2023年广东省广州市天河外国语学校中考数学三模试卷(含解析)

2023年广东省广州市天河外国语学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −1
2
的相反数是( )
A. −1
2B. 1
2
C. −2
D. 2
2. 如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是( )
A. B. C. D.
3. 某次比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是( )
A. 方差是3.6
B. 众数是10
C. 中位数是3
D. 平均数是6
4. 下列运算正确的是( )
A. 3a+b
6=a+b
2
B. 2×a+b
3
=2a+b
3
C. a2=a
D. |a|=a(a≥0)
5. 关于x的一元二次方程x2−mx−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 不能确定
6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是( )
A. B. C. D.
7. 计算(−3a2b)4的结果正确的是( )
A. −12a8b4
B. 12a8b4
C. 81a8b4
D. 81a6b8
8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，
∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB=7，BC=10，则EF的长
为( )
A. 4
B. 3
C. 6
D. 5
9. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连
接CO，AD，∠BAD=20°.下列说法正确的是( )
A. AD=2OB
B. CE=EO
C. ∠OCE=40°
D. ∠BOC=2∠BAD
10. 如图：等边三角形ABC中，AB=1，E、F分别是边AB、AC
上的动点，且CF=2BE，则BF+2CE的最小值为( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 5−1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=110°，则∠B=
．
12. 分解因式：yx2−y=______．
13. 二次函数y=−3x2−2的最大值为______ ．
14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=15
，则
8
AB=．
15. 若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是
．
16.
如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=23，点E、F分别是线
段AD，BC上的动点，且AE=CF，过D作EF的垂线，垂足为H．
(1)当AE=3−1时，∠BFE=______ °.
(2)当E在AD上运动时，CH的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 解方程组：{x+2y=7
3x+4y=17．
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF.求证：△ADF≌△BCE．
19. (本小题6.0分)
我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
(1)请将条形统计图补全；
(2)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有12
来自八年级，其他同学均来自九年级.现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．20. (本小题6.0分)
已知一个等腰三角形的底边长a ，底边上的高长b ．
(1)求作等腰三角形ABC ，底边上的高为AD(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.)
(2)若∠BAD =30°，则AB 的长为______ ．
21. (本小题8.0分)
某工程队接到了修建3000米道路的施工任务，修到一半的时候，由于采用新的施工技术，修建效率提高为原来的1.5倍，结果提前5天完成了施工任务，问原来每天修多少米道路？
将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=k
的图象
x
与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
(1)求m和k的值；
(2)结合图象求不等式3x+m>k
的解集．
x
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点C是二次函数y=mx2+4mx+4m+1的图象的顶点，一次函数
y=x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)请你求出点A、B、C的坐标；
(2)若二次函数y=mx2+4mx+4m+1与线段AB恰
有一个公共点，求m的取值范围．
24. (本小题12.0分)
如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
(1)求证：四边形OCED是正方形；
(2)连接AE，若AB=6cm．
①求sin∠EAD的值；
②以BC为直径作⊙P，点M为⊙P上的动点，过点M作直线AC的垂线，垂足为Q，求2MQ+AQ
的最小值．
经过点A(p,q)、M(p−q,t)、N(q−p,t)的抛物线G：y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，其中p≠q且p<0．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AO，作OB⊥OA，交抛物线于点B．
①若p=−1，求AB的长；
②求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−12的相反数是12
，
故选：B ．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2.【答案】D
【解析】解：由题意，选项B ，C 可以通过轴对称得到．
选项A ，其中△ABC 绕点A 逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，
选项D ，其中△ABC 绕点A 逆时针旋转60°可以得到△AB′C′．
故选：D ．
根据轴对称，旋转的概念判断即可．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握相关定义是解题的关键．
【解答】
解：平均数为(7+5+3+5+10)÷5=6；
方差为15
×[(7−6)2+(5−6)2×2+(3−6)2+(10−6)2]=5.6；
数据中5出现2次，所以众数为5；
数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
故选：D ． 4.【答案】D
【解析】解：A、3a+b
6
无法化简，故此选项错误；
B、2×a+b
3=2a+2b
3
，故此选项错误；
C、a2=|a|，故此选项错误；
D、|a|=a(a≥0)，正确．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
先计算根的判别式，再确定根的判别式与0的关系，最后得出结论．
本题考查了根的判别式，利用完全平方式的非负性确定根的判别式与0的关系是解决本题的关键．【解答】
解：Δ=(−m)2−4×1×(−1)
=m2+4
∵m2≥0，
∴Δ=m2+4>0．
∴关于x的一元二次方程x2−mx−1=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
本题考查了作图−基本作图：作已知角的角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【解答】
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线即可找到三角形的内心．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：(−3a2b)4=(−3)4⋅(a2)4⋅b4=81a8b4．
故选：C．
根据积的乘方与幂的乘方计算．
本题考查积的乘方与幂的乘方的性质．
8.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=14−10=4．
故选：A．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则
∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，关键是解题技巧的掌握．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．先根据垂径定理得到BC=BD，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
【解答】
解：∵AB=2OB，且AB>AD，
∴AD≠2OB，故A项错误；
∵AB ⊥CD ，∴BC =BD ，CE =DE ，故B 项错误；
∴∠BOC =2∠BAD =40°，故D 项正确；
∴∠OCE =90°−40°=50°，故C 项错误．
故选D ．
10.【答案】C
【解析】解：如图，取BC 、CF 的中点D 、G ，连接AD 、
DG ，
∴CD =12BC ，CG =FG =12CF ，DG =12BF ，
BF +2CE =2(12BF +CE)=2(DG +CE)，
∴BF +2CE 的最小值转化为求DG +CE 的最小值，
在等边三角形ABC 中，AB =1，
∴AB =BC =AC =1，∠BAC =60°，
∴CD =12
，∠CAD =30°，
∵CF =2BE ，
∴BE =CG ，
∴AE =AG ；
过A 作AM ⊥AC ，且AM =AD ，连接ME 、CE ，
则∠MAE =90°−∠BAC =30°=∠CAD ，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME =DG ，
∴DG +CE =ME +CE ，
∴当点E 在线段CM 上时，ME +CE 取得最小值，
且最小值为线段CM 的长，
∴AM =AD = AC 2−CD 2= 32
，在Rt △AMC 中，由勾股定理得：CM = AM 2+AC 2= ( 32)2+12=
72
，∴BF +2CE 的最小值=DG +CE =ME +CE =2× 72= 7．
故选：C ．
取BC 、CF 的中点D 、G ，连接AD 、DG ，则可得DG =17BF ，BF +2CE =2(12
BF +CE)=2(DG +CE)，因此转而求DG +CE 的最小值；过A 作AM ⊥AC ，且AM =AD ，连接ME 、CE ，可证明△AME≌△ADG ，则有ME =DG ，进而转化为求ME +CE 的最小值，当点E 在线段CM 上时，取得最小值，在Rt △AMC 中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF +2CE 的最小值．
本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求BF +2CE 的最小值转化为求DG +CE 的最小值，进而转化为求ME +CE 的最小值，是本题的难点与关键所在．
11.【答案】70°
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．
根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵AD//BC ，
∴∠A +∠B =180°，
又∵∠A =110°，
∴∠B =70°，
故答案为：70°．
12.【答案】y(x +1)(x−1)
【解析】解：原式=y(x 2−1)
=y(x +1)(x−1)．
故答案为：y(x +1)(x−1)．
先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a 2−b 2=(a +b)(a−b)是解题的关键．13.【答案】−2
【解析】解：在二次函数y=−3x2−2中顶点坐标为(0,−2)，
且a=−3<0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y=−3x2−2的最大值为−2．
故答案为−2．
根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，即可求出最大值．
本题考查二次函数的最值．
14.【答案】17
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=15
8
，BC=15，
∴15 AC =15
8
，解得AC=8，
根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=82+152=17．
故答案为17．
15.【答案】7
【解析】
【分析】
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
设圆锥的母线长为l，根据圆锥侧面积计算公式计算即可．
【解答】
解：设圆锥的母线长为l，
由题意得，14π=πl×2，
解得，l=7，
故答案为：7．
16.【答案】451
【解析】解：(1)过点F作FM⊥BC于M，如图，
则∠BME=∠EMF=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=2，BM=AE=3−1，
∵AE=CF，
∴CF=BM=3−1，
∴MF=BC−BM−CF=23−2(3−1)=2，∴.ME=MF，
∵FM⊥BC，
∠BFE=45°，
故答案为：45；
(2)连接BD交EF于点O，如图，
由矩形性质知：AD//CB，AD=BC=23，
∴∠DEF=∠BFE，AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF，
∴∠EOD=∠FOB，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
由勾股定理得BD=AB2+AD2=4，
∴OD=12，BD=2，
∵DH⊥EF，设OD的中点为M，
∴MH=2，
即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，由于点E在AD边上运动，∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小，
∵AC=BD=4，cos∠ACD=CD
AC =4
4
=1，
即CH的最小值为1．
故答案为：1．
(1)过点F作FM⊥BC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF=EM，从而问题解决；
(2)连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得OD=12，BD=2，由DH⊥EF知，
MH=2，即点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值．
本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，确定出点H的运动路径是解题的关键与难点．
17.【答案】解：{x+2y=7①
3x+4y=17②，
①×2得：2x+4y=14③，
②−③得：x=3，
把x=3代入①得：3+2y=7，
解得：y=2，
∴原方程组的解为：{x=3
y=2．
【解析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∵在△ADF 与△BCE 中，
{
AD =BC ∠A =∠B AF =BE
∴△ADF≌△BCE(SAS)． 【解析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求得AF =BE ，本题属于基础题型．根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE ．
19.【答案】解：(1)调查的总人数为10÷25%=40(人)，
所以获一等奖的人数为40−8−6−12−10=4(人)，
条形统计图为：
(2)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有12
来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为2，所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率=212=16
． 【解析】(1)先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补全条形统计图；
(2)根据题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，再画树状图展示所
有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】a
【解析】解：(1)如图，先在射线BC上截取BC=a，再作BC的垂直平分线，垂足为D点，接着截取AD=b，
则△ABC为所作；
(2)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=a．
(1)先在射线BC上截取BC=a，再作BC的垂直平分线，垂足为D点，然后在垂直平分线上截取AD=b，则△ABC满足条件；
(2)根据等腰三角形的“三线合一”得到AD平分∠BAC，则∠BAC=60°，所以△ABC为等边三角形，从而得到AB=BC=a．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
21.【答案】解：设原来每天修建x米道路，则采用新的施工技术后每天修建1.5x米道路，
依题意得：3000×1 2
x −3000×
1
2
1.5x
=5，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天修100米道路．
【解析】设原来每天修建x米道路，则采用新的施工技术后每天修建1.5x米道路，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合结果提前5天完成了施工任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由平移得：y=3x+1−1=3x，
∴m=0，
当y=3时，3x=3，x=1，
∴A(1,3)，
∴k=1×3=3；
(2)画出直线y=3x和反比例函数y=3
x
的图象，如图所示，
由图象得：不等式3x+m>k
x
的解集为：−1<x<0或x>1．
【解析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则．(1)根据平移的原则得出m的值，并计算出点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入可以求k的值；
(2)画出两函数图象，根据交点坐标写出解集．
23.【答案】解：(1)y=mx2+4mx+4m+1=m(x+2)2+1，
∴抛物线顶点坐标为C(−2,1)，
对于y=x+4，令x=0，得到y=4；y=0，得到x=−4，
直线y=x+4与x轴、y轴交点坐标分别为A(−4,0)和B(0,4)；
(2)把x=−4代入抛物线解析式得：y=4m+1，
①当m>0时，y=4m+1>0，说明抛物线的对称轴左侧总与线段AB有交点，∴只需要抛物线右侧与线段AB无交点即可，
如图1所示，
只需要当x=0时，抛物线的函数值y=4m+1<4，即m<3
，
4
则当0<m<3
时，抛物线与线段AB只有一个交点；
4
②当m<0时，如图2所示，
只需y=4m+1≥0即可，
解得：−14
≤m <0，
综上，当0<m <34或−14≤m <0时，抛物线与线段AB 只有一个交点．
【解析】此题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
(1)抛物线解析式配方后，确定出顶点C 坐标，对于一次函数解析式，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B 坐标；
(2)分m >0与m <0两种情况求出m 的范围即可．24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC ⊥BD ，OC =OD ，
∴∠COD =90°，∠CDO =45°，
∵△COD 关于CD 的对称图形为△CED ，
∴CE =OC ，DE =OD ，∠CED =∠COD =90°，∠CDO =∠CDE =45°，
∴∠ODE =∠CDO +∠CDE =90°=∠COD =∠CED ，CE =OC =DE =OD ，
∴四边形OCED 是正方形；
(2)解：①如图，连接EO ，并延长交AB 于点F ，
∵四边形ABCD 是正方形，AB =6cm ，
∴CD =AB =6cm ，AB//CD ，AD//BC ，OA =OB ，AD ⊥AB ，
∵四边形OCED 是正方形，
∴OE =CD =6cm ，EF ⊥CD ，
∴EF ⊥AB ，
∴OF=AF=1
2
AB=3(cm)，AD//EF，
∴EF=OE+OF=9cm，∠EAD=∠AEF，
在Rt△AEF中，AE=AF2+EF2=32+92=310(cm)，
∴sin∠EAD=sin∠AEF=AF
AE =3
310
=10
10
；
②如图，过点B作BN⊥MQ于点N，连接BM，CM，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6cm，
∴BC=AB=6cm，BD=AC=2AB=62cm，OA=OB=OC=32cm，AC⊥BD，
∵MQ⊥AC，BN⊥MQ，
∴∠NQO=90°=∠BNQ=∠BOQ，
∴四边形OBNQ是矩形，
∴BN=OQ，NQ=OB=32cm，
设CQ=x cm，MQ=ycm，则BN=OQ=OC−CQ=(32−x)cm，MN=MQ−NQ=(y−32 )cm，AQ=OA+OQ=(62−x)cm，
∴2MQ+AQ=2y+62−x，
在Rt△CMQ中，CM2=CQ2+MQ2=x2+y2，
∵BC为⊙P的直径，
∴∠BMC=90°，
在Rt△BMC中，BM2=BC2−CM2，
在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2，
∴BC2−CM2=MN2+BN2，即62−(x2+y2)=(y−32)2+(32−x)2，
整理得：x2+y2−32x−32y=0，
设a =2y−x ，则x =2y−a ，
∴2MQ +AQ =a +6 2，
∴(2y−a )2+y 2−3 2(2y−a)−3 2y =0，
∴5y 2−(4a +9 2)y +a 2+3 2a =0，
∵这个关于y 的一元二次方程有实数根，
∴方程根的判别式[−(4a +9 2)]2−4×5(a 2+3 2a)≥0，即2a 2−6 2a−81≤0，
解方程2a 2−6 2a−81=0，得：a =3 2+6 52或a =3 2−6
52
，∴关于a 的不等式2a 2−6 2a−81≤0的解集为3 2−6 52≤a ≤3 2+6
52
，∴15 2−6 52≤a +6 2≤15 2+6 52，即15 2−6 52≤2MQ +AQ ≤15 2+6
52
，∴2MQ +AQ 的最小值为15 2−6 52
． 【解析】(1)由四边形ABCD 是正方形易得OC =OD ，∠COD =90°，∠CDO =45°，由轴对称图形的性质得CE =OC ，DE =OD ，∠CED =∠COD =90°，∠CDO =∠CDE =45°，于是
∠ODE =90°=∠COD =∠CED ，CE =OC =DE =OD ，以此即可证明四边形OCED 是正方形；
(2)①连接EO ，并延长交AB 于点F ，由正方形的性质得OE =CD =6cm ，EF ⊥CD ，于是可得EF ⊥AB ，则AD//EF ，由等腰直角三角形斜边上的中线性质得OF =AF =12
AB =3(cm)，依此求得EF =9cm ，由平行线的性质得∠EAD =∠AEF ，利用勾股定理求得AE =3 10(cm)，再根据正弦函数的定义即可求解；
②过点B 作BN ⊥MQ 于点N ，连接BM ，CM ，易得BC =AB =6cm ，BD =AC = 2AB =6 2cm ，OA =OB =OC =3 2cm ，易得∠NQO =90°=∠BNQ =∠BOQ ，则四边形OBNQ 是矩形，得到BN =OQ ，NQ =OB =3 2cm ，设CQ =x cm ，MQ =ycm ，则BN =OQ =(3 2−x)cm ，MN =(y−3 2)cm ，AQ =(6 2−x)cm ，于是2MQ +AQ =2y +6 2−x ，利用勾股定理得CM 2=CQ 2+MQ 2=x 2+y 2，由圆周角定理可得∠BMC =90°，利用双勾股定理得BC 2−CM 2=MN 2+B N 2，得到x 2+y 2−3 2x−3 2y =0，设a =2y−x ，则x =2y−a ，于是2MQ +AQ =a +6 2，(2y−a )2+y 2−3 2(2y−a)−3 2y =0，整理得5y 2−(4a +9 2)y +a 2+3 2a =0，利用根的
判别式得到2a 2−6 2a−81≤0，解得3 2−6 52≤a ≤3 2+6 52，则15 2−6 52
≤a +6 2≤15 2+6 52，以此即可得2MQ +AQ 的最小值．
本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、二
次函数的性质等知识，解题关键是：(1)熟练掌握正方形和轴对称的性质；(2)①正确作出辅助线，利用平行线的性质将∠EAD转化为∠AEF；②将几何问题转化为代数问题．
25.【答案】(1)解：∵M(p−q,t)、N(q−p,t)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∴b=0，
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴−4c=0，
解得c=0，
∴抛物线的解析式为y=x2；
(2)①解：当p=−1时，A(−1,1)，
∵OA与y轴的夹角为45°，
∵OA⊥OB，
∴OB与x轴的夹角为45°，
∴A点与B点关于y轴对称，
∴B(1,1)，
∴AB=2；
②证明：设直线AB的解析式为y=kx+m，
当kx+m=x2时，x A⋅x B=−m，
过A点作AM⊥x轴交于M点，过B点作BN⊥x轴交
于N点，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠OAG=90°，
∴∠BOH=∠OAG，
∴△AOG∽△OBH，
∴AG OH =OG
BH
，
∴y A⋅y B=−x A⋅x B，∴x A⋅x B=−1=−m，
∴m=1，
∴直线AB的解析式为y=kx+1，
∴直线AB经过定点(0,1)．
【解析】(1)根据M、N点坐标的特点，可知对称轴为y轴，则b=0，再由抛物线与x轴只有一个公共点，求出c=0；
(2)①根据题意可到A点与B点关于y轴对称，求出B点坐标即可求AB的长；
②设直线AB的解析式为y=kx+m，当kx+m=x2时，x A⋅x B=−m，过A点作AM⊥x轴交于M 点，过B点作BN⊥x轴交于N点，证明△AOG∽△OBH，可得x A⋅x B=−1=−m，求出m=1，从而得到直线AB的解析式为y=kx+1，所以直线AB经过定点(0,1)．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．。