专题10 二次函数的应用-备战2022年中考数学题源解密(解析版)

专题10 二次函数的应用

考向二次函数的应用

【母题来源】（2021·浙江台州）

【母题题文】以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．

【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．

【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h1＝2h2，

∴v1＝v2，

∴t1：t2＝v1：v2＝：1，

故答案为：：1．

【母题来源】（2021·浙江金华）

【母题题文】某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．

（1）求雕塑高OA．

（2）求落水点C，D之间的距离．

（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离;

（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，

∴点A的坐标为（0，），

∴雕塑高m．

（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，

解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，

∴点D的坐标为（11，0），

∴OD＝11m．

∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,

∴OC＝OD＝11m，

∴CD＝OC+OD＝22m．

（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，

∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．

又∵≈1.83＞1.8，

∴顶部F不会碰到水柱．

【母题来源】（2021·浙江衢州）

【母题题文】如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求桥拱顶部O离水面的距离．

（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；（2）①由图像分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；

②根据题意，列式y2﹣y1利用二次函数的性质求最值．

【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．

将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，

∴y1＝x2，

当x＝12时，y1＝×122＝﹣6，

∴桥拱顶部离水面高度为6m．

（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，

∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1

②设彩带的长度为Lm，

则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，

∴当x＝4时，L最小值＝2，

答：彩带长度的最小值是2m．

【母题来源】（2021·浙江绍兴）

【母题题文】小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．

（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．

【分析】（1）运用待定系数法，由题意设顶点式y＝ax2+4，进而求得答案；

（2）由题意知：＝0.6，进而求得OD′＝10，再由题意得抛物线y＝x2+4过B′(x1,10),A′(x2,10),从而列方程求出x1和x2，进而求得A′B′的长．

【解答】解：（1）∵CO＝4，

∴顶点C(0，4)，

∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，

∵AB＝4，

∴AD＝DB＝2，

∵DO＝8，

∴A(﹣2，8)，B(2，8)，

将B(2，8)代入y＝ax2+4，

得：8＝a×22+4，

解得：a＝1，