现代控制理论答案第三版

解：由图，令 i1
= x1 , i2 = x 2 , u c = x3 ，输出量 y = R2 x 2 x1 = − x2 = − x3 = −
• • •
R1 x1 + L1 x1 + x3 = u
有电路原理可知： L2
•
R1 1 1 x1 − x3 + u L1 L1 L1 R2 1 x2 + x3 L2 L2
−1
⎡0 ⎢b ⎢ 1 ⎢0 ⎢ ⎣0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ b2 ⎦ 0 0 s a4 0⎤ a6 ⎥ ⎥ − 1⎥ ⎥ a3 ⎦
−1
−1 ⎡s ⎢a s + a 1 Wuy ( s ) = C ( sI − A) −1 B = [1 0 1 0]⎢ 2 ⎢− 1 0 ⎢ a5 ⎣0
1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述
1 0 ⎤ ⎡ p13 ⎤ ⎡ 0 ⎡ p13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 当 λ1 = −3 时， 3 0 2 p23 = −3⎢ p23 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 12 − 7 − 6⎦ ⎥⎣ ⎢ p33 ⎦ ⎥ ⎢ p33 ⎦ ⎥ ⎣ ⎣
解得：
p23 = −3 p13 , p33 = 3 p13
⎡0 ⎢b ⎢ 1 ⎢0 ⎢ ⎣0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ b2 ⎦
(2) y + 5 y + 7 y + 3 y = u + 3 u + 2u
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令
. ..
K
..
.
..
.
x1 = y ， x 2 = y ， x 3 = y
，则有
⎡ 。⎤ 1⎥ 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 ⎢x 。 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ = ⎢ 0 0 1⎥ 2 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢0 ⎥ u ⎢。 ⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎣− 3 − 7 − 5⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎦ ⎥ ⎣ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = [2 3 1]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
Kn
∫
系统的状态方程如下：
x1 = x 2 x2 =
• •
•
Kb x3 J2 Kp J1 x3 − Kp Kn 1 x6 x4 + x 5 + J1 J1 J1 阿
x3 = −
•
x 4 = x3 x5 = − K 1 x 3 + K 1 X 6 x6 = −
令 θ ( s)
• •
K1 K K x1 − 1 x 6 + 1 u Kp Kp Kp
第一章答案 1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
U (s)
K1 K p s + K1
Kps + K1 s
1 J1s
Kb J2s2
θ (s)
Kn s
解：系统的模拟结构图如下：
Kp
U ( s)
K1 Kp
K1 Kp
∫
x6
K1
∫
x5
1 J1
∫
x4
x3
Kb J2
∫
x2
∫
x1
θ ( s)
相应的模拟结构图如下：
u
∫
x3
∫
x2
∫
x1
y
1-6 （2）已知系统传递函数 W ( s )
=
6( s + 1) s( s + 2)( s + 3) 2
,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的
模拟结构图
10 1 6( s + 1) −4 3 = + 3 + +3 解： W ( s ) = 2 2 ( s + 3) s( s + 2)( s + 3) s+3 s+2 s −
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢x ⎥ y = [1 0 0 0 0 0]⎢ 3 ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢ x5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x6 ⎥ ⎦
1-2 有电路如图 1-28 所示。以电压 u (t ) 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态 方程，和以电阻 R 2 上的电压作为输出量的输出方程。
2 ⎤ ⎡λ − 4 − 1 ⎢ λI − A = ⎢ − 1 λ − 2 ⎥ = ( λ − 1)( λ − 3) 2 = 0 ⎥ ⎢ ⎥ λ 1 1 3 − − ⎣ ⎦
解：A 的特征方程
λ1, 2 = 3, λ3 = 1
⎡4 1 − 2⎤ ⎡ p11 ⎤ ⎡ p11 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 当 λ1 = 3 时， 1 0 2 p21 = 3⎢ p21 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p 1 1 3 − ⎣ ⎦ ⎣ 31 ⎦ ⎣ p31 ⎥ ⎦
−1 ⎡s ⎢a s + a 1 ( sI − A) = ⎢ 2 ⎢− 1 0 ⎢ a5 ⎣0
0 0 s a4
0⎤ a6 ⎥ ⎥ − 1⎥ ⎥ a3 ⎦
−1 ⎡s ⎢a s + a 1 Wux ( s ) = ( sI − A) −1 B = ⎢ 2 ⎢− 1 0 ⎢ a5 ⎣0
0 0 s a4
0⎤ a6 ⎥ ⎥ − 1⎥ ⎥ a3 ⎦
= y ，则 y = x1
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
⎡ ⎡•⎤ ⎢ x ⎢ •1 ⎥ ⎢ ⎢x ⎥ ⎢ ⎢ •2 ⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎢ • ⎥=⎢ ⎢ x4 ⎥ ⎢ ⎢•⎥ ⎢ ⎢ x5 ⎥ ⎢ ⎢ • ⎥ ⎢− ⎢ ⎣ x6 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣
0 0 0 0 0 K1 Kp
⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ 10 1 ⎤ ⎢ x2 ⎥ ⎡ 3 y = ⎢− 4 − 3 3⎥ ⎣ ⎦ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦
1-7 给定下列状态空间表达式
&1 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ & = − 2 − 3 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢1 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ &3 ⎦ ⎢x ⎥ ⎣ ⎢ − 1 1 − 3⎦ ⎥⎣ ⎢ x3 ⎦ ⎥ ⎣ ⎢2⎦ ⎥ ⎣ ⎡ x1 ⎤ y = [0 0 1]⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
⎤ ⎡ (s + 3)2 s+3 0 ⎥ ⎢ 1 −1 0 ( sI − A) = − 2( s + 3) s( s + 3) ⎥ ⎢ ( s + 3)( s + 2)( s + 1) ⎥ ⎢ −s−5 s 1 ( s 1 )( s 2 ) − + + ⎦ ⎣
⎡ ( s + 3) 2 ⎤ ⎡0 ⎤ 0 s+3 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 − 2( s + 3) s ( s + 3) Wux ( s ) = ( sI − A) −1 B = 0 ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ( s + 3)( s + 2)( s + 1) ⎢ ⎢ ⎥ s − 1 ( s + 1)( s + 2)⎥ ⎣ − s −5 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎡ ( s + 3) ⎤ 1 ⎢ s ( s + 3) ⎥ = ⎥ ( s + 3)( s + 2)( s + 1) ⎢ ⎢ ⎥ + + ( 2 s 1 )( s 3 ) ⎣ ⎦
1 0 0 0 0 0
0 Kb J2 Kp − J1 1 − K1 0
0 0 − Kn J1 0 0 0
0 0 1 J 0 0 0
0 ⎤ ⎥ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎥ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ K p ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢x ⎥ J 1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ + ⎢ 0 ⎥u ⎢ ⎥ x4 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ x5 ⎥ ⎢ K ⎥ K1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ K1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢K ⎥ − p ⎦ ⎥⎣ 6 ⎦ ⎣ Kp ⎦ ⎥
1 − a1 0 − a5
0 0 0 − a4
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎥ ⎢ − a6 ⎥ ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢b1 1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ − a3 ⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ y = [1 0 1 0]⎢ 2 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x4 ⎦
解得：
1 p22 = −2 p12 , p32 = p12 2
令
p12 = 2
得
⎡ p12 ⎤ ⎡ 2 ⎤ P2 = ⎢ p22 ⎥ = ⎢− 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ p32 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ p12 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ （或令 p12 = 1 ，得 P2 = p 22 = ⎢− 2⎥ ） ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎣ p32 ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣2⎦
令
p13 = 1
得
⎡ p13 ⎤ ⎡ 1 ⎤ P3 = ⎢ p23 ⎥ = ⎢− 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ p33 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣3⎥ ⎦
1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
&1 ⎤ ⎡4 1 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 3 1⎤ ⎡x ⎢x & ⎥ = ⎢1 0 2 ⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢ 2 7⎥u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ & ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 5 3 1 1 3 x x ⎣ 3⎦ ⎣ ⎦⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ （2） ⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡1 2 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ ⎦⎢ x ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎣ 3⎦
0 − R2 L2 1 − C
−
1⎤ ⎡1⎤ L1 ⎥ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ 1 L 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ x2 + 0 u L2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎥ 0]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
y1 ， y 2 的系统，其模拟结构图如图 1-30 所示，试求其状态空间表达式和传
&1 ⎤ ⎡− 3 1 0 ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ & 0 −3 0 ⎢ 2⎥ = ⎢ &3 ⎥ ⎢ 0 ⎢x 0 −2 ⎢& ⎥ ⎢ 0 0 ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0
0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u 0 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎣ x 4 ⎦ ⎣1 ⎦
得
⎡ p11 ⎤ ⎡ 1 ⎤ P1 = ⎢ p21 ⎥ = ⎢− 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ p31 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− 1⎥ ⎦
⎡ p11 ⎤ ⎡− 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ （或令 p11 = −1 ，得 P 1 = ⎢ p 21 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ） ⎢ ⎣ p31 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1⎥ ⎦
1 0 ⎤ ⎡ p12 ⎤ ⎡ 0 ⎡ p12 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 当 λ1 = −2 时， 3 0 2 p22 = −2 ⎢ p22 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 12 − 7 − 6⎦ ⎥⎣ ⎢ p32 ⎦ ⎥ ⎢ p32 ⎦ ⎥ ⎣ ⎣
1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ （3） A = 3 0 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 12 − 7 − 6 ⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡ λ −1 λI − A = ⎢ −3 λ − 2 ⎥ = λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 12 7 λ + 6⎥ ⎦
解：A 的特征方程
解之得： λ1
= −1, λ2 = −2, λ3 = −3
x 2 + R2 x 2 = x3
•
•
既得
x1 = x 2 + C x3
1 1 x1 + x 2 C C y = R2 x 2
写成矢量矩阵形式为：
⎡ R1 ⎡ 。 ⎤ ⎢− L 1⎥ ⎢x ⎢ 1 。 ⎢x ⎥ = ⎢ 0 2 ⎥ ⎢ ⎢。 ⎢ x3 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣ ⎢ C ⎣ y = [0 R2
⎡ ( s + 3) ⎤ 1 ⎥ Wuy ( s ) = C ( sI − A) B = [0 0 1]⎢ ⎢ s ( s + 3) ⎥ ( s + 3)( s + 2)( s + 1) ⎢ ⎦ ⎣(2s + 1)( s + 3)⎥ (2s + 1) = ( s + 2)( s + 1)
−1
1-8 求下列矩阵的特征矢量
1-4 两输入 u1 ， u 2 ，两输出 递函数阵。
u1
b1
∫
∫
y1
a1
a5
u2
a2
a6
∫
b2
∫
a3
y2
a4
0⎤ 0⎥ ⎥u 0⎥ ⎥ b2 ⎦
解：系统的状态空间表达式如下所示：
&1 ⎤ ⎡ 0 ⎡x ⎢x & ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ = ⎢− a 2 ⎢x &3 ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ &4 ⎦ ⎣ 0 ⎣x
（1） （2） 解： 画出其模拟结构图 求系统的传递函数
‘
0 ⎤ ⎡s − 1 ⎢ （2） W ( s ) = ( sI − A) = 2 s + 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 − 1 s + 3 ⎣ ⎦
sI − A = s( s + 3) 2 + 2( s + 3) = ( s + 3)( s + 2)( s + 1)
1 0 ⎤ ⎡ p11 ⎤ ⎡ 0 ⎡ p11 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 当 λ1 = −1 时， 3 0 2 p21 = − ⎢ p21 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p 12 7 6 − − − ⎣ ⎦ ⎣ 31 ⎦ ⎣ p31 ⎥ ⎦
解得：
p21 = p31 = − p11
令
p11 = 1