辽宁省鞍山市2024届九年级新中考(样卷)数学试卷(含解析)

2024年辽宁省鞍山市新中考数学试卷（样卷）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A．3，﹣1，4B．3，4，﹣1C．3，﹣4，﹣1D．3，﹣1，﹣4
3．（3分）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED（ ）
A．B．AB•AD＝AE•AC
C．D．AD•DE＝AE•EC
4．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．不能确定
5．（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的宽为（ ）
A．B．5cm C．10cm D．6cm
6．（3分）已知点P（m﹣n，1）与点Q（3，m+n）关于原点对称（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，AC′＝5，则B′C的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（ ）
A．23（1﹣x）2＝18.63B．18.63（1+x）2＝23
C．18.63（1﹣x）2＝23D．23（1﹣2x）＝18.63
9．（3分）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
10．（3分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．
12．（3分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，再以B为圆心，BO长为半径画弧，画射线OC，则tan ∠AOC的值为 ．
13．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，根据图2中的数据可得x的值为 ．
14．（3分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB＝3时，点P的坐标为 ．
15．（3分）如图，已知△ABC中，D，E分别是AC，，∠AED＝∠ABC，DE与AB的延长线交于点F，EF＝3，则BC＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）解下列方程：
（1）x2+3x﹣4＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
17．（8分）如图，AE平分∠BAC，D为AE中点
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19．（8分）已知抛物线y＝2x2+4x﹣6．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点
20．（9分）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，MA的延长线与CN交于点P，若AM＝3，．
（1）求证：△ABM∽△CBN；
（2）求AP的长．
21．（8分）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元
的价格购进某款T恤，“双11”的前一周（10月30日﹣11月5日）的销售量为500件（11月6日﹣11月12日）进行降价销售，经调查，每降价1元，周销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，
如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）
22．（12分）问题提出
已知△ABC是等边三角形，将等边三角形ADE（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，得到线段CF，连接BE，BF．
观察发现
（1）如图1，当点E在线段AB上，猜想△BEF的形状 ；
探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段AB上，（1）中猜想的结论是否依然成立；
拓展应用
（3）若AB＝2，，在△ADE绕着点A旋转的过程中，当EF⊥AC时
23．（12分）问题提出：
如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，连接BE，过E作EF⊥BE（点F在BE的左侧），且，连接FG，设DE长为x（x，y均可等于0）．
初步感知：
（1）如图1，当点E由点D运动到点A时，经探究发现y是关于x的二次函数，l为其对称轴，请根据图象信息求y关于x的函数解析式及线段AD的长；
（2）当点E在线段DA的延长线上运动时，求y关于x的函数解析式；
延伸探究：
（3）若存在三个不同位置的点E（从右向左依次用E1，E2，E3表示），对应的四边形DGFE面积均相等．
①试确定DE1，DE2的数量关系，并说明理由；
②当2DE2＝DE1+DE3时，求四边形DGFE3的面积．
2024年辽宁省鞍山市新中考数学试卷（样卷）答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
解析：解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
故选：A．
2．
解析：解：∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是7，﹣1，
故选：C．
3．
解析：解：∵△ABC∽△AED，
∴＝＝，
∵＝＝，＝＝，≠，
∴，故A错误；
∵＝，
∴AB•AD＝AC•AE，故B正确；
∵＝，AE≠AD，
∴，故C错误；
∵AE•EC＝AE（AC﹣AE）＝AE•AC﹣AE2＝AB•AD﹣AE5，AD•DE＝AD＝•AD2，
∴无法推出AD•DE＝AE•EC，故D错误．
故选：B．
4．
解析：解：当x＝﹣1时，y1＝x5﹣4x+k＝1+4+k＝k+5；
当x＝3时，y8＝x2﹣4x+k＝3﹣12+k＝k﹣3，
所以y1＞y2．
故选：B．
5．
解析：解：设放大后矩形的宽为x cm．
∵放大前后矩形相似，
∴＝，
∴x＝2．
故选：D．
6．
解析：解：∵点P（m﹣n，1）与点Q（3，
∴，
∴，
故选：C．
7．
解析：解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∵AB＝2，AC'＝5，
故选：B．
8．
解析：解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：A．
9．
解析：解：如图：
∴点O是位似中心．
故选：D．
10．
解析：解：20t﹣5t2＝15的两根t3＝1与t2＝5，即h＝15时所用的时间，∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s；
h＝20t﹣7t2＝20﹣5（6﹣t）2，
∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20；
∴t＝6时，h＝15，故B错误；
∵当h＝0时，t1＝2，t2＝4，
∴t3﹣t1＝4，
∴小球从飞出到落地要用5s，故C正确．
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
解析：解：∵x1，x2是一元二次方程x7+5x﹣1＝2的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣4．
故答案为：﹣5．
12．
解析：解：连接BC，如图所示：
 
根据作图可知：OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴tan∠AOC＝tan60°＝．
13．
解析：解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，则ON＝x，∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OBA，
∴＝，
∴即＝，
∴x＝0.96．
故答案为：0.96．
14．
解析：解：令y＝0，则﹣x2+5x+3＝0，
解得x3＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），7），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，2）和C（0，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点G，
设P（t，﹣t2+7t+3），则G（t，
∴PG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t8+3t，
∵S△PCB＝3，
∴PG•OB＝3，即2+2t）×3＝3，
解得：t6＝1，t2＝2，
∴点P的坐标为（1，4）或（8，
故答案为：（1，4）或（7．
15．
解析：解：如图，过点A作AG∥BC，
∵∠AED＝∠ABC，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠AED，即∠EBF＝∠AEF，又∵∠BFE＝∠EFA，
∴△EBF∽△AEF，
∴，即，
∴EB＝，BF＝1，
∵AG∥BC，
∴△BEF∽△AGF，
∴＝，即＝，
∴AG＝，GF＝27，
∴DG＝GF﹣DE﹣EF＝27﹣9﹣4＝15，
∵AG∥BC，
∴△ADG∽△CDE，
∴，即，
∴CE＝，
∴BC＝BE+CE＝＝．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．
解析：解：（1）x2+3x﹣4＝0，
则（x﹣1）（x+8）＝0，
则x﹣1＝4或x+4＝0，
解得x5＝1，x2＝﹣5；
（2）2x2﹣5x﹣1＝0，
x7﹣2x＝，
∴x2﹣2x+5＝+62＝，
∴x﹣1＝±，
∴x＝1±，
∴x1＝1+，x2＝3﹣．
17．
解析：证明：∵D为AE中点，
∴AE＝2AD，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠B＝∠C．
∴△ABE∽△ACD，
∴＝＝2，
∴AB＝2AC．
18．
解析：证明：根据题意可得；
a＝1，b＝2k，
∴，
∵，
∴，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
19．
解析：解：（1）由题知，
y＝2x2+3x﹣6＝2（x4+2x+1）﹣2＝2（x+1）2﹣8，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣5）．
（2）令y＝0得，
2x7+4x﹣6＝8，
解得x1＝1，x3＝﹣3．
又因为将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以﹣5+m＝0，
解得m＝3．
故m的值为5．
20．
解析：（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴，
∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN；
（2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN，
∴∠BMA＝∠BNC，
∵CN∥BM，
∴∠BMA＝∠APN，
∴∠APN＝∠BNC，
又∵BC＝BN，
∴∠BNC＝∠BCN，
∴∠APN＝∠BCN，
∴BC∥MP，
∴四边形BCPM为平行四边形，
∴BC＝PM，
∵△ABM∽△CBN，
∴，即，
∴CB＝5＝PM，
∴AP＝PM﹣AM＝5﹣6＝2．
21．
解析：解：设售价为每件x元，利润为y元，得：
y＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000＝﹣50（x﹣55）2+11250，∵销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，
∴，
解得40≤x≤52，
∵a＝﹣50＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线x＝55，
∴当40≤x≤52时，y随x的增大而增大，
∴当x＝52时，y有最大值4+11250＝10800（元），
答：当定价为每件52元，才能使利润最大．
22．
解析：解：（1）点E在线段AB上时，
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠AED＝60°＝∠BEF，
∴△BEF是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）当点E不在线段AB上，（1）中的结论依然成立
延长AD交BC于M，如图：
∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°＝∠DAE，AB＝BC，
∵平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∴AE＝CF，∠BCF＝∠AMC，
∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝60°+∠BAM＝∠DAE+∠BAM＝∠BAE，∴∠BCF＝∠BAE，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC，即∠ABC＝∠EBF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形；
（3）设直线AC交EF于H，分两种情况：
①当EF在BC下方时，如图：
由（2）可知△BEF是等边三角形，
∴∠BFE＝60°，BF＝EF，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCH＝120°，
∵EF⊥AC，
∴∠H＝90°，
∴∠FBC＝360°﹣∠BFE﹣∠H﹣∠BCH＝90°，
∴BF＝，
∵平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，∴CF＝AD＝，
而BC＝AB＝2，
∴BF＝＝，
∴EF＝；
设EH＝x，CH＝y，
∵FH2+CH2＝CF2，EH5+AH2＝AE2，
∴，
∴，
①﹣②得：3x﹣4y+，
∴y＝x+③，
把③代入①得：+32+x2+x+＝，
解得x＝（负值已舍去），
∴y＝×+＝，
∵AF2＝FH2+AH6，
∴AF2＝（+x）2+（y+3）2＝（+）2+（+2）2＝，∴AF＝；
当EF在BC上方时，如图：
同理可得∠ABE＝360°﹣∠FEB﹣∠H﹣∠BAH＝90°，
∴BE＝＝＝EF，
设FH＝m，AH＝n，
∵EH2+AH2＝AE3，FH2+CH2＝CF8＝AD2，
∴，
解得（负值已舍去），
∴AF＝＝；
综上所述，AF的值为或．
23．
解析：解；（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+，
将原点代入解析式得：0＝a+，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+＝﹣x8+x（0≤x≤2），令y＝5，解得：x1＝0，x3＝2，
∴AD＝2﹣7＝2；
（2）当E在DA延长线上时，如图：
∵BE⊥EF，
∴∠HEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，
又∵AB⊥AE，
∴∠AEB+∠HEF＝90°，
∴∠HEF＝∠ABE，
又∵EF∥DG，
∴∠ADG＝∠HEF，
∴∠ADE＝∠ABE，
又∵∠DAG＝∠EAB，
∴△ADG∽△ABE，
∴＝＝，
又∵，
∴DG＝EF，
∴四边形DEFG为平行四边形，
∴y＝DE•AG，
∵AE＝DE﹣AD＝x﹣2，
∴AG＝＝（x﹣2）＝，
∴y＝x•（x﹣1）＝x2﹣x（x≥2）；
（3）①画出y关于x的图形，如图：
∴存在三个不同位置的点E时，4＜y＜，
∴DE4和DE2的长度在抛物线y＝﹣x2+x上，∴DE1+DE8＝2；
②∵2DE8＝DE1+DE3，
∴4DE2＝2﹣DE5+DE3，
∴DE3＝2DE2﹣2，
令DE8＝a，则有：
﹣a4+a＝（6a﹣2）2﹣（6a﹣2），整理得：5a7﹣10a+4＝0，
解得：a＝或（小于8，∴y＝，
即四边形DGFE5的面积为．。