2022年人教版中考数学复习第一部分考点讲解 第四章三角形 微专题 一线三等角模型

(2)问题解决 如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边、点A为 直角顶点，向外作等腰直角△DAC，连接BD，求△ABD的面积；
第5题图
微专题 一线三等角模型
解：(2)如解图②，过点D作DM⊥BA，交BA的延长线于点M.
∵BC⊥AB，DM⊥AB，∠CAD＝90°，AC＝AD，
FB FA DBF EAF BD AE
∴△DBF≌△EAF(SAS)
第2题图
微专题 一线三等角模型
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形．
第2题图
微专题 一线三等角模型 模型二 一线三垂直(直角)
模型分析 已知A、B、C三点共线，且∠1＝∠2＝∠3＝90°.
第4题图
微专题 一线三等角模型
设BP＝x，则PD＝14－x.
①当△ABP∽△PDC时，AB ＝ BP ，
PD CD
即6＝
14 x
x 4
，解得x1＝2，x2＝12，
∴当BP＝2或12时，△ABP∽△PDC；
AB BP
②当△ABP∽△CDP时，CD ＝ PD ，
即6
4
＝x
14 x
，解得x＝8.4，
.
又∵△PMN∽△MNO，
∴ PN ＝ MO ＝ 1 .
MN NO 2
第6题解图①
微专题 一线三等角模型
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△NMO.
∴x ＝ x2 3x b＝ 1 .
b
1b
2
2
解∴得点P，的x1坐＝标12为，(x12＝，50()舍．去)．
24
第二种情况：△PMN∽△NMO，如解图②，
∴点P的坐标为(2，2)．
15
综上所述，点P的坐标为(2 ，4 )或(2，2)．
第6＋b(b>0)分别交x轴、y轴于M、N两点，
∴OM＝
1 2
b，ON＝b，∴
OM ON
＝
1 2
.
微专题 一线三等角模型
又∵△PMN∽△NMO，
∴
PN MN
＝
MO NO
＝
2 1
.
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△NMO.
∴
x b
＝ x2
3x 1b
b
＝2.
解得x1＝2，2x2＝0(舍去)．
【解法提示】∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA ＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∵∠BAD＋ ∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中， ∵∠ABD＝∠CAE，∠ADB＝∠CEA＝90°，BA＝AC， ∴△ADB ≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋ AD＝BD＋CE.
第5题解图③
过点D分别作AN，BC的垂线，垂足分别为点G，F.
易证△AGD ≌△CNA，∴AG＝CN＝3，
∴DF＝GN＝AG＋AN＝3＋5＝8，
∴S△BCD＝12
BC·DF＝ 1 ×6×8＝24.
2
第5题解图④
微专题 一线三等角模型
③如解图⑤，当∠ADC＝90°时，
过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点F，过点A作AN的垂线，交FD的延长线于
微专题 一线三等角模型
微专题 一线三等角模型
模型一 一线三等角基本模型(锐角、钝角)
模型分析 已知A、P、B三点共线，且∠1＝∠2＝∠3. (1)点P在线段AB上
微专题 一线三等角模型
(2)点P在线段AB的延长线上
结论：①△ACP∽△BPD； ②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP ≌△PBD； 如图①，当点P为线段AB的中点时，连接CD，则△ACP∽△BPD∽△PCD
点P.
易证△APD ≌ △DFC，∴AP＝DF，DP＝CF. 设CF＝x，则DP＝x，∴DF＝AP＝NF＝NC＋CF＝3＋x，
∴PF＝DP＋DF＝x＋3＋x＝5，∴x＝1，
∴DF＝3＋x＝4，
∴S△BCD＝12
BC·DF＝
1 2
×6×4＝12.
综上所述，△BCD的面积为9或12或24.
第5题解图⑤
△BCD的面积为9或12或24.
第2题图
微专题 一线三等角模型
(2)思考探究：如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三
点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．
请问(1)中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
第2题图
微专题 一线三等角模型
解：(2)(1)中的结论成立，理由如下．
∴同(1)可得DM＝AB＝2，
∴S△ABD＝
1 2
AB·DM＝
1×2×2＝2.
2
第5题解图②
微专题 一线三等角模型
(3)拓展延伸 如图③，在△ABC中，AB＝AC，CB＝6，S△ABC＝15，以AC为边向右侧作一个等 腰直角三角形ACD，连接BD，请直接写出△BCD的面积．
第5题图
微专题 一线三等角模型
微专题 一线三等角模型
模型应用 1. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°， BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为( B ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第1题图
微专题 一线三等角模型
2. (1)问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A ，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为_D__E_＝__B_D__＋__C_E__；
∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
DBA CAE BDA AEC BA AC
∴△ADB ≌△CEA(AAS)，
∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；
第2题图
微专题 一线三等角模型
【解法提示】如解图，过点A作AN⊥BC于点N，则BN＝NC＝3， ∵S△ABC＝12 BC·AN＝15，∴AN＝5. ①如解图③，当∠ACD＝90°时，
过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，易证△ANC ≌△CFD，
∴DF＝CN＝3，∴S△BCD＝1 BC·DF＝ 1 ×6×3＝9.
2
2
②如解图④，当∠CAD＝90°时，
微专题 一线三等角模型
模型迁移
6. 如图，二次函数y＝－x2＋3x的图象经过坐标 原点和x轴上另一点A，一次函数y＝－2x＋ b(b>0)分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次 函数图象的y轴右侧部分上的一个动点，若 PN⊥NM于点N，且△PMN与△OMN相似，求 点P坐标．
第6题图
微专题 一线三等角模型
第5题图
第5题解图①
【解法提示】如解图①，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠D＋∠1
＝90°，又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠D＝∠2.又∵AD＝AE，∴△AB≌D
△ECA(AAS)，∴DB＝AC，BA＝CE，∴BC＝BA＋AC＝CE＋DB，即BC＝BD＋CE.
微专题 一线三等角模型
3 10
B作BF⊥AE于点F，则BF的长为____5____．
第3题图
微专题 一线三等角模型
4. 如图，AB∥CD，CD⊥BD且AB＝6，CD＝4，BD＝14，在BD上是否存在一点 P，使得以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，若存在 ，求BP的长，若不存在，请说明理由．
解：存在．理由如下： ∵AB∥CD，CD⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°，
结论：图①，图③中：①△ABD∽△CEB； ②当AB＝CE或AD＝CB或BD＝EB时，△ABD ≌△CEB； 图②中：①△AFD∽△CEB∽△GFB； ②当AF＝CE或AD＝CB或FD＝EB时，△AFD≌ △CEB
微专题 一线三等角模型
模型应用 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边CD的中点，连接AE，过点
∴当BP＝8.4时，△ABP∽△CDP.
第4题图
综上所述，当BP＝2或12或8.4时，以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C为
顶点的三角形相似．
微专题 一线三等角模型
5. (1)观察猜想 如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD ＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为_B_C__＝__B_D_＋__C__E_；
(3)拓展应用：如图③，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点 互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连 接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
第2题图
微专题 一线三等角模型
(3)△DEF是等边三角形，理由如下： 由(2)可知△ADB≌ △CEA，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF， ∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，即∠DBF＝∠EAF， 在△DBF和△EAF中，
解：如解图，过点P作PB⊥y轴于点B，设点P的坐标为(x，－x2＋3x)．
∵PN⊥NM，∠NOM＝90°，
∴要使△PMN与△MNO相似，
则分两种情况：
第一种情况：△PMN∽△MNO，如解图①，
∵一次函数y＝－2x＋b(b>0)分别交x轴、y轴于M、N两点，
∴OM＝
1 2
b，ON＝b，∴OM
ON
＝
1 2