2021年四川省内江市中考数学试卷

2021年四川省内江市中考数学试卷
2021年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.（3分）$\frac{1}{2021}$的倒数是（。

）。

A。

$2$ B。

$-\frac{1}{2021}$ C。

$\frac{1}{2021}$ D。

$-2$
2.（3分）下列四个数中，最小的数是（。

）。

A。

$-1$ B。

$-\frac{1}{2}$ C。

$\frac{1}{3}$ D。

$5$
3.（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（。

）。

A。

B。

C。

D。

4.（3分）如图，已知直线$a\parallel b$，
$\angle1=50^{\circ}$，则$\angle2$的度数为（。

）。

A。

$140^{\circ}$ B。

$130^{\circ}$ C。

$50^{\circ}$ D。

$40^{\circ}$
5.（3分）___参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，
五位评委给出的评分分别为：$90$，$85$，$80$，$90$，$95$，则这组数据的中位数和众数分别是（。

）。

A。

$80$，$90$ B。

$90$，$90$ C。

$90$，$85$ D。

$90$，$95$
6.（3分）将直线$y=-2x-1$向上平移两个单位，平移后的
直线所对应的函数关系式为（。

）。

A。

$y=-2x-5$ B。

$y=-2x-3$ C。

$y=-2x+1$ D。

$y=-2x+3$
7.（3分）如图，在$\triangle ABC$中，$D$、$E$分别是$AB$和$AC$的中点，四边形$BCED=15$，则$S_{\triangle ABC}$=（。

）。

A。

$30$ B。

$25$ C。

$22.5$ D。

$20$
8.（3分）如图，点$A$、$B$、$C$、$D$在$\odot O$上，$\angle AOC=120^{\circ}$，点$B$是点$C$的相反点，则
$\angle D$的度数是（。

）。

A。

$30^{\circ}$ B。

$40^{\circ}$ C。

$50^{\circ}$ D。

$60^{\circ}$
9.（3分）如图，点$A$是反比例函数$y$图象上的一点，
过点$A$作$AC\perp x$轴，垂足为点$C$，$D$为$AC$的中点，若$\triangle AOD$的面积为$1$，则$k$的值为（。

）。

A。

$2$ B。

$\sqrt{2}$ C。

$3$ D。

$4$
10.（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳
索量竿”问题：“一条竿子一条索，___一托。

折回索子却量竿，却比竿子短一托。

”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳
索去量竿，绳索比竿长$5$尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短$5$尺。

设绳索长$x$尺，则符合题意的方程是（。

）。

A。

$x=(x-5)-5$ B。

$x=(x+5)+5$ C。

$2x=(x-5)-5$ D。

$2x=(x+5)+5$
20.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行常
态化巡航管理。

如图，海监船正在执行巡航任务，以每小时
60海里的速度向正东方向航行。

在A处测得灯塔P在___方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P
在___°方向上。

1) 求B处到灯塔P的距离。

2) 已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，海监船继续向正
东方向航行是否安全？
21.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC
于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE。

1) 证明：BE是⊙O的切线。

2) 设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4，求线段EF的长。

3) 在(2)的条件下，求阴影部分的面积。

22.分解因式：b^4-b^2-12 = (b^2+3)(b^2-4)
23.若数a使关于x的分式方程(2x-a)/(x+1)≤(a-1)/(x-2)的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的积为-20.
24.如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,0)，直线l：y=x 与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作
A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边
△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2021的纵坐标是2020.
25.已知抛物线y1=-x^2+4x（如图）和直线y2=2x+b。

我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和
y2.若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1=y2，记
M=y1=y2.
①当x=2时，M的最大值为4；
②当b=-3时，使M>y2的x的取值范围是-1<x<3；
③当b=-5时，使M=3的x的值是x1=1，x2=3；
④当b≥1时，M随x的增大而增大。

上述结论正确的是①、②、③、④。

26.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解。

并规定：f(x)表示x的最佳分解中，m，n两因数之差的绝对值。

例如，f(12)=2，因为12=3×4=2×6时，m，n两因
数之差的绝对值最小为2.
1) 求f(2021)的值；
2) 求满足f(x)=7的最小的正整数x；
3) 设p，q是两个正整数，满足p+q=2021，且f(p)=f(q)，
求p和q的所有可能组合。

1.填空：f(6)=1，f(9)=
2.
2.设原数为10a+b，交换后为10b+a。

根据题意得到方程
10b+a-10a-b=54，化简得到9(b-a)=54，即b-a=6.因为1≤a≤b≤9，所以a=1，b=7.因此所有的两位正整数为17.对于f(t)，我们可
以将17分解为1×17或7×1，因为7-1>17-1，所以7×1是17
的最佳分解。

因此f(t)=7.
3.填空：①f(22×3×5×7)=2，②f(23×3×5×7)=3，
③f(24×3×5×7)=4，④f(25×3×5×7)=5.
27.(1) 连结CQ，由于BP=BQ，∠BPQ=90°，所以三角形BPQ是等腰直角三角形，因此PC=BC，又因为AB=CD，所
以AP=BC=PC=CQ。

2) 由于APAC，所以AC=2AP。

设CE=x，BC=y，则有
x^2+y^2=BC^2，(x+y)^2+(x-y)^2=AC^2=4AP^2.化简得到x=2，y=√20.因此.
3) 由于BP=BQ，所以△BPQ是等腰直角三角形，因此
∠BQP=45°。

又因为AP=CQ，所以△APF≌△CQE，因此
PF=CQ-CE=AP-CE=EQ。

28.(1) 由已知条件得到三个方程：
a-b+c=1
16a+4b+c=2
x^2a+xb+c=y
解得a=1/5，b=-3/5，c=6/5.因此抛物线的函数表达式为
y=1/5x^2-3/5x+6/5.
2) 由于B(4,0)、C(0,2)、D(x,y)共线，所以△BCD的面积为1/2|x-4|。

又因为D在第一象限内，所以x>0.因此|x-4|=6，解得x=10.代入抛物线的函数表达式得到y=8，因此点D的坐标为(10,8)。

3) 设点D的横坐标为t，则由已知条件得到方程：
t^2/5-3t/5+6/5=2t-16/5
化简得到t=14/3，因此存在点D，使得△___中的某个角等于∠ABC的2倍，且点D的横坐标为14/3.
10.《增删算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题：有一根竿和一条比竿长5尺的绳索，用绳索去量竿，对半折后再去量竿，就比竿短5尺。

设绳索长x尺，则符合题意的方程是
x=(x-5)-5，因此选A。

11.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF。

已知AB=3，BC=4，则EF的长为多少？
解：四边形ABCD是矩形，因此AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠C=∠EDF=90°，因此BD=√(3²+4²)=5.将矩形沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，因此AE=EM，
∠A=∠BME=90°，因此∠EMD=90°。

由∠EDM=∠ADB，得
到△EDM∽△BDA，因此DE/AD=DM/BD，即DE=(4/5)×DM。

设DE=x，则AE=EM=4-x，因此AM=√(x²+(4-x)²)。

由于点A
落在BD上的点M处，因此AM=BM，即x²+(4-x)²=5²。

解得
x=3/5.同理，可得到DF=4/5，因此EF=DE+DF=3/5+4/5=1.因
此选C。

12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点
叫做整点。

已知直线y=tx+2t+2（t>0）与两坐标轴围成的三角
形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是
多少？
解：直线y=tx+2t+2（t>0）经过点（-2，2）。

当直线经
过（0，3）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，因此3=2t+2，解得t=1/2.当直线经过（0，6）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，因此6=2t+2，解得t=2.当直线经过（0，
4）时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有
且只有三个整点，因此4=2t+2，解得t=1.因此t的取值范围是
1<t≤2，因此选D。

18．（8分）（2021•内江）已知函数f（x）＝2x2﹣x﹣1，g（x）＝ax﹣b（a，b为常数），且f（g（x））＝x2﹣3x＋2．求函数g（x）的解析式．
解答】由已知得：f（g（x））＝2（ax﹣b）2﹣（ax﹣b）﹣1﹣1＝x2﹣3x＋2。

化简得：4a2x2﹣4abx＋a﹣2＝x2﹣3x＋2。

比较系数得：4a2＝1，﹣4ab＝﹣3，a﹣2＝2。

解得：a＝±1/2，b＝3/4。

故函数g（x）的解析式为g（x）＝±1/2x﹣3/4．
19．（10分）（2021•内江）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、CA、AB上的动点，且满足AD＝BE＝CF，若∠BAC＝α，则证明：当α＝120°时，三角形DEF为等边三角形．
解答】如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、CA、AB上的动点，且满足AD＝BE＝CF，若∠BAC＝α，如下图所示：
img src="/upload/image_hosting/fp0w6d5m.png" alt="">
由已知得：AD＝BE＝CF。

AD2＝BE2＝CF2。

BD·DC＝CE·EA＝AF·FB。

又∠BAC＝α，∠ABD＝∠ACD＝60°。

ABD与△ACD均为等边三角形。

BD＝DC＝CE＝EA＝AF＝FB。

又∠BAC＝α。

___∠EAC＝60°﹣α。

___∠EAB＝α/2。

BAF＝∠CAE＝120°﹣α。

又∠FAD＝∠___∠EAF。

___ADF与△AEF均为等腰三角形。

DAF＝∠EAF＝∠EAB＝α/2。

___∠___∠FAB＝60°﹣α/2。

___＝∠DAF＋∠EFA＝α。

即△DEF为等边三角形．
20．（9分）（2021•内江）已知函数f（x）＝（x2﹣x﹣2）/（x﹣2），g（x）为反函数．
1）求函数f（x）的定义域和值域；
2）求函数g（x）的解析式，并求出g（3）．
解答】（1）解：当x≠2时，x﹣2≠0，∴f（x）存在．
f（x）＝（x2﹣x﹣2）/（x﹣2）＝x﹣1﹣1/（x﹣2）。

f（x）的定义域为R﹣{2}。

值域为R﹣{﹣1}．
2）解：由f（x）的定义可得：y＝（x2﹣x﹣2）/（x﹣2）。

x2﹣（y﹣2）x﹣2y＝0。

x＝（y﹣2）±√（y2﹣4y＋8）/2。

g（x）＝（x﹣2）±√（x2＋4x）/2。

因为g（x）为反函数，所以g（3）＝f﹣1（3）。

即g（3）是方程f（x）＝3的解。

解得x＝﹣1或x＝4。

g（3）＝f﹣1（3）＝﹣1或4．
21．（10分）（2021•内江）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别为BC、AB上的动点，且满足
AD＝BE，点F为线段AE的中点．
1）求证：当AD＝BE时，线段DF垂直于线段BC；
2）若AD＝BE＝4，AB＝5，求线段DF的长度．
解答】（1）证明：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB
＝AC，点D、E分别为BC、AB上的动点，且满足AD＝BE，点F为线段AE的中点．
img src="/upload/image_hosting/1zj2j0i9.png" alt="">
连接AE，DF，CF，DE，BF．
由已知得：AD＝BE。

ADF与△___为等腰三角形。

___∠FBD。

又∠FAD＝∠ACD，∠___∠ABC。

FAD与△FBD相似。

___∠DAF。

又∠DAF＝∠ACB，∠___∠ABC。

ABF与△DFB相似。

___∠FAB。

又∠___∠FAC＋∠CAD。

___∠FAC＋∠CAD。

又∠___∠___。

___∠___∠CAD。

即线段DF垂直于线段BC．
2）解：如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别为BC、AB上的动点，且满足AD＝BE，点F为线段
AE的中点．
img src="/upload/image_hosting/4g7yv1kb.png" alt="">
AD＝BE＝4，AB＝5。

AE＝5﹣4＝1。

AF＝1/2。

因为∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2﹣AC2＝16。

BC＝4√2。

又∵△ABF与△DFB相似。

DF/AF＝BF/AB。

DF＝BF·AF/AB＝（BC＋CF）·1/2/AB＝（4√2＋4/2）/5
＝（4√2＋2）/5．
故线段DF的长度为（4√2＋2）/5．
21.（2021·内江）
___，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE。

1）证明：连接OC，如图。

因为CE为切线，所以OC⊥CE，即∠OCE=90°。

又因为OD⊥BC，所以CD=BD，即OD垂直平分BC，
所以EC=EB。

在△OCE和△OBE中，∠___∠OBE，OE=OE，OC=OB，所以△OCE≌△OBE（SSS）。

所以∠___∠___°，即OB⊥BE，所以BE与___相切。

2）解：设⊙O的半径为x，则OD=OF-DF=x-2，OB=x。

在Rt△OBD中，BD=√(OB²-OD²)=√(x²-(x-2)²)=2√(x-1)。

因为OD=2，OB=4，所以∠OBD=30°，∠BOD=60°。

所以OE=2OB=8，EF=OE-OF=8-4=4.
3）因为∠BOE=60°，∠OBE=90°，所以在Rt△OBE中，BE=4.
所以S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC=2×4=8.
答案：BE是⊙O的切线；DF=2，BC=4，EF=4，S阴影
=8.
22.（2021·内江）
分解因式：b^4-b^2-12=(b+2)(b-2)(b^2+3)。

23.（2021·内江）
若数a使关于x的分式方程(x+2-a)/(x-1)=3的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40.
解：去分母，得x+2-a=3(x-1)，解得x=(a-1)/2.
因为分式方程的解为非负数，所以(a-1)/2≥0，即a≥1.
又因为解集为y≤0，所以3(a-1)/(a-2)≤0，即2<a≤5.
所以符合条件的所有整数a的值为2、4、5，积为40.
ABP＝∠CBQ，BP＝BQ，AP＝CQ（已知）。

BAP≌△BCQ。

AP＝CQ．
2）如图2，连接DE，连接AF交BP于点G。

AP＝CQ（已证明）。

ADP≌△BCQ（公共边，∠ADP＝∠BCQ，AP＝CQ）。

DP＝BQ，CE＝DE＝DP＝BQ。

___：BC＝BQ：BA＝1：√2．
3）如图3，连接BE，连接PF，连接EQ。

在△BAP和△BCQ中，AP＝CQ，∠ABP＝∠CBQ，BP ＝BQ。

BAP≌△BCQ。

___∠BCQ。

PAF＝∠QCE。

在平行四边形ABCD中，∠___∠QCE。

BP＝EQ。

PF＝BP＋BF＝EQ＋BE＝EQ＋DE＝EQ＋QP＝EQ＋EP＝EQ．
故PF＝EQ．
1) 由已知的三点坐标代入抛物线的一般式
$y=ax^2+bx+c$ 中，得到以下三个方程：
begin{cases}
a-b+c=-1 \\
16a+4b+c=2 \\
9a+3b+c=3
end{cases}$$
解方程组得 $a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{5}{2}$，$c=2$，所以抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2$。

2) 由题意可得 $\frac{1}{2}BC\cdot DE=3$，又因为$BC$ 的长度为 $\sqrt{(4-x)^2+(2-ax^2-bx-c)^2}$，$DE$ 的长度为 $|ax-y+\frac{5}{2}|$，所以可以列出以下方程：begin{cases}
frac{1}{2}\sqrt{(4-x)^2+(2-ax^2-bx-c)^2}\cdot |ax-
y+\frac{5}{2}|=3 \\
y=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+2
end{cases}$$
解方程组得到 $x=3$ 或 $x=1$，代入抛物线的解析式得到$D(3,2)$ 或 $D(1,3)$。

3) 若存在点 $D$，使得 $\angle CDE$ 等于 $\angle
ABC$ 的两倍，则 $\angle CDE=2\angle ABC=2\angle ACB$。

由于 $\angle ACB$ 是直角，所以 $\angle CDE$ 应该等于$90^\circ$。

因此，我们只需要判断是否存在点 $D$，使得$DE\perp BC$ 即可。

设 $D$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $DE$ 的斜率为 $-\frac{1}{a}$，$BC$ 的斜率为 $\frac{2-ax^2-bx-c}{4-x}$。

由于 $DE\perp BC$，所以两条直线的斜率之积为 $-1$，即：
frac{1}{a}\cdot\frac{2-ax^2-bx-c}{4-x}=-1$$
化简得到 $ax^3+(b-4a)x^2+(2-5a)x+2=0$。

解这个方程得到 $x=1$ 或 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=2$。

但是，当
$x=\frac{1}{2}$ 时，$D$ 的纵坐标为负数，不符合第一象限内的条件。

当 $x=1$ 或 $x=2$ 时，$DE$ 的斜率分别为 $-
\frac{1}{a}$ 和 $-\frac{2}{a}$，都不等于 $\frac{2-ax^2-bx-c}{4-x}$，因此不存在点 $D$，使得 $\angle CDE$ 等于
$\angle ABC$ 的两倍。

联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，可得点D的坐标为（2，3）。

根据题意可得，当∠CDE＝2∠___时，过点C作CN⊥BF 于点N，交OB于H，作点N关于BC的对称点P，连接NP 交BC于点Q。

由于∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣
∠___，且∠___∠___，因此可得∠OCH＝∠OBF。

在△OCH 与△OBF中，根据相似三角形的性质可得OH/OF=OC/OB，即OH＝1，H（1，2）。

设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），由C（0，2）和H（1，2）可得k=﹣2，n=2.因此直线CN的解析式为y＝﹣2x+2.
连接直线BF及直线CN成方程组，可解得点N的坐标为（2/5，6/5）。

由于点N，P关于BC对称，因此可得点P的坐标为（18/5，﹣2/5）。

由直线CP的解析式为y=﹣2x+2，代入直线BC的解析式y=x+2中，可解得x=11/2或x=﹣2/3.因为题目要求x>0，所以舍去x=﹣2/3，因此点D的横坐标为11/2.。