专题动能定理和机械能守恒定律综合应用连接体问题和链条问题

9 专题：动能定理和机械能守恒定律综合应用
连接体和链条问题
[学习目标]
1. 知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同
2. 能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目．
3. 会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.
4. 会分析处理链条类机械能守恒问题
一、机械能的变化量ΔE 与其他力做功的关系
质量为m 的物块在竖直向上的恒力F 的作用下由静止向上加速运动了h ，此过程恒力F 做功多少，物块机械能变化了多少？(空气阻力不计，重力加速度为g ) 【答案】 恒力F 做功W F ＝Fh . 对物块，由动能定理得Fh －mgh ＝1
2mv 2
物块机械能的变化量ΔE ＝1
2mv 2＋mgh ＝Fh
故物块机械能增加Fh .
二、多物体组成的系统机械能守恒问题
1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒． 2．机械能守恒定律表达式的选取技巧
① 当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式E k1＋E p1＝E k2＋E p2或ΔE k ＝－ΔE p 来求解． ② 当研究对象为两个物体组成的系统时：
a.
若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔE k ＝－ΔE p 来求解．
b. 若A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔE A ＝－ΔE B 来求解．
c.
从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE 减＝ΔE 增来列式．
d. 注意寻找连接各物体间的速度关系的连接物，如绳子、杆或者其他物体，然后在寻找几个物体间的
速度关系和位移关系。

3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh 的关系．
三、连接体问题解题思路与技巧
1．不含弹簧的系统机械能守恒问题
①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．
②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
③多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE
减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．
2．含弹簧的系统机械能守恒问题
①通过其他能量求弹性势能，根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
②对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
③物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
知识点一：动能定理和机械能守恒定律的比较
动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对
该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．
【探究重点】
【例题精讲】
1.（2022届·河北省唐山市高三上学期期末）如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接置于粗糙水平面的物块。

此时弹簧自然伸长，物块位于O点。

现用外力向左推动物块，当弹簧压缩量为x0时，使物块静止，然后由静止释放物块，物块到达O点时速度刚好为0。

已知此过程中向左推动木块的外力所做的功为W。

则此过程中弹簧的最大弹性势能为（）
A. W
B. W
2
C. W
3
D. W
4
【答案】B 【解析】
设弹簧的最大弹性势能为E p ，木块向左运动时，根据动能定理W −μmgx 0−E p =0 木块向右运动时，根据动能定理E p −μmgx 0=0 联立解得E p =W
2故ACD 错误B 正确。

故选B 。

【巩固训练】
2. 如图1，足够长的光滑斜面倾角为30°，质量相等的甲、乙两物块通过轻绳连接放置在光滑轻质定滑轮两侧，并用手托住甲物块．使两物块都静止，移开手后，甲物块竖直下落，当甲物块下降0.8 m 时，求乙物块的速度大小(此时甲未落地，g ＝10 m/s 2)．请用机械能守恒定律和动能定理分别求解，并比较解题的难易程度．
【答案】 见【解析】
【解析】 方法一 利用机械能守恒定律 设甲、乙两物块质量均为m ，物块甲下落h ＝0.8 m
由于甲、乙两物块机械能守恒mgh －mgh sin 30°＝12(2m )v 2解得v ＝2 m/s 故此时乙的速度大小为2 m/s
方法二 利用动能定理
设甲、乙两物块的质量都为m ，甲下落0.8 m 时两物块速度大小都为v 对甲，由动能定理，mgh －F T h ＝1
2mv 2①
对乙，由动能定理，F T ·h －mgh sin 30°＝1
2mv 2②
由①②式联立解得，v ＝2 m/s 故乙此时速度大小为2 m/s 用机械能守恒定律解题更简单一些． 知识点二：速率相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放B 而使A 、B 运动的过程中，A 、B 的速度均沿绳子方向，在相等时间内A 、B 运动的路程相等，则A 、B 的速率相等。

判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。

这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。

【探究重点】
1．分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

2．用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

3．对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。

【例题精讲】
3. 如图5所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑轻质定滑轮与直杆的距离为d .杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点正下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，轻绳足够长，下列说法正确的是( )
A ．环到达
B 处时，重物上升的高度h ＝d
2
B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等
C ．环从A 到B ，环减少的机械能大于重物增加的机械能
D ．环能下降的最大高度为4d
3
【答案】 D
【解析】 环到达B 处时，对环的速度进行分解，如图所示，可得v 环cos θ＝v 物，由题图中几何关系可知θ＝45°，则v 环＝2v 物，B 错误；因环从A 到B ，环与重物组成的系统机械能守恒，则环减少的机械能等于重物增加的机械能，C 错误；当环到达B 处时，由题图中几何关系可得重物上升的高度h ＝(2－1)d ，A 错误；当环下落到最低点时，设环下落高度为H ，由机械能守恒有mgH ＝2mg (H 2＋d 2－d )，解得H ＝4
3
d ，故D 正确．
【巩固训练】
4. （2022·河北·T9）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P 和Q 用不可伸长的轻绳相连，悬挂定滑轮上，质量
Q P m m >，0=t 时刻将两物体由静止释放，物体Q 的加速度大小为
3
g。

T 时刻轻绳突然断开，物体P 能够达到的最高点恰与物体Q 释放位置处于同一高度，取0=t 时刻物体P 所在水平面为零势能面，此时物体Q 的机能为
E 。

重力加速度大小为g ，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。

下列说法不正确的是（ ）
A. 物体P 和Q 的质量之比为1:3
B. 2T 时刻物体Q 的机械能为
2E C. 2T 时刻物体P 重力的功率为32E T
D. 2T 时刻物体P 的速度大小23
gT
【答案】A
【解析】A ．开始释放时物体Q 的加速度为
3
g
，则3Q T Q g m g F m -=⋅ 3T P P g F m g m -=⋅解得23T Q F m g =
1
2
P Q m m = 选项A 错误； B ．在T 时刻，两物体的速度13gT v =P 上升的距离2
211236g gT h T ==
细线断后P 能上升的高度2212218v gT h g ==可知开始时PQ 距离为 2
1229gT h h h =+=若设开始时P 所处的位置为零势能面，则开始时Q 的机械能为
22
29
Q Q m g T E m gh ==
从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q 做负功，大小为22
19
Q F T m g T W F h ==
则此时物体Q 的机械能22
'
9
2
Q F m g T E
E E W =-==
此后物块Q 的机械能守恒，则在2T 时刻物块Q 的机械能仍为
2
E
，选项B 正确； CD ．在2T 时刻，重物P 的速度2123
gT
v v gT =-=-
方向向下；此时物体P 重力的瞬时功率22232332Q Q G P m g m g T gT E
P m gv T
==⋅==
选项CD 正确。

知识点三：角速度相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放后A 、B 在竖直平面内绕O 点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A 、B 转过的角度相等，则A 、B 转动的角速度相等。

【探究重点】 系统机械能守恒的特点
1．平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。

2．杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

3．对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。

4．一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。

5．内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。

【例题精讲】
5. (2022·全国·高三专题练习)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。

支架的两直角边长度分别为2l 和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。

开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g ，则( )
A ．A 球的最大速度为
B ．A 球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C ．A 球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A
D ．A 、B 两球的最大速度之比v A ∶v B ＝3∶1 【答案】B 【解析】
D ．根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为v A ∶v B ＝ω·2l ∶ωl ＝2∶1 D 错误； B ．由机械能守恒可知，A 球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B 正确；
AC ．当OA 与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得222cos 21si 11
2n 22
A B mg l mg l mv mv ⋅-⋅-=+⨯()θθ
解得2
sin 833
cos 8A v gl gl =-（＋）θθ，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为
A v 错误。

故选
B 。

【巩固训练】
6. (多选)如图2所示，A 和B 两个小球固定在一根轻杆的两端，m B >m A ，此杆可绕穿过其中心的水平轴O 无摩擦地转动．现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O 沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中( )
图2
A ．
B 球的动能增大，机械能增大
B．A球的重力势能和动能都增大
C．A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D．A球和B球的总机械能守恒
【答案】BD
【解析】A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等
于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确．
知识点四：分速度大小相等的连接体模型
如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间
内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。

【探究重点】
列系统机械能守恒的两种思路
1．系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。

2．一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。

【例题精讲】
7.(2021·黑龙江·鹤岗一中高一期末) (多选)如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在倾斜固定的直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，B套在水平固定的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，两直杆足够长，A、B 通过铰链用长度为L的刚性轻杆(初始时轻杆与水平面成30°角)连接，A、B从静止释放，B开始沿水平杆向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是()
A．A、B及轻杆组成的系统机械能守恒
B．当A到达B所在的水平面时，A
C ．B 到达最右端时，A
D ．B 【答案】AD
【解析】A ．不计一切摩擦，在运动的过程中，A 、B 及轻杆组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，故A 正确；B ．从开始到A 到达与B 同一水平面的过程，由系统的机械能守恒得22A B 112sin302
v v mgL m m ︒=+
其中A B cos45v v ︒=(多选)解得A 的速度为A v =
故B 错误； C ．B 滑块到达最右端时，速度为零，此时轻杆与斜杆垂直，由系统的机械能守恒得2
A11(sin30sin45)2
mg L L mv ︒+︒=
解得A 的速度为A1v = 故C 错误；
D ．当轻杆与水平杆垂直时B 的速度最大，此时A 的速度为零，由系统的机械能守恒得2
Bmax 1(sin30)2
mg L L mv ︒+=
解得B 的最大速度为Bmax v D 正确；故选AD 。

【巩固训练】
8. 如图3所示，质量都为m 的A 、B 两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长l ＝0.4 m ，今将细线拉直后使A 和B 从同一高度上由静止释放，求当运动到使细线与水平方向成30°角时，金属环A 和B 的速度大小．(g 取10 m/s 2)
【答案】
3 m/s 1 m/s
【解析】 A 释放后，在A 、B 运动过程中，因为A 、B 组成的系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化，两环机械能之和是保持不变的．设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，A 和B 的速度分别为v A 、v B ，将v A 、v B 分别沿细线方向和垂直细线方向分解，如图所示．
分析可知，它们在沿细线方向上的分速度v 1和v 3大小相等，所以有v A sin θ＝v B cos θ① 在这一过程中A 下降的高度为l sin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有 mgl sin θ＝12mv A 2＋1
2
mv B 2②
由①②代入数值解得v A ＝ 3 m/s ，v B ＝1 m/s. 知识点五：轻弹簧连接的物体系统模型
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。

【探究重点】
1．对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。

2．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。

【例题精讲】
9. (2022山东莱州一中模拟预测)如图所示,质量为2.5m 的物体A 放在倾角为α=30°的固定斜面体上,一平行于斜面的轻绳跨过光滑定滑轮一端与物体A 连接,另一端与一竖直轻弹簧相连,弹簧下端悬挂一质量为m 的砝码盘B ,整个系统处于静止状态。

现将质量为m 的砝码轻轻放在B 盘中,二者开始运动。

B 在运动过程中始终未着地,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

轻绳不可伸长,弹簧始终在弹性限度内,要使物体A 始终保持静止状态,A 和斜面体之间的动摩擦因数的最小值为( )
A.√3
3 B.√3
15 C.4√3
15 D.7√3
15
【答案】D
【解析】 放砝码前,弹簧的伸长量为x 0=
mg k
,砝码和B 盘向下运动的过程中与弹簧组成的系统机械能守恒,砝码和B
盘运动到最低点时弹力最大,则有2mg (x-x 0)=12
kx 2-12
k x 02,可得3mg=kx ,动摩擦因数最小时,由平衡关系可得kx=2.5mg sin
α+2.5μmg cos α,可得μ=7√3
15,选项ABC 错误,D 正确。

【巩固训练】
10. 如图7所示，物体A 、B 通过不可伸长的细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A 、B 的质量都为m .开始时细绳伸直，用手托着物体A 使弹簧处于原长且A 与地面的距离为h ，物体B 静止在地面上．放手后物体A 下落，与地面即将接触时速度大小为v ，此时物体B 对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )
A ．弹簧的劲度系数为mg
h
B ．此时弹簧的弹性势能等于mgh ＋1
2mv 2
C ．此时物体B 的速度大小也为v
D ．此时物体A 的加速度大小为g ，方向竖直向上 【答案】 A
【解析】 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于物体B 的重力，即F ＝mg ，弹簧伸长的长度为x ＝h ，由F ＝kx 得k ＝mg h ，故A 正确；A 与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh ＝1
2mv 2＋E p ，则弹簧的弹性势能E p ＝mgh －
12
mv 2
，故B 错误；物体B 对地面恰好无压力时，B 的速度为零，故C 错误；对A ，根据牛顿第二定律有F －mg ＝ma ，又F ＝mg ，得a ＝0，故D 错误． 知识点六：链条类物体的机械能守恒问题 【探究重点】
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重 链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，
1．心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理． 2．是参考平面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化．
3．确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解． 【例题精讲】
11. (2022·武汉东湖区联考)如图所示，有一条长为L ＝1 m 的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g 取10 m/s 2)( )
A ．2.5 m/s B.52
2 m/s
C. 5 m/s
D.
35
2
m/s 【答案】 A
【解析】 设链条的质量为2m ，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E ＝－12×2mg ·L 4sin 30°－
1
2×2mg ·L 4＝－38mgL ，链条全部滑出后，动能为E k ′＝12×2mv 2，重力势能为E p ′＝－2mg ·L
2，由机械能守恒定律可得E ＝
E k ′＋E p ′，即－3
8mgL ＝mv 2－mgL ，解得v ＝2.5 m/s ，故A 正确，B 、C 、D 错误．
【巩固训练】
12. (2021·山东·高三专题练习) (多选)如图所示，光滑长铁链由若干节组成，全长为L ，圆形管状轨道半径为
,2,R L R R π>远大于一节铁链的高度和长度．铁链靠惯性通过轨道继续前进，下列判断正确的是
A ．在第一节完成圆周运动的过程中，第一节铁链机械能守恒
B ．每节铁链通过最高点的速度依次减小
C ．第一节与最后一节到达最高点的速度大小相等
D ．第一节回到最低点至最后一节进入轨道的过程中铁链的速度保持不变 【答案】CD 【解析】
A 、铁链、火车、绳等由完全相同的各部分构成连接体，各部分之间有弹力作用，若选一节研究，有除重力或弹簧弹力的其他外力做功，机械能不守恒；但选取真个系统为对象时，各部分的力属于内力，做功抵消，系统只有重力做功，机械能守恒，A 错误．
B 、D 、当系统的重心上升到圆心处，重力势能增大，由系统机械能守恒知动能减小；以后每下降一节，后面上升一节，系统的机械能不变，则速度相等，故B 错误，D 正确．
C 、第一节到达最高点和最后一节到最高点时系统的重心位置相同，由1122k P k P E E E E +=+知重力势能相等时动能相等，则每一节的速率相等，C 正确．故选C
D ．
1. 如图所示，固定于地面、倾角为θ的光滑斜面上有一轻质弹簧，轻质弹簧一端与固定于斜面底端的挡板C 连接，另一端与物块A 连接，物块A 上方放置有另一物块B ，物块A 、B 质量均为m 且不粘连，整个系统在沿斜面向下的外力F 作用下处于静止状态．某一时刻将力F 撤去，在弹簧将A 、B 弹出过程中，若A 、B 能够分离，重力加速度为g .则下列叙述错误的是( )
A ．A 、
B 刚分离的瞬间，两物块速度达到最大 B ．A 、B 刚分离的瞬间，A 的加速度大小为g sin θ
C ．从力F 撤去到A 、B 分离前瞬间的过程中，A 物块的机械能一直增大
D．从力F撤去到A、B分离前瞬间的过程中，A、B物块和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】 A
【解析】当加速度等于零时，两个物块的速度达到最大，此时A、B未分离，故A错；A、B刚分离的瞬间，A、B之间没有弹力作用，此时A、B有共同的加速度g sin θ，故B对；从力F撤去到A、B分离前瞬间的过程中，弹簧对A物块的弹力始终大于B物块对A物块的弹力，这两个力的合力对A做正功，所以A的机械能增大，故C对；从力F撤去到A、B分离前瞬间的过程中，A、B物块和弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，所以系统机械能守恒，故D对．
2.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是()
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M球和N球组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N球做负功
【答案】BC
【解析】因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误．
3.(2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习) (多选)A B、两小球分别固定在轻杆的正中间和一端，轻杆的另一端固定在水平光滑转轴O上，让轻杆在竖直平面内转动，如图所示。

两球质量均为m，轻杆长度为2l，重力加速度为g，若系统恰能在竖直平面内做圆周运动，那么( )
A．小球B在经过最低点时的动能为4mgl
B．从最低点运动到最高点，轻杆对小球A做的功为4
mgl
5
C．转动中小球B的机械能守恒
D．通过最低点时OA段轻杆的弹力为46
mg
5
【答案】BD
【解析】A ．转动中系统只有重力做功，机械能守恒，因此A B 、从最低点转到最高点时有
22112422A B mv mv mg l mg l +=⋅+⋅ 且2B A v v =，解得k 245
B E mgl = 选项A 错误； B ．从最低点运动到最高点，对A 由动能定理得21
202A W mg l mv -⋅=- 解得45
W mgl =
选项B 正确；
C ．转动中除重力外，轻杆也对B 做功，因此小球B 的机械能不守恒，选项C 错误；
D ．通过最低点时，A B 、所受合力等于其做圆周运动所需向心力，即2222A B
v v F mg m m l l
-=+
解得46
5
F mg =
选项D 正确；故选BD 。

4. 如图3所示，一个质量为m 、质量分布均匀的细链条长为L ，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使L
2长部分
垂在桌面下(桌面高度大于链条长度，重力加速度为g )．现将链条由静止释放，则其上端刚离开桌面时链条的动能为( )
A ．0 B.12mgL C.14mgL D.3
8mgL
【答案】 D
【解析】 取桌面下L 2处为参考平面，根据机械能守恒定律得E k ＝mg 2·L 2＋mg 2·L 4＝3
8
mgL .
5. (2022湖北省荆州市期中考试)如图所示,一条轻绳跨过定滑轮,绳的两端各系一个球,A 球的质量为m,B 球的质量是A 球的3倍。

用手托住B 球,当轻绳刚好被拉紧时,B 球离地面的高度是h,A 球静止于地面,现释放B 球,求:(定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计,空气阻力不计,重力加速度为g)
(1)B 球刚落地时,A 球的速度大小;
(2)从B 球释放到落地瞬间的过程中,绳对A 球做的功; (3)如A 球碰不到滑轮,A 球上升的最大高度。

【答案】
【解析】(1)B 和A 组成的系统,对B 下落h 的过程中,系统机械能守恒,则3mgh-mgh=1
2×4m v A 2
解得v A =√gh (2)对A 球,根据动能定理得W A -mgh=12m v A 2-0解得绳对A 球做的功W A =3
2mgh
(3)B 球落地后,A 球竖直上抛,上升高度h'=v A 22g =1
2hA 球上升的最大高度为h m =h+12h=3
2h
1. (多选)如图10所示，一个质量为m 1的有孔小球套在竖直固定的光滑直杆上，通过一条跨过光滑轻质小定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为m 2的重物相连，定滑轮与直杆的距离为d ，重力加速度为g ，现将小球从与定滑轮等高的A 处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离为3
4
d (图中B 处)时，下列说法正确的是( )
A ．小球的速度与重物上升的速度大小之比为5∶4
B ．小球的速度与重物上升的速度大小之比为5∶3
C ．小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量
D ．小球机械能的减少量等于重物机械能的增加量 【答案】 BD
【解析】 设小球运动到B 处时轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据绳连接体的特点知小球与物体沿绳方向的速度大
小相等，将小球在B 处时的速度沿绳方向和垂直绳方向分解有v 球cos θ＝v 绳＝v 物，而cos θ＝
34d 3
4
d 2＋d 2＝3
5，故v 球v 物＝5
3，故A 错误，B 正确；对小球和重物组成的系统分析，绳的拉力对小球和重物做功之和为零，则系统只有小球和重物的重力做功，系统的机械能守恒，小球机械能的减少量等于重物机械能的增加量，小球重力势能的减少量等于二者动能的增加量与重物重力势能的增加量之和，故C 错误，D 正确．
2. 如图所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )
A ．2R B.5R 3 C.4R 3
D.2R 3
【答案】 C
【解析】 设B 球的质量为m ，则A 球的质量为2m ，A 球刚落地时，两球速度大小都为v ，根据机械能守恒定律得2mgR ＝12×(2m ＋m )v 2＋mgR ，B 球继续上升的过程由动能定理可得－mgh ＝0－12mv 2，联立解得h ＝R 3，B 球上升的最
大高度为h ＋R ＝4
3
R ，故选C.。