初中数学精品试题：几何模型之一线三等角模型

几何模型：一线三等角
模型一：一线三直角之全等
模型介绍：
图示
已知
结论
已知，∠C=∠D=∠EBA=90O
，
且EB=AB
△ABC ≌ △BED
如图，∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA
△ACE≌△BAF
例题示范：
例1.如图,直线1l ，2l ,3l 相互平行,且1l 、2l 之间的距离为1，2l 、3l 之间的距离为 2 。

等腰直角△ABC 的顶点分别在三条平行线上，AB=AC ， ∠BAC=90°，则等腰△ABC 的腰长是 。

例2.如图，点B （3,3）在函数x k y =
（x ＞0）的图像上,点C 在函数 x
y 4
-= （x ＜0)的图像上，点A 在x 轴正半轴上，且△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB=90° . （1） 直接写出k 的值 ： k = （2） 求点A 的坐标 。

例3. 如图：已知直线l:y=-
3
4
x+4与x 、y 轴分别交于A 、B ，直线m 过点B 且与直线l 的夹角等于45°；求直线m 的解析式。

巩固训练：
1.如图，点D 在BC 上，AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，AD ⊥DE ，且AD=DE ，AB=3，EC=5，则BC 的长为___8__．
2. 如图，AB ⊥AC ，且AB=AC ，BN ⊥AN ，CM ⊥AN ，若BN=3，CM=5，则 MN=__2___．
3. 如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是_8____.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A （ 4，0 ) , 点B 是y 轴上的动点,将线段BA 绕点B 逆时针旋转90° ， 得到线段BC , 连接CO , CA , 则 CO ＋ CA 的最小值为 .
5.如图，在正方形ABCO 中，点A 的坐标为 （4 ，3) ， 则点C 的坐标是 ， 点B 的坐标是 。

6.如图，已知A （ 1 ， 1 ） , B 两点都在双曲线x
k
y
（k ＞0，x ＞0）上，并且点B 在点A 的右下方,点C 在点x 轴上，若△ABC 是以∠B 为直角的等腰直角三角形, 则点B 的坐标为 。

模型二：一线三直角之相似
模型介绍：
图示
已知
结论
已知，∠C=∠D=∠EBA=90O
，
△ABC ∽ △BED
如图，∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°
△ACE ∽△BAF
例题示范：
1、矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使D 与CB 边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______
2、如图，已知点A （0，4）、B （4，1），BC ⊥x 轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，且PA ⊥PB ．则点P 的坐标为
巩固练习：
1、如图，在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,点 E 为 BC 的中点,AE ⊥DE ．且AB=1,BC=9,DC 的长为 ；
2、如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,EF ⊥EC 交 AB 于 F,连接 FC （AB ＞AE ）．求证：△AEF ∽△DCE ；
3.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G,F 分别为AD,BC 边上的点，若AG=1，BF=2, 90=∠GEF ,AB 的长为
4.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，已知CE=4，AB=9,BF 的长为 .
5.如图，正方形ABCD 中，AB=12，
AB AE 4
1
=,点P 在BC 上运动（不与
B,C 重合），过点P 作EP PQ ⊥,交CD 于点Q ，CQ 的最大值为 .
模型三：一线三等角之全等模型
模型介绍：
图示 已知
结论
如图所示，点A,B,E 在同一直线
上，∠CAE ＝∠CED ＝∠EBD ，
且CE=DE,
∠AEC ≌∠BDE.
图形变式
例题示范：
例1.如图:∠1=∠2=∠3，F 、B 、E 、C 四点共线，F 、A 、D 三点
共线，BE=CD ，AD ：AF=4：1 求:
AFB ECD EAD
S S S ∆∆∆+
例2：如图，在直角梯形ABCD 中，∽B=90°，AD∽BC,将点C 绕点D 逆时针旋90到点C‘，若AD=2,∽ADC’的面积等于3，求BC 的长。

例3.如图所示，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于 A 、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A 、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标.
巩固练习：
1. 如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是_____.
2. 如图，在∽ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且BD=CE ，∠DEF=∠B ，问：DE 和EF 是否相等？并说明理由．
1
A
F
E
D
B
C
3.如图，已知：△ABC 中AB=AC ，∠BAC=100°. 点D 、点E 分别在边BC 、CA ，点F 在边BA 的延长线上，且BD=CE ，BF=CD ，把∠DFE 记作∠1，则∠1= 度.
4.如图，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF=ED ，EF ⊥ED ． 求证：AE 平分∠BAD ．
5.如图，在三角形 ABC 中，AB=AC,若点 B,C 位于直线 l 的两侧， ∠BDA ＋∠BAC=180°，∠BDA=∠AEC ，求证 BD=CE ＋DE
6.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4） （1）求B 点坐标；
（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，
∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；
模型四：一线三等角之相似模型
模型说明：
A
O D
y x
B C
图示已知结论
如图所示，点A,B,E在同一直线
上，∠CAE＝∠CED＝∠EBD
∠AEC ≌∠BDE.
如图所示，当∠1=∠2=∠3，且 D
是 BC 中点时△BDE∽△CFD∽△D
FE
如图，当∠1＝∠2且∠BOC＝
90°＋∠BAC时，点O是
△ABC的内心.易证∠4＝∠5
＝∠6
∠BMO ≌∠ONC.
模型应用：
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；
①如图，PA在∠CPD的外部，且∠CPD= ∠PAC,
方法：作∠PDB= ∠CPA，则可得∠PBD= ∠CPD=∠PAC ，则△PAC∽△DBP
∠PDB= ∠CPA
②如图,PA 在∠CPD 的内部，且∠CPD= ∠PAC ,
方法：作∠PDB= ∠CPA,则可得∠PBD= ∠CPD= ∠PAC ,则△PAC ∽△DBP
∠PDB= ∠CPA,
c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题. ①点P 在直线m 上，∠APB=α，且m 经过∠APB 的外部。

方法：分别过点A,B 向m 作垂线，垂足为C,D ，在DC 延长线上截取α
tan AC
CE =，在CD 延长线上截取α
tan BD
DF =
则αtan tan tan =∠=∠PFB AEP ，则APB PFB AEP ∠==∠=∠α,所以△PAE ∽△BP F
②点P 在直线m 上，∠APB=α，且m 经过∠APB 的内部。

方法：分别过点A,B 向m 作垂线，垂足为C,D ，在CP 延长线上截取α
tan AC
CE =，在DP 延长线上截取α
tan BD
DF =
则αtan tan tan =∠=∠BFD AEC ，则APB BFD AEC ∠==∠=∠α,所以△PAE ∽△BP F
例题示范：
例1：如图，在等边∠ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60° ，BD=3,CE=2，则等边∠ABC 的边长为 ．
例2：在∠A B C 中，22=AB ,∠B =45°,以点A 为直角顶点作等腰Rt ∠ADE ，点D 在BC 上，点E 在AC 上，若5=CE ，求则CD 的长。

例3. 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.
例4.∠ABC ∽∠DBA ，且BC AC 2=，求证：CD=2AB.
例5：如图，在∠ABC 中，AB=AC, 90=∠BAC ，
点P 是斜边BC 上的一点，点Q 是AP 上一点，且 135=∠BQC ，PC=2PB.
(1)证明：QB QC 2= (2) 求AQB ∠的度数.
巩固训练：
1.如图所示，O 为四边形ABCD 的边AB 的中点，B DOC A ∠=∠=∠,AD=9,BC=8,求AB 的长.
2.在等边∠ABC 中，P 为BC 上的一点，D 为AC
上一点，且,60 =∠APB BP=1, CD=3
2,则∠ABC 的边长为多少
3.如图，在四边形ABCD 中，AD=4，CD=3, 45=∠=∠=∠ADC ACB ABC ,求BD 的长.
4. 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD ⊥BC ，BD=2，CD=3,求 AD 的长.
5.如图，直线42-=x y 交坐标轴于A,B 两点，交双曲线)0(>=x x k y 于点C ，且8=∆AOC S ,点P 在点C 的右侧的双曲线上， 45=∠PBC ，求P 的坐标.。