高中数学知识框架思维导图(整理版)

4
2
2
|→
a |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2
概念
模
线性运算
加、减、数乘
几何意义
平面向量基本定理：⃗ = 1 ⃗1 + 2 ⃗2 ，⃗1 、⃗2 不共线
坐标表示
平面向量
→
几何意义
数量积
⃗ ∙ ⃗⃗ ＝|⃗||⃗⃗|cosθ
→
→
a·b
b 在→
a 方向上的投影为|→
b |cos＝——

2
离心率： = = √1 ± () .
21±co源自 抛物线 2 = 2的焦半径公式：|| = 0 + =
关于点(a，b)对称 点(2a－x ，2b－y )
点(x1，y1) ───────→
1
1
中心对称
关于点(a，b)对称 曲线 f (2a－x，2b－y)=0
曲线 f (x，y)=0 ───────→
概念
表示
通项公式、递推公式
＝1 +
(−1)
2
等差数列与等比数列性质的类比
列表法

通项公式
等差数列
求和公式
等比数列
性质
an≠0，q≠0
数列
图象法
na1，q＝1
n
Sn＝a1(1－q )
，q≠1
1－q
常见递推类型及方法
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d
an＝a1qn 1
弦长公式
|| = 2√2 − 2 .
相离、外切 = + 、相交、内切 = − 、包含.（ ≥ )）
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
椭圆
定义及标准方程
圆锥曲线
双曲线
性质
抛物线
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）
、短轴（虚
轴）
、渐近线（双曲线）
、准线（只要求抛物线）
－
an＝amqn m
an＋am＝ap＋ar
anam＝apar
－
前 n 项积(an＞0)
Tn＝ (a1an)n
前 n 项和
判定
=
(1 + )
2
①an＋1－an＝f (n)
累加法、化常数列
an + 1
＝f (n)
an
累乘法、化常数列
②
q
构造等比数列{an＋
}
p－1
③an＋1＝pan＋q
④pan＋1an＝an－an＋1
→
投影
|a|
→
→
a·b
设→
a 与→
b 夹角，则 cos＝——
→ →
夹角公式
| a |·| b |
共线（平行）
→
a ∥→
b →
b ＝→
a x1y2－x2y1=0
垂直
→
a ⊥→
b →
a ·→
b ＝0 x1x2＋y1y2=0
共线与垂直
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．
1.三角形中线的向量表示：∆中边的中点为 ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
与 的关系
1 ，
= 1，
= {
− −1 ， ≥ 2．
构造等差数列
an＋1 p an
= · ＋1 转为③
qn q qn－1
⑤an + 1＝pan＋qn
化为
公式法：应用等差、等比数列的前 n 项和公式
倒序相加法
常见求和方法
裂项求和法:
1. (2
−

1
1


= −
| Ax0＋By0＋C |
点到线的距离：d＝
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
两圆的位置关系
| C1－C2 |
，平行线间距离：d＝
A2＋B2
阿波罗尼斯圆：满足|| = ||( ≠ 1)的点的轨迹
圆的一般方程
圆的方程
A2＋B2
相离
＜0，或 d＞r
相切
＝0，或 d＝r
相交
＞0，或 d＜r
2 : 2 + 2 + 2 = 0.
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
注意：截距可正、
可负，也可为 0.
2 −1
注意各种形式的转化和运用范围.
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
距离
一般式：Ax＋By＋C＝0
两点间的距离公式|1 2 | = √(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 ．
垂线，它们围成的矩形
面积=|z|
1 : = 1 + 1 .
2 : = 2 + 2 .
A1A2＋B1B2＝0
平行：1 = 2 ，1 ≠ 2
垂直：1 ∙ 2 = −1
斜截式：y＝kx＋b
y－y1 x－x1
＝
y2－y1 x2－x1
直线方程的形式
两点式：
2 −1
1 : 1 + 1 + 1 = 0.
2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性
奇偶性
具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；
奇函数()在 x＝0 处有定义→f (0)＝0；偶函数 f (x)＝f (|x|)
周期性
f (x+T)＝f (T)；对称性与周期性的“知二求一”
函数
性质
图象法
使解析式有意义或有实际意义
定义域
三要素
应用题
z＝(x-a)(y-b)：构造面积
不等式
和定值，积最大；积定值，和最小
应用时注意：一正二定三相等
最值问题
基本不等式：
a＋b
ab≤
2
a＋b
2ab
≤ ab≤
≤
2
a＋b
变形
a2＋b2
2
|| − || ≤ | ± | ≤ || + ||
绝对值三角不等式
(2 + 2 )( 2 + 2 )≥ ( + )2 ， = 时等号成立
柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan ， =
倾斜角和斜率
重合
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
平行
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
相交
A1B2－A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义：
过可行域内一点（, ）
向直线 = ， = 作
cos
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
和角、差角公式，辅助角公式（sin ± cos）
二倍角公式，降幂公式（cos2 α =
1+cos2α
2
, sin2 α =
1−cos2α
2
定义域
三角函数的
图象与性质
正弦函数 y＝sin x
=
奇偶性
余弦函数 y＝cos x
单调性
周期性
正切函数 y＝tan x
对称性
y＝Asin(x＋)＋b
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
值域
图象
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正

切函数的对称中心为( ，0)（k∈Z）.
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
函数图象
及其变换
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
3
点与面
点在平面内，或点在平面外
4
球： = 3
3
相交
只有一个公共点
共面直线
平行
线与线
异面直线
平行
空间点、
线、面的
位置关系
没有公共点
没有公共点
直线在平面外
导数的概念
几何意义、物理意义
求导公式
① ′ = 0，②( )′ = −1 ，③(sin )′ = cos ，④(cos )′ = − sin ，
1
1
⑤( )′ = ，⑥( )′ = ln ，⑦(ln )′ = ，⑧(log )′ =
基本初等函数的导数
正棱柱、长方体、正方体
圆柱
三视图：长对正、高平齐、宽相等
棱台
空间几何体
台体
棱锥
锥体
直观图： = 2√2′
圆台
侧面积、表面积
三棱锥、四面体、正四面体
体积
圆锥
球
外接球球心的定位
柱体： = ℎ
1
锥体： = ℎ
3
点与线
点在直线上，或点在直线外
1
台体： = ( + ′ + √ ′ )ℎ
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1
− (+2)2 )
= (−1) (
1
2−1
+
错位相加法: = ( + )−1 → = ( + ) −
集合
非空真子集的个数是2 − 2．(，)
运算：交集( ∩ )、并集( ∪ )、补集( )
映射
数轴、Venn 图、函数图象
: → ：一对一，或多对一
定义
列表法
表示
对应关系
值域
求解析式：换元法、代入法、凑配法、构造方程组法
注意应用函数的单调性求值域
单调性
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；
+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 2
两个常用小结论
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2不共线，若
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + (1 − )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 ，则1 ，，2 三点共线．
2.已知
第三部分
数列与不等式
数列是特殊的函数、增减性、周期性
解析法：an＝f (n)

求导法则
①[() ± g()]′ = ′() ± g′()；②[() ∙ g()]′ = ′()g() + ()g′()；
导数的运算法则
导数
ln
()
③[
g()
]′ =
′()g()−()g′()
g2 ()
；④复合函数 = ( + )的导数： ′ = ′ ∙ ′
1
2+1
).
比较法
不等式的性质
借助二次函数的图象
一元二次不等式
三个二次的关系
z 的几何意义：
z 是直线 ax＋by－z＝0
在 x 轴上截距的 a 倍，
在 y 轴上截距的 b 倍.
z＝ax＋by：构造截距
可行域
y－b
：构造斜率
x－a
z＝
简单的线性规划
目标函数
z＝ (x－a)2＋(y－b)2：构造距离
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）
；
(2k＋1)－2
k－
2
④最小正周期 T＝
；⑤对称轴 x＝
，对称中心为(
，b)（k∈Z）；
||
2


⑥若 y＝Asin(x＋)具有奇偶性，则 = 或 = + （二者必居其一）.
2
正弦定理：

sin
=

sin
高考数学知识框架思维导图
第一部分
概念
集合、映射、函数、导数及微积分
元素与集合之间的关系：∈，∉
确定性、互异性、无序性
性质
含有个元素的集合的子集个数是2 ，真子
集个数是2 − 1，非空子集个数为2 − 1，
集合的分类
有限集、无限集、空集（）
集合的表示
列举法、描述法、图示法
集合间的关系
子集、相等、真子集：⊆ ， ⊇ ， = ， ⫋，⫌
切线方程： − (0 ) = ′(0 )( − 0 )
导数的正负与单调性的关系
单调性
导数的应用
极值
生活中的优化问题
最值
三次函数的性质、图象与应用
定积分与微积分

微积分基本定理：∫ () d = ()| = () − ()
定积分与图形的计算
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
解析法
对称性
1、f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为 =
+
2
+
2、f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(
最值
2
一次、二次函数、反比例函数、双勾函数
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
复合函数的单调性：同增异减
抽象函数
赋值法、典型的函数模型
函数的应用
图象、性质
和应用
分段探究，整体考察
对称性问题
y1＋y2
2
A·x1＋x
＋B·
＋C＝0
2
2
y2－y1 A
x2－x1·(－B)＝－1
点(x1，y1)与点(x2，y2)关于
直线 Ax＋By＋C＝0 对称
轴对称
特殊对称轴
x±y＋C＝0
第五部分
棱柱
柱体
直接代入法
立体几何
三视图还原几何体的步骤：1.选一个视图扩充
成几何体；2.对照三视图删点补点，再连线
任意角的三角函数的定义
三角函数
1
弧长公式 = 、扇形面积公式 =
弧度制:π = 180°
2
π
0 < < 时，sin < < tan
三角函数线
2
同角三角函数的关系sin2 + cos2 = 1, sin ＝tanα
同角三角函数的关系:
公式的变形、逆用、
“1”的替换
=

sin
= 2
解三角形，解的个数的讨论
余弦定理：2 = 2 + 2 − 2cos
解三角形
面积
实际应用
a＋b＋c
1
1
S△＝ ah＝ absinC＝ p(p－a)(p－b)(p－c)（其中 p＝
）
2
2
2
1
1
= = ( + + ) = |2 1 − 1 2 |