高数上凹向、拐点、作图

解
2 y 36 x 24 x 36 x x 3 2 2 0 3 得 x 0 , x 令y 0 1 2 · · 3 x 0时， y 0; 在区间（－∞，0]内曲线是凹的。 2 2 0 x 时， y 0 ; 在区间[0， ]上曲线是凸的。 3 3 2 x 时， y 0. 在区间[ 2 ，＋∞）内曲线是凹的。 3 3 2 11 0 , 1、 , 是拐点. 3 27
x2 2
得到曲线上的两个点 （0 ,
1 2
）、（ 1，
1
另外f 2
1 , 2 2 e

1
加辅助点 ( 2 ,
2e 1 ). 2 2 e
）

1
2
注：本例特点 （1）利用函数的奇偶性； （2）补充点（0 ，y ( 0 ) ），（2 ，y ( 2 ) ）； （3）有水平渐近线。
f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) f ' ( x3 ),
f x 递减
f x 0
f x 0
在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。
连续曲线上，不同凹向曲线段的分界点，称为曲线的拐点。 注意：拐点是曲线上的点，应由两个坐标表示：（ x0 , f ( x0 ) ）. 前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记 为 x = xi。 两者不同。 2、曲线凹向的判定 P106定理3.8 函数y = f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,在开区间内二阶可导， 则当 仍可用“雨水法则” f ”( x ) > 0 时，曲线上凹（凹）； 帮助记忆 f ”( x ) < 0 时，曲线下凹（凸）。
x x x
则y ax b是函数y f ( x )的一条斜渐近线。 f(x) 其中， a lim ； b lim f ( x ) ax x x x
显然，一般先确定a
x2 可以试求y 的斜渐近线。（略） 1 x
二
函数作图
§3.4
曲线的凹向与拐点 ·函数作图
x x2 f 1 2

一 曲线的凹向与拐点 1.凹凸性的定义 f x1 f x2
f x1

2
x x2 f 1 2 f
x2
f x1
f x1 f x2 2
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图。 1、分析法作图的步骤： （1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2）求函数的一阶、二阶导数， 找出 f ’( x ) = 0 和 f ’( x ) 不存在的点 xi 找出 f ”( x ) = 0 和 f ”( x ) 不存在的点 xk （3）用 xi , xk 和函数的间断点把函数的定义域划分成若干
若 lim f ( x )
x x0
或 lim f ( x ) lim f ( x )
x x0
x x0
则 x x0 是 函 数 y f ( x ) 的 一 条 垂 直 渐 近 线 。
y y
C O O x
x0
x
(3)、斜渐近线（补充——不作要求）
若 lim f ( x ) ( ax b ) 0 （或 lim ， lim ）
3 2
,
所以， y" 在 ( , ) 不连续且不具有零点。
、 0， . 但 x 0 把 (,) 分成两个部分区间： ,0
x ( ,0 ), y" 0 , 曲线在 ,0 上是凹的。
上是凸的。 x ( 0 , ), y" 0 , 曲线在 0，
证明从略，但应注意： （1）定理条件中的“在开区间内二阶可导”，对有限个点，可 以允许二阶导数为零或不存在。但一阶导数必须存在。 （2）定理中的区间，可以是任何形式的区间。
3、判定函数凹向的步骤 （1）确定函数 y = f ( x )的定义域； （2）求 f ”( x ), 找出使 f ”( x ) = 0 和 f ”( x ) 不存在的点 xi ； （3）用 xi 把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲 线的凹向。
x 0 时，y 0 ,曲线在 0， 内是凹的.

4、拐点的判定 必要条件： 若函数 f(x) 在点 x0 二阶可导，且点 ( x0, f(x0) ) 是曲线的拐 点，则 f ’’(x0) = 0 充分条件：
若函数 f ( x )在 点x0的 某 邻 域 内 连 续 且 二 可 阶导 f ( x0 )或f ( x0 )可 以 不 存 在 ， 若 在 点 x0的 左 右 邻 域 内 ，
极大
－ －
－ 0
拐点
－ +
f"( x )
y f(x)
的图形
0 +
极小
3、应用举例： 补例1. 画出 y x 3 x 2 x 1的图形 . 解
定义域（ ， ） y 3 x 2 2 x 1 3 x 1 x 1 y 6 x 2 23 x 1 1 2 令 y 0 , 得 x1 , x2 1, 3 1 令 y 0 , 得 x3 , 3 3 列表讨论
上连续在区间上连续在区间中点的函数值小于函数值的中值中点的函数值大于函数值的中值34曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点就是说
如果我们接受某条信息时， 和我们头脑中已有的信息有密 切的联系，就好像往仓库中放 东西时作了许多的标记，寻找 时就比较容易。 可见，有效地提取信息，是 记忆的核心。而有效提取的关键， 是接收信息时“做好标记”。
另外
3 5 f , 2 8 3 5 辅助点 （ 1，0）、（0， 1）、（ ， ） 2 8 f 1 0 , f 0 1,
补例2. 解
画出y
1 2
x2 e 2 的图形.
1 定 义 域 ,,
y 1 2
x2 e 2
0,. f x 为偶函数， 只需讨论
（4）第四行曲线 y = f ( x ) ，用适当凹向的曲线箭头，表明函数 在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头 在右； 以下表示不正确
x
( ,
1 ) 3

1 3
1 1 , 3 3
1 3
(
1 ,1 ) 3
1
( 1, )
+ +
f' ( x )
+ －
0 －
补例1. 判断y ln x的凹凸性. 1 1 y 2 解 y x x 在定义域0， 内，y 0
曲线是凸的. 补例2. 判断y x 3的凹凸性. 解 y 3 x 2 y 6 x
x 0 时，y 0 ,曲线在 ,0内是凸的；
x0 , f ( x0 )是 f ( x0 )的 符 号 相 反 ， 则 曲 线 的 上点
曲 线y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f ( x )的 拐 点
补例3. 解
求y 2 x 3 3 x 2 12 x 14的拐点.
y 6 x 2 6 x 12
y 12 x 6
令y 0
1 得x 2 1 x 时， y 0 , 曲线是凸的。
2 1 x 时， y 0 , 曲线是凹的。 2
1 1 ， 20 是 拐 点 . 2 2
1 x 是拐点 2
补例4. 求y 3 x 4 4 x 3 1的拐点及凹凸的区间 .
个小区间；
（4）确定函数的单调性、极值点、凹向和拐点。列成表格； （5）讨论函数的渐近线。添加必要的辅助点； （6）完成作图。
2、关于函数形态表的说明（如下表）
（1）第一行 x ，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的 分界点； （2）第二行 y ’ ，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值； （3）第三行 y” ，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值；
故：曲线 y x 4没有拐点，且它在（ ， ）内是凹的。
补例6 解
求曲线 y 3 x 的拐点。
当 x 0 时，
y'
1 3 x
3 2
,
y"
2 9x x
3 2
,
y' ，y" 都不存在 。 当 x 0 时，
（由上页）y'
1 3 x
3 2
,
y"
2 9x x


x 时 , y .
所以该曲线既无水平渐近线，
5
也无铅直渐近线。 1 32 1 16 f , f , 3 27 3 27 f (1 ) 0
1

1

得到函数图形上三个点
（
1
1 32 1 16 , ）、（ ， ）、（ 1， 0） 3 27 3 27
则称f x 在I上的图形是凹的； 则称f x 在I上的图形是凸的；
就是说： 下方。 若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方， 凸的。 则称曲线在这区间是凹的； 直观观察
1x
2x
3x
1x
2x
3x
f ' ( x1 ) f ' ( x 2 ) f ' ( x3 ),
f x 递增
(0,1) － －
x
2
1 ,

令 y 0 , 得 x 1 ,
1 只在 (1,+∞ ） 0， 讨论 － － 0
拐点
0 －
+
4
x 时, y 0 , y 0为水平渐进线 .
1 , 2 f 1 1 , 2e
5 f 0
y
1 e 2
1 2
x2 xe 2
x
x2 2
,
x2 2
2 令 y 0 , 得 x 0 , 3 列表： x 0
f' ( x )
f"( x )
y f(x)
的图形 极大
1 e y 2

x2 xe 2
1 e x 2
1
x
f' ( x )
( ,
1 ) 3

1 3
1 1 , 3 3
1 3
(
1 ,1 ) 3
1
( 1, )
+ +
+ －
0 －
极大
－ －
－ 0
拐点
－ +
f"( x )
y f(x)
的图形
0 +
极小
4
x 时 , y ；
x x0
3 2 lim x 3 x 2 x 1 x0 x0 x0 1 ( )
2
y 12 x 3 12 x 2
补例5. 问曲线y x 4是否有拐点？ 解
y' 4 x 3 ,
y" 12 x 2 .
显然， x 0 是方程 y" 0 的根。 y" 0. 但当 x 0 时，总有
因此，（0，0）不是这曲线的拐点。 另外，函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点。
补例3
画 出y 1
解 1 定 义 域 ,3 3 ,.
x 3
36x
2
的图形 .
y
363 x
2令y 0,得x 3; 3列表讨论
x
f' ( x )
x 33
则 ( 0 ,0 ) 点是曲线的拐点。
本例说明：二阶导数不存在的点 也有可能是拐点
5、曲线的渐近线 (1)、水平渐近线
x
(补课本§1.6)
x
若 lim f ( x ) C , （或 lim f ( x ) C， lim f ( x ) C ）
x
则y C是函数y f ( x )的一条水平渐近线 (2)、垂直渐近线
f x2
x2 x1 设f x 在区间I上连续,
x2 x1 设f x 在区间I上连续,
若x1 , x2 I , 恒有
若x1 , x2 I , 恒有
x x2 f 1 2
x1 x2 f x1 f x2 f f x1 f x2 2 2 2 （中点的函数值小于函数值的中值） （中点的函数值大于函数值的中值）