(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步课件：10.2 事件的相互独立性

1．相互独立的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝____P_(_A_)P_(_B_)__，则称事件 A 与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质 若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与_－B___，－A 与___B_，－A 与－B 也都相互独立．
■名师点拨
(1)必然事件 Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
判断两个事件是否相互独立的两种方法 (1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件 发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事 件； (2)定义法：通过式子 P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独 立，若上式成立，则事件 A，B 相互独立，这是定量判断.
1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 是“第一枚为正 面”，事件 B 是“第二枚为正面”，事件 C 是“两枚结果相 同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号) ①A，B；②A，C；③B，C.
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均 等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω＝ {(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女， 男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基 本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
(5)“至少有 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出 密码”， 所以至少有 1 个人译出密码的概率为 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.
相互独立事件的综合应用 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越 多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两 小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部 分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各 租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12， 超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车 时间都不会超过四小时．
相互独立事件的判断 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可 能的，令 A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中 最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
【解】 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独பைடு நூலகம்．
解：记“甲独立地译出密码”为事件 A，“乙独立地译出密码” 为事件 B，A 与 B 为相互独立事件，且 P(A)＝13，P(B)＝14. (1)“2 个人都译出密码”的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112. (2)“2 个人都译不出密码”的概率为 P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－13)×(1－14) ＝12.
2．[变条件]若一列火车正点到达记 10 分，用 ξ 表示三列火车的 总得分，求 P(ξ≤20)． 解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事 件为“三列火车都正点到达”，所以 P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1 －P(A)P(B)P(C) ＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
解析：根据事件相互独立的定义判断，只要 P(AB)＝P(A)P(B)， P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型 概率公式计算可得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB) ＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证 P(AB)＝P(A)P(B)， P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立 的定义，事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件 A 与 C 相互独立．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P(－A －B －C )＝1－P(－A )P(－B )P(－C ) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率． 解：恰有一列火车正点到达的概率为 P3 ＝ P(A －B －C ) ＋ P( －A B －C ) ＋ P( －A －B C) ＝ P(A)P( －B )P( －C ) ＋ P( －A )P(B)P( －C ) ＋ P( －A )P( －B )P(C) ＝ 0.8×0.3×0.1 ＋ 0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F 为 6 个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率 是( )
1
55
A.64
B.64
C.18
D.116
解析：选 B.设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T，E 与 F 中至少有一个不闭合的事件为 R，则 P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34， 所以灯亮的概率 P＝1－P(T)P(R)P(C)P(D)＝5654.
第十章 概 率
10．2 事件的相互独立性
第十章 概 率
考点
学习目标
核心素养
理解相互独立事件的 相互独立事件的概念
概念及意义
数学抽象
能记住相互独立事件
概率的乘法公式；
相互独立事件同时发 能综合运用互斥事件 数学运算、数学建
生的概念
的概率加法公式
模
及独立事件的乘法公
式解题
问题导学
预习教材 P247～P249 的内容，思考以下问题： 1．事件的相互独立性的定义是什么？ 2．相互独立事件有哪些性质？ 3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
下列事件 A，B 是相互独立事件的是( ) A．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，B 表示“第二次 为反面” B．袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球， A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数 为偶数” D．A 表示“一个灯泡能用 1 000 小时”，B 表示“一个灯泡能用 2 000 小时” 答案：A
(3)“至多有 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都译出密 码”， 所以至多 1 个人译出密码的概率为 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×14＝1112. (4)“恰有 1 个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出 以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件， 所以恰有 1 个人译出密码的概率为 P(A－B ＋－A B)＝P(A－B )＋P(－A B) ＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝152.
概率问题中的数学思想 (1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(－A )＝1) 简化问题，是求解概率问题最常用的方法． (2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻 找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑 加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化 为相互独立事件)． (3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立 方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
相互独立事件同时发生的概率 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到 上海的三列火车正点到达的概率分别为 0.8，0.7，0.9，假设这 三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件． 则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以 P(－A )＝0.2，P(－B )＝0.3，P(－C )＝0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到 达的概率为 P1＝P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C )＝ P(－A )P(B)P(C)＋P(A)P(－B )P(C)＋P(A)P(B)P(－C ) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设 ξ 为甲、乙两人所付的租车费用之和，求 P(ξ＝4)和 P(ξ＝
6)的值． 【解】 (1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时 还车的概率分别为14，14. 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 P(A)＝14×12＋12 ×14＋14×14＝156.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为156. (2)P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝156， P(ξ＝6)＝14×14＋12×14＝136.
甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准 确率为 0.8 和 0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的 概率为________． 答案：0.56
一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为 a，第 二道工序的次品率为 b，则该产品的正品率为________． 答案：(1－a)(1－b)
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有 一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义． 一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)， 那么： (1)A，B 中至少有一个发生为事件 A＋B. (2)A，B 都发生为事件 AB. (3)A，B 都不发生为事件－A －B . (4)A，B 恰有一个发生为事件 A－B ＋－A B. (5)A，B 中至多有一个发生为事件 A－B ＋－A B＋－A －B .
它们之间的概率关系如表所示： A，B 互斥
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
P(AB) P(A B)
0 1－[P(A)＋P(B)]
A，B 相互独立 1－P(－A )P(－B )
P(A)P(B) P(－A )P(－B )
甲、乙 2 个人独立地破译一个密码，他们能译 出密码的概率分别为13和14，求： (1)2 个人都译出密码的概率； (2)2 个人都译不出密码的概率； (3)至多有 1 个人译出密码的概率； (4)恰有 1 个人译出密码的概率； (5)至少有 1 个人译出密码的概率．
(2)事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( √ ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( √ ) (3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条 件．( √ )
答案：①②③
2．从一副扑克牌(52 张)中任抽一张，记事件 A 为“抽得 K”， 记事件 B 为“抽得红牌”，记事件 C 为“抽得 J”．判断下列每 对事件是否相互独立？为什么？ (1)A 与 B； (2)C 与 A.
解：(1)P(A)＝542＝113，P(B)＝2562＝12.事件 AB 即为“既抽得 K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃 K 或方块 K”，故 P(AB)＝522＝ 216，从而有 P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件 A 与 B 相互独立． (2)事件 A 与事件 C 是互斥的，因此事件 A 与 C 不是相互独立 事件．