1-07函数的连续性

x 0
f
( x0

x)
f
( x0 )]
0,那末就称函数
f ( x)在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x
0 就是
x

x, 0
y
0 就是
f
(x)
f ( x ). 0
定义 1′设函数 f ( x) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
断点. 三、1、x 1 为第一类间断点；
2、 x k 为可去间断点, 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1(
x)


x tan
x
,
x

k,
k

2
1, x 0
(k 0,1,2,) ,
二、函数连续性的运算定理
1. 连续函数的四则运算
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
x x0
f ( x)
f 2( x0 )
故| f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)

1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 0 连续
练习题
一、填空题：
1、指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2
恒有 f (u) f (a) 成立.
又 lim ( x) a, x x0
对于 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 ( x) a u a 成立.
将以上两步合起来,
0, 0,使当0 x x0 时, f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
2、指出 y x 2 x 在 x 0 是第________类间 x ( x 2 1)
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f ( x)
的连续性，并画出函数
是无穷小
证 任取x (, ),
y sin( x x) sin x 2sin x cos( x x )
2
2
cos( x x ) 1,则 y 2 sin x .
2
2
当x 0时,sin x 0 y 0. 2
即函数y sin x对任意x (, )都是连续的.
f ( x)在x0 连续，
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
且 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f
2(
x)


lim
x x0
f
(
x
)


lim
1
o1
x
解 f (1) 1 , f (1 0) 2 , f (1 0) 2,
lim f (x) 2 f (1), x1
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点。
这不禁使人联想到,在金庸的武侠小说里有用什么 “黑玉断续膏”抹在人的被切断的肢体上，接起来 绑上，过段时间就复原如初；骨科医生处理骨折病 人都是将断骨复位，然后再续上……
一元函数的连续性
一、函数的连续性 二、函数连续性的运算定理 三、最 (大,小) 值定理和介值定理
一、函数的连续性
函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
例1
试证函数
f
(x)


x sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
2.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处左连续;
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
lim f ( x)
x x0
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点x0 连续.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f ( lim x x0
x0 )
极限运算符号可与函 数符号交换位置
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如, u 1 在(, 0) (0, )内连续, x
y sin u 在(, )内连续, y sin 1 在(, 0) (0, )内连续.
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
命题 函数f ( x)在x0处连续 是函数 f ( x)在x0处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,

x

2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
3. 复合函数的连续性
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u)在点a连续, x x0
则有 lim f [( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
证 f (u)在点u a连续,
0, 0,使当 u a 时,
lim f [( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例7 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x x0
1
ln[lim(1 x)x ] ln e 1. x0
例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故y arcsin x在[1,1]上也是单调增加且连续. 同理y arccos x在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x, y arc cot x在[, ]上单调且连续.
反三角函数在其定义域内皆连续.
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
( g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
例如, sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
2. 反函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
抽刀断水水更流 子在川上曰：“逝者如斯夫！不舍昼夜。” 一棵小树在茁壮成长，越长越高
••• ••• — 到处可见的连续性
连续函数的图形是一条连续而不间断 的——可以一笔画成的曲线。
4、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
x 0, e x 1 x
同理可得
ax 1
e x lna 1
lim
lim
ln a
x0 x
x0 x
定理4 设函数u ( x)在点 x x0连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续, 则复合函数 y f [( x)]在点 x x0也连续.
1, x 1
的图形 .
三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函
数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)

x 3

1, x,
x x

1在 1
xR
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
练习题答案
一、1、一类,二类； 2、一类,一类,二类. 二、 f ( x)在(,1)与(1,)内连续,x 1 为跳跃间
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例5 讨论函数
f
(
x)

2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
1.连续的定义
定义 1
设函数
f
(
x
)
在U

(
x 0
)
内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
数的增量y 也趋向于零,即 lim y 0 或 x 0
lim [
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
3.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例6
函数
f
(
x)
1 x
,
x 0, 在x 0处,
x, x 0,
f ( 0 0 ) 0, f ( 0 0 ) ,
y
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间 断点.
o
例8 求 lim e x 1 . x0 x
解 令e x 1 y,则x ln(1 y), 当x 0时, y 0.
原式 lim y lim y0 ln(1 y) y0
1
1
ln(1 y) y
1
1

1
1, ln e
ln lim(1 y) y
y0
例4
讨论函数
f
(x)

x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
2)可去间断点 如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
1）跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
x
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
yox来自振荡型思考题若 f ( x)在x0 连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 是 否连续？又若| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 连续， f ( x) 在 x0 是否连续？
思考题解答
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续.
例如, 多项式函数在区间 (, ) 内是连续的。
有界函数与无
例3 证明函数 y sin x在区间(,穷)小内量连的续乘. 积
如例5中, 令 f (1) 2,
改变定义
y
则
f (x)

2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。
第一类间断点特点为：
函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
3）第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、