茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 大数定律与中心极限定理)【圣才出品】

是直线上的连续函数，试证：
证：若 g（x）是 m 次多项式函数，即 下证一般情况，对任意的 又选取 N1 充分大，使当
，则由上一题知有
，取 M 充分大，使有
时，有
，于是有
对取定的 M，因为 g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近 g（x），并且在任意
有限区间上还可以是一致的，因而存在 m 次多项式
，于是有
，因为
，故存在充分
由 的任意性知，当
时，有
结论得证．
6．设 D（x）为退化分布： 试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 n＝1，2，…）
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为此时的极限函数为
性质： lim F x=0 ，所以不是分布函数． x－
，不满足分布函数的基本
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有
故当
时，
即
成立，进一步由
可得
，所以又有
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成立．
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（2）先证明
对任意的
，取 M 足够大（譬如
），使有
成立，对取定的 M，存在 N，当 n＞N 时，有
这时有
从而有
由 的任意性知
，同理可证
由上面（1）得
即
成立．
3．如果
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证：先证充分性，令
，则
，
故 f（x）是 x 的严格单调增函数，因而对任意的
，有
于是对任意的
，当
时，有参见 2.3 第 12 题．
充分性得证．
下证必要性，对任意的
，令
大的 N，使得当 n≥N 时，有

由 的任意性知
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，结论得证．
17．设随机变量序列 独立同分布，数学期望、方差均存在，且
试证：
证：已知 则
，记
，令
对任意的
，由切比雪夫不等式得
即
，结论得证．
18．设随机变量序列 独立同分布，数学期望、方差均存在，且
试证： 证：这时
和 F（x）都是连续、严
格单调函数，又设 服从（0，1）上的均匀分布，试证：
．
证：对任意的
，存在充分大的 M，使有
对取定的 M，可选取正整数 k 和 N，使有
对取定的 N，存在
，使有
，对取定的 h，因为
关于 x 是一致的（见本节第 7 题），因而存在 N1，使当
时，任对
，有
因此有
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，使得当
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时，有
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对取定的 m 次多项式
，因为
，所以存在 ，使当
时，有
又因为
当 又因为
且
时，有
所以
从而有
由 的任意性即知
，结论得证．
4．如果 证：记
，则对任意常数 c，有 ，则 g（x）是连续函数，由上一题即可得

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（2）因为此时的极限函数为
所以是分布函数．
（3）因为此时的极限函数为 不是分布函数．
不满足分布函数的右连续性，所以
7．设分布函数列
弱收敛于连续的分布函数 F（x），试证：
在
上一致收敛于分布函数 F（x）．
证：对任意的
，取 M 充分大，使有当 x≥M 时，有
：当 x≤－M
时，有
对上述取定的 M，因为 F（x）在闭区间
上一致连续，故可取
它的 k 个分点：
，使有
再令
，则有
这时存在 N，使得当 n＞N 时，有
对任意的 当 n＞N 时，有
，必存在某个 i，使得
由（2）式知，
由（1），（3）式可得
即有
，结论得证．
8．如果
，且数列
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时，有
即
，结论得证．
15．设随机变量序列 独立同分布，且
令
，其中 c 为常数，并求出 c．
证：因为
，且
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令 试证明：
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所以由切比雪夫不等式得，任对
，有
即
，再由本节第 3 题知
即
16．设分布函数列
弱收敛于分布函数 F（x），且
． 对任给的
因为
，故存在 N1，使当 n≥N1 时，有
，取足够大的 a＞0
令
，因为
，故存在 N2，使当 n≥N2 时，有
而
由 M 的定义即可知 I1＝0，而对于 I2，当
时，有
，所以有
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因而
由 的任意性知
，结论得证．
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第 4 章 大数定律与中心极限定理
一、随机变量序列的两种收敛性
1．如果
，且
试证：P（X＝Y）＝1．
证：对任意的
，有
故当
时，有
即对任意的
，有
，于是有
从而 P（X＝Y）＝1 成立，结论得证．
2．如果 试证： （1） （2） 证：（1）因为
11．如果 证：先证
，且
，常数
不妨设 a＞0，对任意的
试证： ，当
时，有
因而 于是当
时，有
所以
于是由本节第 10 题，有 ，因而由本节第 9 题知
又由本节第 8 题的证明知 结论得证．
12．设随机变量 服从柯西分布，其密度函数为
试证： 证：对任意的
，当
时，有
即
，结论得证．
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13．设随机变量序列
数
，令
独立同分布，其密度函数为
，试证：
证：因为当 x＜0 时，有
；当
时，有
时，有
所以，对任意的
其中常
；而当
，当
时，有
所以有
，结论得证．
14．设随机变量序列 独立同分布，其密度函数为 ，试证：
证：因为 的分布函数为
所以当 对任意的
时，有 ，当
试证： 证：先证明
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因为 a＝0 时为显然，所以不妨设
时的修改为显然，因为
，且当 x 是
的连续点时，则 x/a 是 Fx（·）的连续点，于是有
此即
由本节第 10 题知
再由本节第 2 题（1）知
于是由前述结论及本节第 9 题知
结论得证．
9．如果 证：对任意的
，试证：
，首先考虑
的分布函数
因此 其中 F（·）为 X 的分布函数，类似有
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因此
由上述两个关系式，再考虑到 ε 的任意性，即可得
这就意味着
证毕．
10．如果
，试证：
证：记 Xn 与 X 的分布函数分别为
和
和 b＞0，使－a，b 是 F（x）的连续点，且