现代电路设计 第2章 无源网络的分析与设计

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2.1 用直接法综合无源网络
例2.2 已知一个网络的输 入电抗变化曲线如图2-1-2 所示。求其阻抗表达式Z(s).
Z(ω)
12 3 ω -1
解：(1)从电抗曲线可知，Z(s)的极点为s=0 和s=±j3( ω=3,则ｓ＝ｊω＝±j3) ，零点为 s=±j2 和s=∞。由此可写出Z(s)的表达式：
R2
Z C1C2
C1C2 R1 R2
(s 1 )(s 1 )
R1C1
R2C2
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2.1 用直接法综合无源网络
RC网络输入阻抗Z(s)的特点：
• 零点一定在负实轴轴上，是简单的。 • 极点在负实轴轴上或原点处，是简单的。 • 零点和极点是交替出现的； • 靠近原点处的第一个临界频率是极点。
及在虚轴上的位置；
• 一对共轭复频率±jωo共同形成(s2+ωo2)项。因此， 如果Z(s)有一个极点在原点处，则Z(s)的表达式的 形式为：
Z ( s ) H s ( ( s s 2 2 2 2 z p 1 1 ) ) s s 2 2 ( (2 2 精z p 2 选2 ) ) 20 21版课件 ( 极0 零z 1 极p 1 零z 2 极p 2 5 )
3
LC网络
(a)
L
输入阻抗
ZsL
零、极点的位置
零点 :s0
(b)
C
Z 1 sC
z 1( s )
(c)
CL
C s2 1
LC
L (d)
C
s2 1 z L( LC )
s
(e) C2
(f) C2
L1 L2
C1 L2
s[s2 1 ( 1 1 )]
Z L1
C2 L1 L2 s2 1
L2C2
s2
(f) C2
R1 R2
C1 R2
s 1 ( 1 1 )
Z R1
C2 R1 R2 s 1
R2C2
s
1
Z C1 C2 [ C1C2
s(Rs2(精C1选1C2)02)2]1版课件
R2C2
极点 :s0,
极点:s 1 RC
零点: s 1 RC
极点: s 0零点: s ( 1 1 ) C2 R1 R2
1
Z C1 C2 [ C1C2
s(精sL22选(C21102C1)2版)]课件
L2C2
极点 :s0
零点: s 0 极点: s j 1
LC
零点: s j 1 LC
极点: s 0
零点:s 0,s j 1 ( 1 1 ) C2 L1 L2
极点:s j 1
L2C2
零点: s j
1
L2 (C1 C2 )
(i 1 ,2 , ,n ) 18
2.2 用部分分式法综合无源网络
由上式可知：
第一项:Z1=Hs, 可以用一个电感量为H亨的电 感实现： H
第二项:Z2=k0/s, 可以用一个电容量为1/k0法拉 的电容实现： 1/k0
第三项：
Z3
s2
k1s
2 p1
1
s(1)
k1 s
1
k1
2
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2.2 用部分分式法综合无源网络
• 网络元件（4的）数福斯值特由1型Z网(s络)的元表件数达值式的确确定定。下面 举例说明。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
例2.5
(a)已知Z网(s络)的H 阻(抗s2函s(s1数2)(s24)9)
假设H=1, 求对应的LC福斯特1型网络；
2.2 用部分分式法综合无源网络
（2）福斯特1型网络的特点
a. 凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交替的简 单零点和极点的有理函数所表示的输入阻抗都可以 用图2-2-1所示的福斯特1型网络实现；
b. 第一个电感使Z(∞)=∞ ,即Z(s)在s=∞时为无穷大。如 果没有它，Z(∞)=0。这是因为在这种情况下，两个 输入端之间由多个电容连通；
g. 从福斯特1型网络不能看出零点的分布情况。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
LC福斯特1型网络及其各元件的功能
1/k1
1/k2
1/kn
H 1/k0
Z
实现无穷大 处的极点 z(∞)=∞
K1/ω2p1
实现原点处 的极点 z(∞)=∞
K2/ω2p2 K3/ω2p3
实现±jωpi处 的共轭复数点 极点z(∞)=∞
p1
1 Y3
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2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1
其中，
Y3
s( 1 ) k1
1
s
k1
2 p1
Y3
K1/ω2p1
导纳Y3由两个导纳组成，第一个是导纳为1/k1法拉 的电容，第二个是导纳为k1/ω2p1亨利的电感。电容和 电感并联构成阻抗Z3。
式（2-2-2）的其它各项也可以由电容和电感并联构
(3)所求的阻抗函数为：
Z(s) 83s((ss2249))
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2.1 用直接法综合无源网络
可用如下电路实现：
C1
s2 1
C2
ZC1C2 [ L2(C1C2)] C1C2 s(s2 1 )
L2C2
零点: s j 1 L2(C1 C2)
极点: s 0,s j 1 L2C2
极点: s 1 R2C2
零点: s
1
R2 (C1 C2 )
极点: s 0, s 1 11 R2C2
2.1 用直接法综合无源网络
R1
(g)
C1
C2
C1 (h)
C2
s2s( 1 C1C2) 1
ZR1
R2
R2C2 R1C1C2 R1R2C1C2 s(s 1 )
R2C2
R1
C1C2[s 1 (1 1)]
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2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2 用部分分式法综合无源网络
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2.2 用部分分式法综合无源网络
利用部分分式法综合实现的网络称为福斯特网络。 其中，
只包含电感和电容元件的福斯特网络称为LC福斯 特网络。
只包含电阻和电容元件的福斯特网络称为RC福斯 特网络。
也就是说，如果最高的截止频率是一对极点，则分母
多项式的次数比分子多项式的次数高。
如果最高的截止频率是一对零点，则分母多项式的次
数比分子多项式的次数低。
当s很大或很小时，Z(s)是如下两种情况中的一个：
Z ( s ) sL or Z ( s ) 1 sC
也就是说，在频率接近零或无穷大时，输入阻抗相当
于一个电感或电容。 精选2021版课件
成。
式（2-2-2）的完全实现电路如图2-2-1所示。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1
1/k2
1/kn
H 1/k0
Z
K1/ω2p1 K2/ω2p2 K3/ω2p3
图2-2-1 福斯特1型网络的实现
Z (s ) H k s 0 s s 2 k 精1 s 选2 20p 211 版 课件s 2 k 2 s 2 p 2 s 2 k n s 2 2p 1 n
这些网络都是通过网络的端口特性进行设计的。网 络的端口特性可以用阻抗表示，也可以用导纳表示。 根据阻抗表示式实现的福斯特网络称为福斯特1型网 络，根据导纳表示式实现的福斯特网络称为福斯特2 型网络。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1 1/k2
1/kn
H 1/k0
Z
K1ω2p K2ω2p K3ω2p
2.1 用直接法综合无源网络
• 如果Z(s)有一个零点在原点处，则Z(s)的表达式的 形式为：
Z ( s ) H s ( ( s s 2 2 2 2 p z 1 1 ) ) s s 2 2 ( (2 2 p z 2 2 ) ) ( 零0 极p 1 零z 1 极p 2 零z 2 )
2.1.2 RC网络的输入阻抗
1 RC网络的输入阻抗及其零极点位置 八种常用的RC网络的输入阻抗及其零极点 位置如图所示.
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RC网络
(a)
R
输入阻抗
ZR
零、极点的位置
无零点、无极 点
(b)
C
Z 1 sC
(c)
C
R
R (d)
C
z
1 C
1 s 1
RC
R(s 1 )
z
RC
s
(e) C2
比较 Z(s)8 (s2 4)
3s(s2 9)
和
s2
1
Z(s)C1C2 [ L2(C1C2)]
C1C2 s(s2 1 )
可得如下关系：
求得各元件值为：
L2C2
C1 C2 8
C1C2
3
C1
27 32
1
4
L2(C1 C2)
C
2
81 120
1 9 L2C 2
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L2
120 729
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2.1 用直接法综合无源网络
如果Z(0)= ∞或Z(∞)= ∞, 则网络的串联电感 和串联电容都需要。
如果Z(0)=0或Z(∞)=0, 则网络的串联电感和 串联电容都不需要。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
c.确定LC并联网络的个数 LC并联网络的个数根据阻抗函数共轭极点的
对数来确定。
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极点: s 0, s j 1 4 L2C2
2.1 用直接法综合无源网络
LC网络输入阻抗Z(s)零点和极点的特点：
• LC网络输入阻抗的零点和极点都在虚轴上、是简 单的;
• 零点和极点是交替出现的, 不会有两个零点或两个 极点在虚轴上相邻的情况；
• 原点处既可能出现零点，也可能出现极点； • LC网络输入阻抗的区别在于零点和极点的数目以
1
2
3
ＬC福斯特1型网络
1/k1
1/k2
1/k
Y
H
1/k0
n
K1/ω2p
K2/ω2p
1
2
ＬC精福选斯2021特版课2件型网络
Kn/ω2p
n 16
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2.1 ＬC福斯特1型网络
(1)ＬC福斯特1型网络的结构 为了实现福斯特1型网络，考虑LC网络阻抗最常 用的表达式：
Z(s)Hs((ss22 z2p211))(s(s22z2p222)) (0z1p1z2p2 )
如果Z(0)=0, 则网络的第一个串联元件是电感。
如果Z(0)= ∞,则网络第一个串联元件是电容。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
也可以根据Z(∞) 值确定网络的第一个串联元 件是电感还是电容。
如果Z(∞)=0, 则网络的第一个串联元件是电容。 如果Z(∞)= ∞,则网络的第一个串联元件是电感。 (b) 如果元件的数目为偶数，则网络的串联电 感和串联电容要么都需要，要么都不需要。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
将Z(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭
项组合，得：
Z(s)Hsks0s2k1s2p1s2k2s2p2
kns
s22pn
Z1Z2Z3
Zn
(222)
K的求法如下：
k0
sZ (s) s0
2 2
spi
k s Z (s) i
s2 精2 选p20i21版课件
(b)假设H=10, 求对应的LC福斯特1型网络；
(c)如果Z(s)的表达式中的s用10s代替，求对应的
LC福斯特1型网络 。
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2.2 用部分分式法综合无源网络
解： (a) (1)求电路结构
Z(s)H(s2s(s12)(s24 )9)
Z(s)的极点为±j1, ±j3, 零点为0，±j2，∞。极点和 零点都为简单极点且在虚轴上交替出现，归一化因子
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第２章 无源网络的分析与设计
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2.1 用直接法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
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2
2.1 用直接法综合无源网络
2.1.1 LC网络的输入阻抗
1 LC网络的输入阻抗及其零极点分布 常用的六种LC网络的输入阻抗及其零极点
分布如图所示。
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Z(s)H s((ss jj3 2 ))ss (( jj3 2 ))H s((ss2 2 4 9 ))
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2.1 用直接法综合无源网络
(2) 求H: 令s=jω,沿虚轴计算Z(s):
Z(j)Hj 4 (9 22)j[H 4 (9 22)〕
从电抗曲线可知,当ω=1时，Z(ω)=-1.于是可 求得： H=8/3
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2.2 用部分分式法综合无源网络
(3) LC福斯特1型网络元件数目的确定
a. 福斯特1型网络元件数目由网络阻抗函数Z(s)的 极点总 数目(包括无穷大处极点的数目)确定。
b. 串联电感和串联电容的确定
（a）如果元件的数目(极点的数目)为奇数，就需要一 个串联电感或串联电容。
具体可以根据Z(0)的值是零还是无穷大来确定网络的 第一个串联元件是电感还是电容。
c. 第一个电容使Z(0)=∞,即Z(s)在s=0时为无穷大。如果
没有它，Z(0)=0。这是因为在这种情况下，两个输
入端之间有多个电感连通；
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2.2 用部分分式法综合无源网络
d. Z(s)的每一个极点对应一个元件；
e. 电容和电感的数目要么相等，要么差值为1；
f. 该网络实现了Z(s)的全部各种极点：第一个串 联电感实现了无穷大处的极点；第一个串联电 容实现了原点处的极点；第一个并联LC电路 实现了±jωp1处的极点；第n个并联LC电路实 现了±jωpn处的极点；