邯郸市重点中学2024年高三3月高考考前仿真数学试题

邯郸市重点中学2024年高三3月高考考前仿真数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）
A ．12
B ．122
C ．
162
3
D ．
163
2．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象
（ ）
A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移12
π
个单位
C ．向左平移
12
π
个单位
D ．向左平移
6
π
个单位 3．已知集合{}
}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=
A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
4．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．已知21,0
(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
，则
21log 3f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦（ ）
A ．2
B ．
2
3 C ．23
-
D ．3
6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5
cos 5
θ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．5
B ．
5
2
C ．2
D ．4
7．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．240
B ．264
C ．274
D ．282
8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48
B ．72
C ．90
D ．96
9．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+>
D ．()(0)()f ab f f a b >>+
10．若复数2
(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2
B ．2
C ．0
D ．1或2
11．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有
()()
2121
0f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，
12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，21log 6c f ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
12．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()
22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ）
A ．max
37
2a c
+-=
B ．max
37
2a c
-+=
C ．min
37
2
a c
+-= D ．min
37
2
a c
-+=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，2
MF NF
b +=
，
若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ，则-a b 的值为_________.
14．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x
f x =-，则()123f =___
15．已知全集U {1,2,3}=，{2}A =，则
U
A =________.
16．在ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为
原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．
18．（12分）选修4-5：不等式选讲 设函数． （1） 证明:；
（2）若不等式
的解集非空，求的取值范围．
19．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．
()1求B 的值；
()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =
，7
cos 25
A =-，求b 的值. 20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2
2
31x y -+=，椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的
右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N .当12
7
AN AM =时，求直线l 的方程. 21．（12分）已知函数ln (),x
x ax
f x a R e
+=
∈ （1）若函数()y f x =在()00ln 2ln3x x x =<<处取得极值1，证明：1123ln 2ln 3
a -<<- （2）若1
()x f x x e
-
恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（10分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的大小；
（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知
18
33P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=，当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得
EF PC ⊥，再由21
12
PCE S PC EF PE =⋅=-PE 的最大值即可.
【题目详解】
在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE
CE E =，所以BD ⊥平面PCE ，
所以183
3
P BCD B PCE D PCE PCE
PCE
V V V S BD S ---=+=⋅=，
当PCE
S
最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，
所以21
12
PCE
S PC EF PE =
⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8
223
⨯162
3
=. 故选：C.
【题目点拨】
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 2、C 【解题分析】
根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，结合图像变换知识得到答案.
【题目详解】 由图象知：7212122
T T πππ
π=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π
=
时函数值最大，
所以2221223
k k πππ
ϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3
π
ϕ=
，从而()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫==+
=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 只需将()f x 的图象向左平移12
π
个单位即可得到()g x 的图象，
故选C .
已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+=
=.(2)由函数的周期T 求2,.T π
ωω
= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求． 3、C 【解题分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【题目详解】
由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则
{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．
【题目点拨】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 4、C 【解题分析】
由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【题目详解】
解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+=
===-+--+，11
22
z i ∴=--， 对应点为11(,)22
--，在第三象限． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键． 5、A 【解题分析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【题目详解】
21log 03<，∴22211
(log )log log 3033f =-=>；
∴221
[(log )](log 3)3123
f f f ==-=；
故选：A ．
本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 6、A 【解题分析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【题目详解】
解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈
又5cos 5θ=，则25sin 5θ=，tan 2θ=，2b a =，所以离心率2
15c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
， 故选：A . 【题目点拨】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 7、B 【解题分析】
将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【题目详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，
其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()34
36536246302642
S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.
【题目点拨】
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 8、D 【解题分析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有1
3C •3
4A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有4
4A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 9、C 【解题分析】
根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【题目详解】
解：0.22lg0.3lg0.3
+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2
a b =+=
55
lg 0.3lg
lg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯=
=--⨯⨯ ()
0.22lg 0.3lg 0.3
log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2
lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3
lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2
10
lg 0.3lg
3lg 5lg 2
ab =⨯=⨯-⨯⨯==
⨯⨯-⨯-=
⨯⨯=-
⨯
显然510
lg
lg 23
<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，
所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【题目点拨】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 10、C 【解题分析】
试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件. 考点：纯虚数 11、A 【解题分析】
根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【题目详解】
解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有
()()
2121
0f x f x x x ->-
()f x 在(),0x ∈-∞上递增
因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为2
21log log 626
=>，1ln 2π<<，
1
201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【题目点拨】
考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 12、A 【解题分析】
设θ为a 、b 的夹角，根据题意求得3
π
θ=
，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，(1,b OB ==，
(),c OC x y ==，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -和a c +转化为圆上的点到定点距
离，利用数形结合思想可得出结果. 【题目详解】
由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=，则1cos =
2θ，0θπ≤≤，3
πθ∴=，
建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，(1,b OB ==，(),c OC x y ==，
由()
22c a b c ⋅+-=，可得()()
,42,2322x y x y ⋅-=， 即2242322x x y -+-=，
化简得点C 的轨迹方程为()2
2
33124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭
，则()
2
22a c x y -=-+，
则a c -转化为圆()2
233124x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，2
2
max 333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
∴-，2
2min
3373
1222a c
⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝-⎭
， ()
2
22a c x y +=
++，
a c +转化为圆()2
2
33124x y ⎛-+-= ⎝
⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max
333222393a c
⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+，2
2
m 333922233im a c ⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭
+ . 故选：A. 【题目点拨】
本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解题分析】
设()()1122,,,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +，由抛物线定义得焦点弦长，求得b ，再写出MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论． 【题目详解】
抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，直线l 的方程为1y x =-，
据214y x y x
=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 则()1212121
6,4,11422
MF NF x x y y b x x ++=+=∴=
=+++=.
线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-，令0y =，则5x =，所以5a =， 所以1a b -=. 故答案为：1． 【题目点拨】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键． 14、1- 【解题分析】
根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的
值.
【题目详解】
()f x 满足()()11f x f x +=-，
由函数对称性可知()f x 关于1112
x x
x ++-=
=对称，
且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，
由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则
()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-
当01x ≤≤时()21x
f x =-， 所以()1
1211f =-=，
所以
()()12311f f =-=-，
故答案为：1-. 【题目点拨】
本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15、{}1,3 【解题分析】
利用集合的补集运算即可求解. 【题目详解】
由全集U {1,2,3}=，{2}A =， 所以
{}U
1,3A =.
故答案为：{}1,3 【题目点拨】
本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题. 16、15 【解题分析】 由角平分线定理得AB BD
AC CD
=,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC 面积的最大值. 【题目详解】 画出图形：
因为3BD =，2CD =，由角平分线定理得
3
2
AB BD AC CD ==, 设2,2,0,
2AC x BAC παα⎛⎫
=∠=∈ ⎪⎝
⎭
，则3AB x = 由余弦定理得：22249232cos 25x x x x α=+-⋅⋅⋅ 即2
1325
12cos 2x α
=
-
2175sin 232sin 23sin 221312cos 2ABC S x x x αααα
∆=⋅⋅⋅=⋅=-
()222222tan 75752sin cos 1tan 1tan 1312cos sin 13121tan α
ααααααα
⋅
⨯+==
--⨯--⋅
+ 2
150tan 15
1
125tan 1
25tan 2
tan 150150α
α
αα
⋅=
==++
当且仅当
125tan tan αα
=，即1
tan 5α=时取等号
所以ABC 面积的最大值为15 故答案为：15 【题目点拨】
此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 2
4x y = (2)4 【解题分析】
（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算
AF BF -的值即可．
【题目详解】
（1）将点P 横坐标2P x =代入2
2x py =中，求得2P y p
=
， ∴P （2，2p
），2
2
44OP p =+， 点P 到准线的距离为22
p d p =
+， ∴2
2
2
||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
∴22
222212p p p ⎛⎫⎛⎫
+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得24p =，∴2p =， ∴抛物线C 的方程为：24x y =；
（2）抛物线2
4x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，
； 设()()1122A x y B x y ，
，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，
∴121244x x k x x +==-，
，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==
，22
1
HB y k x +=， ∴
1212
11
1y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，
即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴
()
2222
1212121110164
x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，22
1216x x -=，
则()
22
121211||||1116444
AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 【题目点拨】
本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 18、 (1)见解析. (1)
.
【解题分析】
试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；
（1）
，分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析： （1）证明：函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜2，
则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a|+|﹣﹣a|=|x ﹣a|+|+a|≥|（x ﹣a ）+（+a ）|
=|x+|=|x|+≥1=1．
（1）f （x ）+f （1x ）=|x ﹣a|+|1x ﹣a|，a ＜2．
当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣1x=1a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ； 当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣1x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ； 当x
时，f （x ）=x ﹣a+1x ﹣a=3x ﹣1a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞）.
不等式f （x ）+f （1x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜2， 则a 的取值范围是
．
考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式. 19、()14
B π
=
；()2sin sin AD ADC
b C
∠=
.
【解题分析】
()1利用正弦定理化简求值即可；
()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.
【题目详解】
解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，
sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，
又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4
B π
=
；
（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
, 27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5
x =，则2
4sin 1cos 5x x =-=， 224
sin 1cos 25A A =-=
，又4
B π=，
则333sin sin sin cos cos sin 444C A A A πππ⎛⎫
=---=
⎪⎝⎭
(
)sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ⎛
⎫∠=+=+=+=
⎪⎝
⎭ 在ACD 中，由正弦定理：sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADC
b C
∠=
. 【题目点拨】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
20、（1）22
143
x y +=（2）20x y --=或20x y +-=.
【解题分析】
（1）圆C 的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设(),N N N x y ，(),M M M x y ，显然直线l 的斜率存在，方法一：设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，可得N x ，同理直线方程和圆
方程联立，可得M x ，再由12
7
AN AM =可解得k ，即得；方法二：设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立，可得N y ，将其与圆方程联立，可得M y ，由12
7
AN AM =可解得k ，即得. 【题目详解】
（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）.右顶点(),0A a 在圆C 上，右准线2
a x c
=与圆C ：()2231x y -+=相
切.()222301,31,a a c ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪
⎩
解得21a c =⎧⎨=⎩，
2
2
2
3b a c ∴=-=，椭圆方程为：22
143
x y +
=. （2）法1：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组()222,14
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，整理得()2222
431616120k x k x k +-+-=.
由221612243N k x k -⋅=+，解得22
8643
N k x k -=+.
直线方程和圆方程联立，由方程组()()22
2,31,
y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得，()()2222
146480k x k x k +-+++= 由224821M k x k +⋅=+，解得22
24
1M k x k +=+. 又127AN AM =
，则有()12
227N M x x -=-. 即22
12122
4371k k =⋅++，解得1k =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.
分法2：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，当直线l 与x 轴重合时，不符题意.
设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠.由方程组22
214
3x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩ 消去x 得，(
)
2
2
34120t x ty ++=，解得2
1234
N t y t -=
+. 由方程组()22
231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去x 得，()22
120t x ty +-=， 解得2
21M t
y t =+. 又127AN AM =，则有127N M y y =-. 即22121223471
t t
t t -=-⋅++，解得1t =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【题目点拨】
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力. 21、（1）证明见详解；（2）(,1]-∞ 【解题分析】
（1）求出函数()y f x =的导函数()f x '
，由()f x 在0x x =处取得极值1，可得0()0f x '=且0()1f x =.解出
001x a e x =-
，构造函数1()(0)x
r x e x x
=->，分析其单调性，结合0ln 2ln 3x <<，即可得到a 的范围，命题得证；
（2）由1()x f x x e -
分离参数，得到ln 1x x a e x x --恒成立，构造函数
ln 1()x
x g x e x x
=--，求导函数
22
ln ()x x e x g x x
'+=，再构造函数2()ln x
h x x e x =+，进行二次求导()
21()2x h x x x e x '=++.由0x >知()0h x '>，则()h x 在(0,)+∞上单调递增.根据零点存在定理可知()h x 有唯一零点1x ，且
11
12
x <<.由此判断出()10,x x ∈时，()g x 单调递减，()1,x x ∈+∞时，()g x 单调递增，则()min
1()g x g x =，即1111
ln 1
x
x a e x x -
-.由()10h x =得1111ln x x x e x =-
，再次构造函数()(0)x k x xe x =>，求导分析单调性，从而得11ln x x =-，即11
1x e x =，最终求得()11g x =，则1a .
【题目详解】
解：（1）由题知，1
(ln )
()x
a x ax x f x e '+-+=
∵函数()y f x =在0x x =，处取得极值1，
()()000001
ln 0x a x ax x f x e +-+'∴==，且()00
00
ln 1x ax f x e
+==， 0000
1
ln x a x ax e x ∴
+=+=， 00
1x a e x ∴=-
， 令1()(0)x
r x e x x =-
>，则21
()0x r x e x
'=+> ()r x ∴为增函数，
00ln 2ln 3x <<< (ln 2)(ln3)r a r ∴<<，即11
23ln 2ln 3
a -
<<-成立. （2）不等式1
()x f x x e
≤-
恒成立， 即不等式ln 1x xe x ax --≥恒成立，即ln 1
x
x a e x x
-
-恒成立， 令ln 1()x
x g x e x x =--，则2222
1ln 1ln ()x x
x x e x g x e x x x '-+=-+=
令2()ln x h x x e x =+，则(
)
2
1()2x
h x x x e x
'=++
, 0x
，()0h x '∴>，
()h x ∴在(0,)+∞
上单调递增，且1(1)0,ln 202h e h ⎛⎫=>=-< ⎪
⎝⎭， ()h x ∴有唯一零点1x ，且
11
12
x <<， 当()10,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增.
()min 1()g x g x ∴=，
1111
ln 1
x x a e x x ∴-
- 由()10h x =整理得1
11
1
ln x
x x e x =-
11
12
x <<，1ln 0x -> 令()(0)x
k x xe x =>，则方程111
1
ln x
x x e x =-
等价于()()11ln k x k x =- 而()(1)x
k x x e '=+在(0,)+∞上恒大于零， ()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，
()()11ln k x k x =-.
11ln x x ∴=- 11
1x e x ∴=
()()111111111
ln 111
1x x x g x e x x x x x -∴=--=--=， 1a ∴
∴实数a 的取值范围为(,1]-∞. 【题目点拨】
本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.
22、（1）
3
π
；（2. 【解题分析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得1
cos 2
B =
，根据()0,B π∈可求得结果；（2）利用余弦定理可得224a c ac +-=，利用基本不等式可求得()max 4ac =，代入三角形面积公式可求得结果. 【题目详解】
（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+
A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠
2cos 1B ∴=，即1cos 2
B =
由()0,B π∈得：3
B π
=
（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=
又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-= 即()max 4ac =
∴三角形面积S 的最大值为：1
4sin 2
B ⨯=
【题目点拨】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.。