指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)
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一颗麦粒的故事
从前，有一个国王特别喜爱围棋，于 是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的 一个心愿.围棋的发明者对国王说:
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内， 赏给我一颗麦粒，在第二个小格内给两粒， 第三格内给四粒…这样下去，每一小格内 都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满 棋盘上所有6４格的麦粒，都赏给您的仆 人吧！ ”
y
y=log2x y=log3x
1
Oห้องสมุดไป่ตู้
2
3
x
当x>1时，log 2 x log 3 x ？
a>1时，y=logax是增数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>0)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
y x x2
1
O
x
X>1时，x x x
3 2
1 2
n>0时，y=xn是增函数， 且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
“爱卿， 你所求的并 不多啊！”
思考：国王真的能够 满足围棋发明者的愿 望吗？
一、 指数函数、幂函数、对 数函数图像回顾
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
3
当x>0时， 3
x
y
2
x
y=3x
？
2
1
y=bx
O
1
x
a>1时，y=ax是增函数， 底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
而y=xn(n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存
在一个x0,当x> x0时,就会有 logax<ax<xn
。
小结:
特殊指、幂、对函数模型的增长性 认识了“指数爆炸”这种现象 一般幂、指、对函数模型的增长性 运用指、幂、对函数模型的增长性，分析 生活问题 一般幂、指、对函数模型的衰减性
基本初等函数增长型：直线上升,指 数爆炸，幂函数逐渐增长，对数函数缓 慢增长，当然常数函数无增长 !
2.对于P97例2选择模型 y 有更进一步的了解吗？ 3.使不等式
log
7
x 1
log
x x 1 成立的x的取值范围是 2
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
提示用几何画板画: y log 1 x
2
1 ，y ,y ( ) x 2
x
1 2
的图象
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,
900
1600 2500 3600
1.10E+12
y=x2
50 100
当自变量x越来越大时，可以
2 的图象就像与 X轴垂直一样， x 的值快速 2 增长， x 2比起 2 x来，几乎
看到，y
x
有些微不足道.
探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异 在区间(0,＋∞)上, 当a＞1,n＞0时,尽管这三个函数
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn (n>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？
答：都是单调递增
二.指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异 对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档 次 ”上。当x足够大时, 随着x的增大, y=ax的增长速度
越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度, 而
y=logax的增长速度则越来越慢. 因此, 总会存在一 个x0，使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
一颗麦粒的故事结局
练习 1. P101 P113 B 1
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快。
y 2x , y x 2 ,填写下表并在同一平面 研究函数 直角坐标系内画出这二个函数的图象.
x
y=2x
1 1024
y=x2
0 100 400
从上面图像发现什么？
1.13E+15
0 10
20 30 40 50 60
y=2x
1.05E+06
1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18
下面请同学用几何画板画出图象
思考:根据图象，不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x其中x>0，成立的x的取值范围 分别如何？
在(2,4), 有log2x<2x<x2， 在
0,2 4,
，有 log2x<x2<2x
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图象增长快慢
y y=2x
y=x2 y=log2x
1 o 1 2 4
xx
1 2
x
的图象比较
用几何画板再画 y log 2 x 和 y
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。 在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。
从前，有一个国王特别喜爱围棋，于 是他决定奖赏围棋的发明者，满足他的 一个心愿.围棋的发明者对国王说:
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内， 赏给我一颗麦粒，在第二个小格内给两粒， 第三格内给四粒…这样下去，每一小格内 都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满 棋盘上所有6４格的麦粒，都赏给您的仆 人吧！ ”
y
y=log2x y=log3x
1
Oห้องสมุดไป่ตู้
2
3
x
当x>1时，log 2 x log 3 x ？
a>1时，y=logax是增数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>0)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
y x x2
1
O
x
X>1时，x x x
3 2
1 2
n>0时，y=xn是增函数， 且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
“爱卿， 你所求的并 不多啊！”
思考：国王真的能够 满足围棋发明者的愿 望吗？
一、 指数函数、幂函数、对 数函数图像回顾
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
3
当x>0时， 3
x
y
2
x
y=3x
？
2
1
y=bx
O
1
x
a>1时，y=ax是增函数， 底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
而y=xn(n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存
在一个x0,当x> x0时,就会有 logax<ax<xn
。
小结:
特殊指、幂、对函数模型的增长性 认识了“指数爆炸”这种现象 一般幂、指、对函数模型的增长性 运用指、幂、对函数模型的增长性，分析 生活问题 一般幂、指、对函数模型的衰减性
基本初等函数增长型：直线上升,指 数爆炸，幂函数逐渐增长，对数函数缓 慢增长，当然常数函数无增长 !
2.对于P97例2选择模型 y 有更进一步的了解吗？ 3.使不等式
log
7
x 1
log
x x 1 成立的x的取值范围是 2
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
提示用几何画板画: y log 1 x
2
1 ，y ,y ( ) x 2
x
1 2
的图象
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,
900
1600 2500 3600
1.10E+12
y=x2
50 100
当自变量x越来越大时，可以
2 的图象就像与 X轴垂直一样， x 的值快速 2 增长， x 2比起 2 x来，几乎
看到，y
x
有些微不足道.
探究（二）：一般指、幂、对函数模型的差异 在区间(0,＋∞)上, 当a＞1,n＞0时,尽管这三个函数
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn (n>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？
答：都是单调递增
二.指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异 对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档 次 ”上。当x足够大时, 随着x的增大, y=ax的增长速度
越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度, 而
y=logax的增长速度则越来越慢. 因此, 总会存在一 个x0，使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
一颗麦粒的故事结局
练习 1. P101 P113 B 1
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快。
y 2x , y x 2 ,填写下表并在同一平面 研究函数 直角坐标系内画出这二个函数的图象.
x
y=2x
1 1024
y=x2
0 100 400
从上面图像发现什么？
1.13E+15
0 10
20 30 40 50 60
y=2x
1.05E+06
1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18
下面请同学用几何画板画出图象
思考:根据图象，不等式log2x<2x<x2和 log2x<x2<2x其中x>0，成立的x的取值范围 分别如何？
在(2,4), 有log2x<2x<x2， 在
0,2 4,
，有 log2x<x2<2x
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图象增长快慢
y y=2x
y=x2 y=log2x
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1 2
x
的图象比较
用几何画板再画 y log 2 x 和 y
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。 在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。