北京交通大学大学物理第十三章 热力学习题

基本概念和规律
1 .理想气体的状态方程.
M pV = RT M mol R=8⋅31 J·mol-1·K -1 或 p = nkT
称为普适气体恒量；
n为分子数密度。 2 . 理想气体的压强公式
2 p= 3 2 ⎛1 2 ⎞ n⎜ m v ⎟ = nε ⎝2 ⎠ 3
3 . 理想气体的温度公式
压强和温度 的统计意义
7 .掌握准静态过程中功、热量、内能诸概念. 8 .掌握热力学第一定律,并能熟练地运用它计算 理想气体在等值过程和绝热过程中的功、热量、内 能变化量. 9 .明确循环的概念,理解热机循环和致冷机循环 中的能量转换关系;掌握卡诺机正循环效率和卡诺 机逆循环致冷系数的计算;会计算一般热机效率. 10 .理解热力学第二定律的两种表述及其等价性;了 解热力学第二定律的统计意义. 11 .理解可逆过程和不可逆过程;理解宏观实际过程 的不可逆性;了解热力学概率与实际过程进行方向的 关系. 12 .了解熵的概念.了解玻尔兹曼熵公式及熵增加原 理;理解克劳修斯熵公式的意义,并用来计算熵变.
i CV = R 2
C
p
i+2 = R 2
比热容比: γ = C V
Cp
理想气体的等值过程、绝热过程和多方过程公式
过程 特征 过程方程 等体V=常量 等压p=常量 等温T=常量
p = 常量 T V = 常量 T
pV = 常量 pV γ = 常量
吸收热量
M CV (T2 − T1 ) M mol M C p (T2 − T1 ) M mol
绝热 dQ=0 V γ −1T = 常量
p T
γ −1
−γ
= 常量
0
M CV (T2 − T1 ) M M mol CV (T2 − T1 ) M mol p1V1 − p2V2 或 γ −1 −
多方
pV n = 常量
A+ΔΕ
p1V1 − p 2V2 n −1
M CV (T2 − T1 ) M mol
12.循环过程 热机效率 致冷系数 热机效率: 致冷系数:
A Q2 η = = 1− Q1 Q1
Q2 Q2 w = = A Q1 − Q2
Q1 = Q 2 + A
13.卡诺循环
T ηc = 1 − 2 T1
p a
T2 wc = T1 − T2
0
T1
b
1 η= w +1
d T2 c
V
热力学第一定律的应用是重点，请同学们熟练掌握。
( 8)图中v0将速率分布曲线下的面积分为 相等的两部分,试说明v0的意义.
0
v0
v
答：速率大于v0的分子数=速率小于v0的分子数
(9)气体处于某一平衡态时,气体中某一分子速率 在v-v+Δv之间的概率与什么有关?
⎛ m ⎞ f (v ) = 4π ⎜ ⎟ 答： ⎝ 2πkT ⎠
3/ 2
mv 2 2 exp(− )v 2kT
宠宠理想气体的等值过程绝热过程和多方过程公式理想气体的等值过程绝热过程和多方过程公式vv常量常量等压等压pp常量常量rtmmol过程过程特征特征过程方程过程方程吸收热量吸收热量对外做功对外做功内能增量内能增量等体等体常量tvmmol等温等温tt常量常量绝热绝热dqdq00多方多方p常量t常量pv常量pv常量常量?tv??tp11常量npv12ttc?0mmvmol12ttcmmvmol?12ttcmmvmol?12ttcmmvmol?12ttcmmvmol?12ttc?mp12ttr?12vvp?或mmmol211p2lnlnprtmmvvmmol或211p2lnlnprtmmvvrtmmmolmol或00112ttc2211vpvp????mmvmol或aa12211vpvp??n12
14.热力学第二定律 开尔文表述 克劳修斯表述
一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，而
且各种不可逆过程是相互关联的。 自发的方向
微观粒子热运动无序度小 包含微观状态数少的态 热力学几率小的态 熵小的态 能量品质高 微观粒子热运动无序度大 包含微观状态数多的态 热力学几率大的态 熵大的态 能量品质低
⎛ m ⎞ f (v ) = 4π ⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠
3/ 2
f(v)
mv 2 2 exp(− )v 2kT
速率分布 曲线：
0
v
7 .三种速率 最概然速率 平均速率
v
p
=
∞
2 kT m
=
2 RT M mol
v =
∫
0
vf ( v )d v =
∞
8 kT = πm
1/ 2
8 RT π M mol
答：否。不受外界影响条件下，一个系统的宏 观性质不随时间而变
(2)什么叫准静态过程?气体绝热自由膨胀是不是?
答：否。
2 .关于速率分布函数,说明各式的意义:
(1) f (v )dv = dN / N ( 2) Nf (v )dv = dN
(4)∫ f (v )dv = 1
0
∞
( 5)
dN N
∫
0
∞
k=R/N0=1⋅38×10 -23 J·K -1 称为玻尔兹曼恒量；
1 3 2 ε = m v = kT 2 2
4 .能量按自由度均分原理. 物质分子每个自由度平均动能为: 5 .理想气体内能 其中 i=t+r+2s,
1 kT 2
M i E= RT = νCV RT Mm 2
而t、r、s分别为分子的平动、转动、振动自由度。 6 .麦克斯韦速率分布定律 dN/N=f(v)dv.
3 kT = m 3 RT M mol
及 它 们 的 用 途
方均根速率
v 2 = ⎛ ∫ v 2 f ( v )d v ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
=
三 个 速 率 的 物 理 意 义
8 .气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
2 平均碰撞频率 Z = 2π d n v 1 λ = 平均自由程 2
2π d n
理想气体的熵变
T V S − S 0 = ν CV ln + νR ln T0 V0
T P S − S 0 = ν C P ln − νR ln T0 P0 大系统的熵变等于各子系统熵变之和
课堂讨论题
1 .关于平衡态和准静态. ( 1)什么叫平衡态?如图所示，将金属棒一端插入盛有冰水 混合物的容器，另一端与沸水接触，当金属棒各处温度稳定时, 它是否处于平衡态? 100 º C 0ºC
答：可逆绝热过程 熵变为零！
答：注意两个式子的物理涵义
′ S 2 − S1 =
∫
2′
1 可逆
dQ Q T T
S2 − S1 >
∫
dQ T
不可逆
经过不同的过程到达是两个不同的末 态！
理解熵是态函数！
P 1
ΔS > 0
ΔS ′ = 0
2(P,V2,T) 2' (P',V2,T') V V2
当气体从V1膨胀到V2,经 过可逆的绝热过程和经 过不可逆绝热过程到达 的末态是不同的！
对外做功 0
内能增量
M CV (T2 − T1 ) M mol
M V RT ln 2 或 M mol V1 M p RT ln 1 M mol p2
p (V2 − V1 )或 M C (T − T ) M R (T2 − T1 ) M mol V 2 1 M mol M V RT ln 2 或 M mol V1 0 M p RT ln 1 M mol p2
(7)不可逆过程是外界有变化的过程.错！ (8)不可逆过程一定找不到另一过程使系统和外界同时复原.对！ (9)一切与热现象有关的实际过程是不可逆的.对！
6 .关于热力学第二定律的讨论：
指出下列说法的对错,并说明理由: (1)热量不能从低温物体向高温物体传递. 错！ (2)一切热机的效率都只能小于一. 对！ (3)功可以完全变为热量,而热量不能完全变为功.错！ (4)热量从高温物体向低温物体传递是不可逆的. 对！ (5) 不可能从单一热源吸热使之全部变为有用的功.错！ (6)任何热机的效率都总是小于卡诺热机的效率.错！ (7)有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量,但无 规则运动的能量不能变为有规则运动的能量. 错！ (8)在一个孤立系统内,一切实际过程都向着状态概率增大 的方向进行. 对！
vp
Nf (v )dv
=
∫
∞
vp
dN
( 3) ∫ f ( v )dv = ∫v v1
v2
v2
1
∫ (7 ) ∫
v2
( 6) ∫
∞
v1 v2 v1
vf ( v )d v f ( v )d v
1 1 2 mv f ( v )dv = mv 2__
表示v1 ～v2分子速率的平均值
=
kT 2π d 2 p
9 .一摩尔真实气体的范氏方程.
a ( p + 2 )(V − b ) = RT V
a,b,的修正意义
10.热力学第一定律
Q = E
2
− E1 + A ,
dQ = dE + dA
热学中的能量守恒，是普适的！ 对于准静态过程：
d Q = d E + Pd V
11.摩尔热容 C = M mol d Q M dT 理想气体等容摩尔热容: 理想气体等压摩尔热容: 迈耶公式: C p = CV + R
教学要求
1 .掌握理想气体状态方程及其应用;理解平衡态,准 静态过程等概念. 2 .理解理想气体的压强及温度的微观本质.通过推导 压强公式从提出模型到建立宏观量与微观量的统计 平均值之间关系的统计方法. 3 .理解能量按自由度均分的原理.确切理解内能的概念. 4 .理解速率分布函数、麦克斯韦速率分布律及速率分 布曲线的物理意义;了解vp ,v, v 2的意义和计算. 5 .理解平均碰撞频率及平均自由程的概念. 6 .了解范德瓦尔斯方程中两个修正项的意义;了解气 体中三种输运过程的宏观规律及微观定性解释.
p
Ⅰ
Ⅱ
0
V1
V2
v
p
Ⅰ b a c Ⅱ V2 v
4 .图中状态Ⅰ、Ⅱ在一条绝热线ⅠaⅡ上, 则过程ⅠbⅡ 和ⅠcⅡ是吸热还是放热？摩 尔热容是正还是负？
答：过程ⅠbⅡ吸热、ⅠcⅡ放热.
0
V1
过程ⅠbⅡ摩尔热容为负； ⅠcⅡ摩尔热容为正。
5 .关于可逆过程与不可逆过程的讨论：
指出下列说法的对错,并说明理由: (1)可逆的热力学过程一定是准静态过程. 对！ (2)准静态过程一定是可逆的. 错！ (3)不可逆过程就是不能向反方向进行的过程. 错！ (4) 凡是有摩擦的过程一定是不可逆的. 对！ (5)一切自发的过程都是不可逆的. 对！ (6)不可逆过程是系统不能恢复到初状态的过程. 错！
7 .试分析: (1)在同一个P-V图上,一条绝热线和一条等温线能否有两 个交点? (2)在同一个P-V图上,两条绝热线能否相交?
P 1
等温
答（1）否！如图。该循环过程违背热力学第 二定律,因为它相当于从单一热源吸热,全部 绝热 用来对外作功,违背了热力学第二定律的开尔 文说法. 对于理想气体，此循环也违背热力 P 学第一定律。 1 (2)否！假设两条绝热线可以相交， 设计一条等温线，构成一个循环，如 图。同样也是违背热二律！
O
V1
连接不可逆绝热过程初终态的可逆过程是—— 可逆等温过程
课堂计算题
1 .为了计算简单,将N个分子组成的理想气体分子的速率分 布曲线简化为图示形状, 其中v0已知,求: (1) 速率分布函数最大值fm; (2) 0.5 v0 -2 v0速率区间内的分子数;; (3) N个分子的平均速率.;
解: (1)求速率分布函数的极大值fm
与温度、分子质量有关
(10)是否可以说具有某一速率的分子数有多少?是否可以说 分子速率正好等于最概然速率的分子占总分子数的百分比? 为什么?
答： 否！
3 .关于功和热量是过程量的讨论 一定量的理想气体从体积为V1 的初 状态Ⅰ变化体积为V2到末状态Ⅱ(如图), 则无论经过什么过程,.有: ( 1)系统必然对外作正功;错！ ( 2)系统必然从外界吸收热量;错！ ( 3)系统的内能一定增加; 对！ 以上三种说法哪个对,为什么?
f(v)
∫
∞
0
1 f (v)dv = ⋅4v0 ⋅ fm =1 2
fm
0
1 ∴ fm = 2v 0
v0 2v0 3v0 4v0 v
f(v)
f (v ) = v 2 2v0 0 ≤ v < v0 v 0 < v < 4v0
fm
0
2 v − 2 3v0 6v0
v0 2v03v0 4v0 v
(2) 0.5v0 --2v0 速率区间内的分子数:
绝热 绝热
2 V
等温
2 V
7 .关于熵增加原理的讨论： 指出下列说法的对错,并说明理由: (1)一杯开水放在空气中冷,水的熵减少了,这违背熵增加原理.
答：熵增原理：在孤立系中所进行的自然过程总是 沿着熵增大的方向进行。 开水不是孤立系统！
(2)计算不可逆过程的熵变,可以用可逆过程代替.那么绝热 过程的熵变可以用可逆绝热过程计算,因此熵变ΔS=0,这也违 背了熵增加原理. 解释 (3)任一绝热过程, 熵变ΔS=0. (4)任一可逆过程,熵变ΔS=0.
玻尔兹曼熵 S = k ln Ω 任一态下的熵，熵是态函数 克劳修斯熵 S 2 − S 1 ≥
∫
dQ T
（两平衡态之间的熵变）
15.熵的计算（平衡态下的熵）
熵是态函数
三 种 方 法
⇒ 设计一个连接初、终态的可逆过程 ⇒ 熵变与路径无关 计算熵作为状态参量的函数形式，然后将 初、终态的状态参量代入计算。
2v0 v 29 2 v ΔN = ∫ Nf (v)dv = ∫ N 2 dv + + ∫ N ( − 2 )dv = N 0.5v 0 0.5v 0 v0 3v0 6v0 48 2v0 2v0 v0
(3)N个分子的平均速率:
v =
∫
v0
0
v v 2 dv + 2v 0
∫
4v0
v0