高考数学第二轮复习 平面向量教学案

2011年高考其次轮专题复习（教学案）：平面对量
考纲指要：
重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共
线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：
1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向
量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。

3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面对量的基本定理。

4．平面对量的坐标表示。

5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何
意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：假如与的夹
角为900则称与垂直，记作⊥。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：
例1．已知二次函数f（x）＝x2－2x＋6，设向量a＝（sin x，2），b＝（2sin x，），
c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．当x∈[0，π]时，不等式f（a·b）>f（c·d）的解集为___________．解：a·b＝2sin2x＋1≥1， c·d＝cos2x＋1≥1，f（x）图象关于x＝1对称，
∴f（x）在（1，＋∞）内单调递增．
由f（a·b）>f（c·d）a·b>c·d，即2sin2x＋1>2cos2x＋1，
又∵x∈[0，π] ，∴x∈（）．故不等式的解集为（）．
例2．求函数的值域.
分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关学问求函数的值域。

解:由于，
所以构造向量,,则,而,
所以,得,
另一方面:由,得,
所以原函数的值域是.
点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。

类比一：已知，求的最值。

解：已知等式可化为，而，所以构造向量，则，从而最大值为42，最小值为8。

类比二：计算之值。

解：构造单位圆的内接正五边形ABCDE，使，，
，，，则可证
,从而原式=0
类比三：已知实数满足，求证：。

解：构造空间向量,即可。

复习智略：
例3．在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M
同时满足① , ②= = ③∥
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（, 0），已知∥ , ∥且·= 0.求四
边形PRQN面积S的最大值和最小值.
解：（1）设C ( x , y )， ,由①知,
G为△ABC的重心， G(,)
由②知M是△ABC的外心，M在x轴上
由③知M（，0），
由得
化简整理得：（x≠0 ）
（2）F（，0 ）恰为的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y = k ( x －)
由
设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1·x2 =
则| PQ | = ·= ·
=
RN⊥PQ,把k换成得 | RN | =
S =| PQ | · | RN |= =)
≥2 ，≥16≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号)
又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得≤ S ≤ 2
S max = 2 ， S min =
检测评估：
1．设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。

上述命题中，假命题个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则
=（） A。

B。

C。

D。

3．设点O(0,0)、A(1,0)、B（0,1），点P是AB上的一个动点，，若，则实数的取值范围是（）
(A). (B). (C). (D).
4．已知双曲线的左右两焦点分别为，是双曲线右支上的一点，点满足，在上的投影的大小恰为，且它们的夹角为，则等于
A． B． C． D．
5．已知向量，当时，求的集合（）A。

B。

C。

D。

6．已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，则的取值范围是
7．设且，则的最小值等于
8．已知点O为所在平面内的肯定点，其中点A、B、C不共线，动点P满足，其中。

则________-（填空内心、外心、垂心、重心之一）。

9．已知，其中。

若与（）的长度相等，则= 。

10,设平面上的向量满足关系,,又设与的模为1,且相互
垂直,则与的夹角为 .
11．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：
①且＝＋；②且＝．
（1）求及的坐标；
（2）若四边形的面积是，求的表达式；
（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M成立？若存在，求M；
若不存在，说明理由．
12. 在平面直角坐标系中，已知向量
a
1 |动点P 同时满足下列三个条件：
（1）·
(3)动点P 的轨迹C 经过点B （0，-1）.
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量为m=(1,k)(k ≠0)的直线l ，l 与曲线C 相交于M 、N 两点，使|60°？若存在，求出k 值，并写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
点拨与全解：
1．解：向量是既有大小又有方向的量，与||模相同，但方向不肯定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种状况：一是同向二是反向，反向时=－||，故（2）、（3）也是假命题。

综上所述，答案选D 。

2．解：易知，所以。

故选B 。

3．解：因点，原不等式化为，又知，故选B 。

4．解：由于，所以是一对同向向量，且．
又由于在上的投影的大小恰为，所以．
在中，又，
所以，所以，故选A ．
5．解：由得，，故选B 。

6．解：∵ |a|=，|b|=3 ，a 与b 夹角为∴
而（a+b ）·（a+b ）=
要使向量a+b 与a+b 的夹角是锐角，则（a+b ）·（a+b ）>0
即 从而得
7．解：构造向量，则由得。

8．由已知等式得：，可证
，从而，所以动点P 有轨迹肯定经过的垂心。

9．解：，
，
所以，
，
由于，
所以，
有，
由于，故，
又由于，
所以。

10, 由已知解得,
由 可得的值.
11．解：（1）．
．
（2） ．
（3）
．
∴ ，，．，
，，等等．
即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切，都有＜M 成立．
12.(1)∵|
∴
由
由（1）、（2）可知点P到直线x=再由椭圆的其次定义可知，点P的轨迹是椭圆，椭圆C 的方程为：
由（3）可知b=1，∴a2=b2+c2=1+2=3. ∴椭圆C的方程为:y=
（2）设直线l的方程为:y=kx+m，
x1+x2=-
Δ=36k2m2-12(m2-1)(1+3k2)=12[3k2-m2+1]＞0 ①线段MN的中点G（x0,y0）， x0=
线段MN的垂直平分线的方程为：y-
∵|∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点，
∴-1-∴m=②
②代入①，得3k2-(③
∵|°，∴△BMN为等边三角形，
∴点B到直线MN的距离d=
|MN|=
=
∴
解得k2=③②，得m=
直线l的方程为：y=。