直平分线的性质定理
知1－讲
1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 . 条件： 点在线段的垂直平分线上 . 结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 .
知3－讲
感悟新知
知3－练
例3 如图 1-3-7， OE， OF 所在 直线分 别是 △ ABC 中 AB， AC 边的垂直平分线，∠ OBC，∠ OCB 的平分 线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予 证明 .
感悟新知
知3－练
解题秘方：根据三角形三边的垂直平分线相交 于一点和三个内角的平分线也相交 于一点这两条性质进行证明 .
AE=AF， 在△ AED和△ AFD中，ቐ∠ EAD= ∠ FAD，
AD=AD， ∴△ AED ≌△ AFD( SAS) .
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知2－练
∴ DE=DF.
切忌只证明一个点在线
∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上 . 段的垂直平分线上，就
∵ AE=AF，
说过该点的直线是线段 的垂直平分线.
∴ 点 A 在线段 EF 的垂直平分线上 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分
线上，思路有两种：
一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直 .
2. 用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证
明两个点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
例2 如图 1-3-4， AD 为∠ BAC 的平分线， 交 BC 于点 D，AE=AF，请判断线段 AD 所在的直线是否为线段 EF 的垂直 平分线 . 若是，请给予证明；若不是， 请说明理由 .
感悟新知
知4－练
解题秘方：紧扣尺规作图作线段垂直平分线及过 直线上一点作已知直线的垂线的步骤 作出三角形，并按提供的数据求高 .
感悟新知
解：如图 1-3-9，△ ABC 即为所求 .
知4－练
感悟新知
知4－练
(2)若在(1)作出的Rt△ ABC中，AB=4 cm，求 AC 边上 的高 .
感悟新知
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(2)直接写出∠ APB与 ∠ ACB 的数量关系： _∠__A_P_B__＝__2_∠_A_C__B____.
知3－练
感悟新知
知识点 4 用尺规作已知直线（或线段）的垂线 知4－讲
作图 已知、求作
作法
作等 腰三 角形
已知：如图，线 (1)如图，作线段 BC=a.
段a，h.
(2)作线段 BC 的垂直平分线 l，
垂线
作法
知4－讲
(1)如图，以点 P 为圆心， 适当长为半径作弧， 交直线 l 于点 A， B. (2) 作线段 AB 的垂直 平分线 m. 直线 m 为所求作的垂线 .
感悟新知
知4－讲
作图 已知、求作
过直 已知：如图，直线
线外 一点
l 和 l 外一点 P.
作直 线的
求作：直线 l 的垂 线，使它过点 P.
定理和判定定理，是这两个定理的升华，同时也
给出了判定三线共点的一种特殊方法 .
感悟新知
符号语言 如图 1-3-5，∵直线 MN， EF， PQ 分别垂直平分 BC， AB， AC，∴直线 MN， EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC. 拓展 几种三角形三条边的垂直平分线交点 的情况如图 1-3-6 所示 .
知2－练
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定，证明 直线 AD上的点 A 和点 D 到线段 EF 的两个端点的距离相等即可 .
感悟新知
解：线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 . 知2－练 证明：如图 1-3-4，连接 DE， DF. ∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ EAD= ∠ FAD.
知1－讲
特别解读 1. 线段的垂直平分线的性质中的“距离”是
“该点与这条线段两个端点的距离” . 2. 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段
相等，不必再用三角形全等来证明，因此它 为证明线段相等提供了新方法.
感悟新知
知1－练
例1 [母题教材P24习题T3 ]如图 1-3-2，在△ ABC 中， AB=5 cm，BC 的垂直平分线分别交 AB， BC 于点 D， E，△ ACD 的周长为 8 cm，求线段 AC 的长 .