初二秋.第2讲.四点共圆(二)
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【例 1】 ⑴ A、E、H 、F 四点共圆， 圆心是 AH 的中点； ⑵ B、D、H 、F 四点共圆，圆心是 BH 的中点； ⑶ C、 D、 H、 E 四点共圆，圆心是 CH 的中点； ⑷ A、B、D、E 四点共圆，圆心是 AB 的中点； ⑸ B、C、E、F 四点共圆，圆心是 BC 的中点； ⑹ A、C、D、F 四点共圆，圆心是 AC 的中点． 习题1. ∵ AD、BE、CF 是高， ∴ B、D、H 、F ， C、D、H 、E 分别四点共圆， ∴ FBH FDH ， ECH EDH ， ∵ ， ∴ FDH EDH ， ∴ AD FBH ECH 平 分 EDF ． 同 理 BE、CF 分 别 平 分 DEF 、 DFE ， ∴ H 是 △ DEF 的内心． 【例 2】
P A
连接 P B、P Q、 P C、 P R， ∵ △ ABC 是等腰三角形，PQ ∥ AC ，PR ∥ AB ， ∴ QB QP ， RP RC ， BQP A PRC ． ∵ P ，P 关于直线 QR 对称，∴ QP QB QP ，
RP RP RC ， ∴ Q 是 △BPP 的外心， R 是
∵
I1
是
连 接 AI C ，AI B ，BI C ， BI B ， DI D ∵ I A ，I B ，I C ，I D 1 都 是 内 心 ， ∴ AIC B 90 ADB ， 2 1 AID B 90 ACB ， ∴ A、B、 I D、I C 四 点 2 共圆，∴ AIC I D ABI D 180 ． 同 理 ， A、D、 I B 、IC 四 点 共 圆 ， 则 AIC I B ADI B 180 ．
A F D O I H E C
所 以 ABO OBD CBE ， ABC ABE (90 A) 30 ∵ ， BOC 2 BAC 120 1 BIC 90 BAC 120 ， 2 BHC EHF 180 A 120 则 知 B、 O、 I、 H、 BOC BIC BHC ，于是， C 五 点 共 圆 ．此 时 ， OBC OCB 30 ， CIH CBH ， OIC 180 OBC 150 故 OIH 150 . ⑴ (150 ) (30 ) 120 OIH ABC （定值） ⑵ OIH ACB （定值）
(150 ) (90 ) 240
A F O H E
B C 习题 9. ⑴ 如图，联结 AH，作 OD BC 于点 D . 由 O 为△ ABC 的外心及 ， BAC 60 知 BOC 2BAC 120
，
1 OD OC cos 60 由例题知 AH =2OD =1. 2
A4 A1 A2 I3 I1 I2 A3
P 【例3】 ⑴如图，连接 I 1 A1 ， I1 A2 ， I 1 A3 ， I 2 A2 和 I 2 A3
A1 A2 A3 的 内 心 ， ∴ 1 I1 A1 A2 I1 A1 A3 A AA 2 2 1 3 1 ， I1 A2 A1 I1 A2 A3 A1 A2 A3 2 1 I1 A3 A1 I1 A3 A2 AA A ， 2 1 3 2 延长 A1I1 交四边形 A1 A2 A3 A4 外接圆于 P ，则
B Q C O
1 1 △PCP 的外心 ， ∴ BP P BQP A， 2 2 1 1 PP C PRC A ， 2 2 ∴ BP C BP P PP C A ， ∴ A、 P 、 B、 C 四点共圆，即 P 在 △ ABC 的外 接圆上．
A2 A1 A3 A2 A4 A3 ， ∴ A2 I 1 A3 A2 I 2 A3 ，∴ A2 、 I 1 、 I 2 、 A3 四点共圆．
⑵又连结 I 3 A4 ，则由⑴知 A3 、 I 2 、 I 3 、 A4 四点 共圆．∴ I1 I2 A3 180 I1 A2 A3 同 理 1 I 3 I 2 A3 180 I 3 A4 A3 180 A1 A4 A3 ． 2 ∴ I1 I2 I3 360 I1 I2 A3 I3 I2 A3
初二·第 7 讲·教师版
A
3
F C
E B
D
DF AC ， ∴ AD AE AB ， AD 2 AF AC ， ∴ AE AB AF AC ， ∴ B、 E、 F、 C 四 点 共 圆．解法二：连接 EF ， ∵ DE AB ， DF AC ， ∴ AED AFD 90 ， ∴ A、E、D、F 四点共圆， ∴ AEF ADF ， ∵ AD BC ， ∴ ADF C， ∴ AEF C， ∴ B、 E、 F、 C 四点共圆．
A2 I1 A3 A2 I1 P PI1 A3 I1 A1 A2 I1 A2 A1 I1 A1 A3 I1 A3 A1 1 A2 A1 A3 A1 A2 A3 A2 A3 A1 2 1 1 A2 A1 A3 90 A2 A1 A3 2 2 1 同理 A2 I2 A3 90 A2 A4 A3 ， 2
设 △ ABC 的外心为 O ，连接 OA 、 OB 、 OC 、 OP 、 OQ ．∵ AB AC ， O 为 △ ABC 的外心， ∴ OA BC ∴ BAO CAO
初二·第 7 讲·教师版
1
D A O1 B C O2
又 ∵ 四 边 形 A1 A2 A3 A4 内 接 于 一 圆 ， ∴
初二·第 7 讲·教师版
同理可证 I AI B I C I D 的其它三个内角皆为 90 ， 则该四边形为矩形． 【例 4】
A
O B
I H C
2
A N
O B M
I H C
⑴ 连 接 OB、OC、 IB、IC、 HB ， ∵ ABC 40 ， ACB 80 ， ∴ BAC 60 ． ∵ O 是外心， I 是内心， H 是 垂心，∴ BOC BIC BHC 120 ， ∴ B、O、I 、H 、C 五点共圆． ∵ OBC 30 ， IBC 20 ， HBC HAC 10 ， ∴ OBI IBH HBC 10 ， ∴ OI IH HC ． ⑵ 过 O 作 OM BC 于 M ，延长 BO 交 △ ABC 的外接圆于 N ， 连接 NA ， NC ， 1 由 ⑴知 ， ∴ OM OB ， OBC 30 2 1 ∵ OM BC ，OM NC ， ∴ NC OB OA ， 2 ∵ NC BC ，AH BC ， ∴ NC ∥ AH ， ∵ CH AB ， NA AB ， ∴ CH ∥ NA ， ∴ 四边 形 AHCN 是平行四边形， ∴ AH NC OA ． 习题7. 如图， 分别连接 BH、CH 并延长 ， AC、AB 于 E、F ， ∵ BAC 60 ， ∴ BOC 120 ， ∵ H 是垂心， ∴ AEH AFH 90 ， ∴ EHF BAC 180 ， ∴ BHC EHF 120 ，∴ BOC BHC ， ∴ B、O、H 、C 四点共圆．
∵ OA OC ，∴ ACO CAO ∴ BAO ACO ，∵ AB AC ， AP BQ ， ∴
CP AQ 又 OA OC ∴ △ AOQ ≌△COP ，
∴ AQO APO ，故 O 、 A 、 P 、 Q 共圆． 习题 3. 如 图 ， 易 知 RP RC RB ， R 为 △ PBC 外心，
∴ B、C、D、O1 四点共圆， B、D、C、O2 四点 共圆，∴ B、O1、D、C、O2 五点共圆， ∵ O1B O1D ， O2 B O2 C ， ∴ O1CD O1CB ， O2 DC O2 DB ， ∴ A 是 △BCD 的内心．
习题6.
D IB IA C 、 CF， H 是它们的交点．作 OD AB 于点 D ，其余辅助线如图所示． 设 CBE ， ACB 90 ． 因 为 BOD ACB BCE ，
由正弦定理知 BC 2 R sin A 3 ，故凹四边形 1 3 ABHC 的面积为 AH BC 2 2 ⑵ 由 H 为 △ABC 的 垂 心 知 BHC 180 BAC 120 BOC. 所 以 ，B 、C 、 H、 O 四 点 共 圆 ，因 此 ， PO PH PB PC ．又由 O 为△ ABC 的外心， 并结合圆幂定理知 PB PC PO2 R2 故 PO PH PB PC PO 2 R 2. 于 是 ， PO2 PO PH 1 ，即 PO OH 1． 【例 5】 1. 在圆 O 中， OP DP AP BP ． 在 圆 O 中 ， EP FP AP BP 所 以 CP DP EP FP 故 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆． 2. 解 法 一 ： ∵ AD BC DE AB ，
1 A A 90 ． 1A 2 A 3 1A 4A 3 2
习题5. 连接 O1 B、 O1 D、 O2 B、 O2 C、 AB 由题意可知 O1 AD O2 AC ， O1 A O1 D ，
O2 A O2 C ，∴ AO1 D AO2 C ， 1 1 ∵ ABD AO1D ， ABC AO2 C ， 2 2 ∴ ABD ABC 且 CBD CO1D CO2 D ，
BRP 2 ACB 180° BAC ， 故 A 、 B 、 R 、 P 共 圆 ， 于 是 RPB BAD DAC ．
A
P R B Q D C
O O1 O3 A B O2 C
习题 4.
A P' Q B P C R
连 接 O1O3、O2O3、O1O2、OO3、OO2、AO3、BO2 ， 易证 O1O2 垂直平分 OB ， O1O3 垂直平分 OA ． 观 察 △OBC 及 其 外 接 圆 ， 可 得 1 OO2O1 OO2 B OCB ，观察 △OCA 及其 2 1 外接圆，可得 OO3O1 OO3 A OCA ． 2 那 么 ， 由 OO2 O1 OO3 O1 可 得 O， O1 ， O 2 ，O3 共圆． 习题2.
1 1 ∵ ABI D ABC ， ADI B ADC ， 2 2 ABC ADC 180 ， ∴ ， ABI D ADI B 90 ∴ AIC I D AIC I B 270 ，∴ I B IC I D 90 ．
P A
连接 P B、P Q、 P C、 P R， ∵ △ ABC 是等腰三角形，PQ ∥ AC ，PR ∥ AB ， ∴ QB QP ， RP RC ， BQP A PRC ． ∵ P ，P 关于直线 QR 对称，∴ QP QB QP ，
RP RP RC ， ∴ Q 是 △BPP 的外心， R 是
∵
I1
是
连 接 AI C ，AI B ，BI C ， BI B ， DI D ∵ I A ，I B ，I C ，I D 1 都 是 内 心 ， ∴ AIC B 90 ADB ， 2 1 AID B 90 ACB ， ∴ A、B、 I D、I C 四 点 2 共圆，∴ AIC I D ABI D 180 ． 同 理 ， A、D、 I B 、IC 四 点 共 圆 ， 则 AIC I B ADI B 180 ．
A F D O I H E C
所 以 ABO OBD CBE ， ABC ABE (90 A) 30 ∵ ， BOC 2 BAC 120 1 BIC 90 BAC 120 ， 2 BHC EHF 180 A 120 则 知 B、 O、 I、 H、 BOC BIC BHC ，于是， C 五 点 共 圆 ．此 时 ， OBC OCB 30 ， CIH CBH ， OIC 180 OBC 150 故 OIH 150 . ⑴ (150 ) (30 ) 120 OIH ABC （定值） ⑵ OIH ACB （定值）
(150 ) (90 ) 240
A F O H E
B C 习题 9. ⑴ 如图，联结 AH，作 OD BC 于点 D . 由 O 为△ ABC 的外心及 ， BAC 60 知 BOC 2BAC 120
，
1 OD OC cos 60 由例题知 AH =2OD =1. 2
A4 A1 A2 I3 I1 I2 A3
P 【例3】 ⑴如图，连接 I 1 A1 ， I1 A2 ， I 1 A3 ， I 2 A2 和 I 2 A3
A1 A2 A3 的 内 心 ， ∴ 1 I1 A1 A2 I1 A1 A3 A AA 2 2 1 3 1 ， I1 A2 A1 I1 A2 A3 A1 A2 A3 2 1 I1 A3 A1 I1 A3 A2 AA A ， 2 1 3 2 延长 A1I1 交四边形 A1 A2 A3 A4 外接圆于 P ，则
B Q C O
1 1 △PCP 的外心 ， ∴ BP P BQP A， 2 2 1 1 PP C PRC A ， 2 2 ∴ BP C BP P PP C A ， ∴ A、 P 、 B、 C 四点共圆，即 P 在 △ ABC 的外 接圆上．
A2 A1 A3 A2 A4 A3 ， ∴ A2 I 1 A3 A2 I 2 A3 ，∴ A2 、 I 1 、 I 2 、 A3 四点共圆．
⑵又连结 I 3 A4 ，则由⑴知 A3 、 I 2 、 I 3 、 A4 四点 共圆．∴ I1 I2 A3 180 I1 A2 A3 同 理 1 I 3 I 2 A3 180 I 3 A4 A3 180 A1 A4 A3 ． 2 ∴ I1 I2 I3 360 I1 I2 A3 I3 I2 A3
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A
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F C
E B
D
DF AC ， ∴ AD AE AB ， AD 2 AF AC ， ∴ AE AB AF AC ， ∴ B、 E、 F、 C 四 点 共 圆．解法二：连接 EF ， ∵ DE AB ， DF AC ， ∴ AED AFD 90 ， ∴ A、E、D、F 四点共圆， ∴ AEF ADF ， ∵ AD BC ， ∴ ADF C， ∴ AEF C， ∴ B、 E、 F、 C 四点共圆．
A2 I1 A3 A2 I1 P PI1 A3 I1 A1 A2 I1 A2 A1 I1 A1 A3 I1 A3 A1 1 A2 A1 A3 A1 A2 A3 A2 A3 A1 2 1 1 A2 A1 A3 90 A2 A1 A3 2 2 1 同理 A2 I2 A3 90 A2 A4 A3 ， 2
设 △ ABC 的外心为 O ，连接 OA 、 OB 、 OC 、 OP 、 OQ ．∵ AB AC ， O 为 △ ABC 的外心， ∴ OA BC ∴ BAO CAO
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D A O1 B C O2
又 ∵ 四 边 形 A1 A2 A3 A4 内 接 于 一 圆 ， ∴
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同理可证 I AI B I C I D 的其它三个内角皆为 90 ， 则该四边形为矩形． 【例 4】
A
O B
I H C
2
A N
O B M
I H C
⑴ 连 接 OB、OC、 IB、IC、 HB ， ∵ ABC 40 ， ACB 80 ， ∴ BAC 60 ． ∵ O 是外心， I 是内心， H 是 垂心，∴ BOC BIC BHC 120 ， ∴ B、O、I 、H 、C 五点共圆． ∵ OBC 30 ， IBC 20 ， HBC HAC 10 ， ∴ OBI IBH HBC 10 ， ∴ OI IH HC ． ⑵ 过 O 作 OM BC 于 M ，延长 BO 交 △ ABC 的外接圆于 N ， 连接 NA ， NC ， 1 由 ⑴知 ， ∴ OM OB ， OBC 30 2 1 ∵ OM BC ，OM NC ， ∴ NC OB OA ， 2 ∵ NC BC ，AH BC ， ∴ NC ∥ AH ， ∵ CH AB ， NA AB ， ∴ CH ∥ NA ， ∴ 四边 形 AHCN 是平行四边形， ∴ AH NC OA ． 习题7. 如图， 分别连接 BH、CH 并延长 ， AC、AB 于 E、F ， ∵ BAC 60 ， ∴ BOC 120 ， ∵ H 是垂心， ∴ AEH AFH 90 ， ∴ EHF BAC 180 ， ∴ BHC EHF 120 ，∴ BOC BHC ， ∴ B、O、H 、C 四点共圆．
∵ OA OC ，∴ ACO CAO ∴ BAO ACO ，∵ AB AC ， AP BQ ， ∴
CP AQ 又 OA OC ∴ △ AOQ ≌△COP ，
∴ AQO APO ，故 O 、 A 、 P 、 Q 共圆． 习题 3. 如 图 ， 易 知 RP RC RB ， R 为 △ PBC 外心，
∴ B、C、D、O1 四点共圆， B、D、C、O2 四点 共圆，∴ B、O1、D、C、O2 五点共圆， ∵ O1B O1D ， O2 B O2 C ， ∴ O1CD O1CB ， O2 DC O2 DB ， ∴ A 是 △BCD 的内心．
习题6.
D IB IA C 、 CF， H 是它们的交点．作 OD AB 于点 D ，其余辅助线如图所示． 设 CBE ， ACB 90 ． 因 为 BOD ACB BCE ，
由正弦定理知 BC 2 R sin A 3 ，故凹四边形 1 3 ABHC 的面积为 AH BC 2 2 ⑵ 由 H 为 △ABC 的 垂 心 知 BHC 180 BAC 120 BOC. 所 以 ，B 、C 、 H、 O 四 点 共 圆 ，因 此 ， PO PH PB PC ．又由 O 为△ ABC 的外心， 并结合圆幂定理知 PB PC PO2 R2 故 PO PH PB PC PO 2 R 2. 于 是 ， PO2 PO PH 1 ，即 PO OH 1． 【例 5】 1. 在圆 O 中， OP DP AP BP ． 在 圆 O 中 ， EP FP AP BP 所 以 CP DP EP FP 故 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆． 2. 解 法 一 ： ∵ AD BC DE AB ，
1 A A 90 ． 1A 2 A 3 1A 4A 3 2
习题5. 连接 O1 B、 O1 D、 O2 B、 O2 C、 AB 由题意可知 O1 AD O2 AC ， O1 A O1 D ，
O2 A O2 C ，∴ AO1 D AO2 C ， 1 1 ∵ ABD AO1D ， ABC AO2 C ， 2 2 ∴ ABD ABC 且 CBD CO1D CO2 D ，
BRP 2 ACB 180° BAC ， 故 A 、 B 、 R 、 P 共 圆 ， 于 是 RPB BAD DAC ．
A
P R B Q D C
O O1 O3 A B O2 C
习题 4.
A P' Q B P C R
连 接 O1O3、O2O3、O1O2、OO3、OO2、AO3、BO2 ， 易证 O1O2 垂直平分 OB ， O1O3 垂直平分 OA ． 观 察 △OBC 及 其 外 接 圆 ， 可 得 1 OO2O1 OO2 B OCB ，观察 △OCA 及其 2 1 外接圆，可得 OO3O1 OO3 A OCA ． 2 那 么 ， 由 OO2 O1 OO3 O1 可 得 O， O1 ， O 2 ，O3 共圆． 习题2.
1 1 ∵ ABI D ABC ， ADI B ADC ， 2 2 ABC ADC 180 ， ∴ ， ABI D ADI B 90 ∴ AIC I D AIC I B 270 ，∴ I B IC I D 90 ．