第十七章勾股定理单元同步检测试题2021-2022学年人教版八年级数学下册(word版 含答案)

第十七章《勾股定理》单元检测题
题号一二
三总分19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )
A.3,4,5
B.6,8,10
C.3，2，5
D.5,12,13
2.为迎接元的到来，同学们制作了许多美丽图案来布置教室，准备召开元旦晚会，刘旭同学搬来架长为2.5m的木梯，梯子顶端到墙根的距离为2.4m，则梯子的底端与墙根的距离应为( )
A.0.7m
B.0.8m
C.0.9m
D.1.0m
3如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
4.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系是( )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<a<b
D.c<b<a
5.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）
A.600米
B.800米
C.1000米
D.不能确定
6.如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1＝5.2米，L2＝6.2米，L3＝
7.8米，L4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）
A.L 1
B.L 2
C.L 3
D.L 4
7．如图，平面直角坐标系中，△OAB 的边OB 落在x 轴上，顶点A 落在第一象限．若
OA ＝AB ＝5，OB ＝8，则点A 的坐标是（ ）
A ．（8，5）
B ．（4，5）
C ．（4，3）
D ．（3，4）
8．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x +y ）2＝49，用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列选项中正确的是（ ）
A ．小正方形面积为4
B ．x 2+y 2＝5
C ．x 2﹣y 2＝7
D ．xy ＝24
9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A ．8
B ．12
C ．18
D ．20
10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB
5m B
C
A
D
图1
于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）
A．1 B．C．D．2
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．观察下列一组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤15，m，n．根据你发现的规律可得m+n＝．
12．在Rt△ABC中，AB＝n2+1，BC＝n2﹣1，AC＝2n，那么∠A+∠B＝度．13．某花园小区有一空地（如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB＝13m，BC＝10m，BC边上的中线AD＝12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要元．
14．四根小木棒的长度分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根可组成个三角形，其中有个直角三角形．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC和BC为边，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，则图中的阴影部分的面积是．
16．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M，N分别是BD，AC 的中点，且AC＝8，BD＝10，则MN＝．
17．△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D在直线AC上，AC＝2CD，则BD＝．18．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为12，直角三角形中短直角边a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为．
三、解答题(共46分)
19．(6分)有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC ＝24m，试求这块空白地的面积．
20．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A 处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．
21．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
22．(8分)甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米．如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
23．(8分)如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？
24．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．
（1）求PD的长度；
（2）连结PC，求PC的长度．
参考答案
一.选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C C B C C B D 二.填空题:
11．解：由题意得：第n组数为（2n+1），，，∴第1个数为15时，即相当于第7组数据，
∴m＝＝112，
n＝＝113，
m+n＝112+113＝225，
故答案为：225．
12．解：∵（n2+1）2＝n4+2n2+1，
（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠A+∠B＝90°．
13．解：∵AD是中线，AB＝13m，BC＝10m，
∴BD＝BC＝5m．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
∴S△ABC＝×AD×BC＝×10×12＝60（m2），
∵种植每平方米花草需要50元，
∴种植这块三角形空地需要：50×60＝3000（元）．
故答案为：3000．
14．解：∵5+8＞12，8+12＞13，5+8＝13（无法构成三角形），5+12＞13，∴可组成3个三角形，
∵52＝25，82＝64，122＝144，132＝169，
∴52+122＝169＝132，
所以可组成1个直角三角形，
故答案是：3，1．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC和BC为边，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，则图中的阴影部分的面积是8 ．
【分析】由勾股定理求出BC2+AC2＝AB2＝16，由等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可得出结果．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴BC2+AC2＝AB2＝16，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴图中的阴影部分的面积是BC2+AC2＝×16＝8．
故答案为：8．
16．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M，N分别是BD，AC 的中点，且AC＝8，BD＝10，则MN＝ 3 ．
【分析】连接AM、CM．根据∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，AM＝CM，三角形AMC为等腰三角形，又N是AC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可知MN⊥AC，AN＝CN，最后由勾股定理求出MN．
【解答】解：连接AM、CM．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，
∴AM＝BD，CM＝BD，
∴AM＝CM＝，
∵N分别是AC的中点，
∴MN⊥AC，AN＝CN＝AC＝，
∴在Rt△CMN中，由勾股定理得，
MN＝＝＝3．
故答案为3．
17．△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D在直线AC上，AC＝2CD，则BD＝或．
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的性质分两种情况画图即可求解．【解答】解：根据题意分①点D在线段AC上，
或点D在AC延长线上，两种情况，
如图：
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
①点D′在线段AC上，AC＝2CD′，
∴CD′＝AD′＝1，
在Rt△ABD′中，根据勾股定理，得
BD′＝＝＝；
②当点D″在AC延长线上时，
CD″＝1，
∴AD″＝3
在Rt△ABD″中，根据勾股定理，得
BD″＝＝＝．
故答案为或．
18．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为12，直角三角形中短直角边a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为23 ．
【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方12，也就是两条直角边的平方和是12，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab＝12﹣1＝11．根据完全平方公式即可求解．
【解答】解：根据题意，并结合勾股定理得：
大正方形的面积：a2+b2＝12，
四个直角三角形面积和为：S大正方形﹣S小正方形＝12﹣1＝11，
∴4×ab＝11，
∴2ab＝11，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12+11＝23．
故答案为23．
三.解答题:
19.解：解：连接AC，
在Rt△ACD中，
∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10米，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S空白＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．
答：这块空白地的面积是96米2．
20．解：此车超速，
理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA＝OP＝100≈173米，
∴AB＝OA﹣OB＝73米，
∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，
∴此车超速．
21．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB＝PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB＝＝80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
22．解：∵早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10：00时，OA＝8千米，OB＝6千米，
(3分)∴AB＝82＋62＝10(千米)＜12千米，(6分)∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．(8分)
23．解：如图，连接BD.(1分)∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52，即BD＝5m.在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，BD2＝52，∵122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°.(5分)故S四边形ABCD
＝S△BAD＋S△DBC＝1
2
·AD·AB＋
1
2
DB·BC＝
1
2
×4×3＋
1
2
×5×12＝36(m2)．(7分)∴学校
需投入的资金为36×200＝7200(元)．(9分) 答：学校需要投入7200元购买草皮．(10分) 24．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AD＝AB＝2，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAD＝∠BAC＝45°，
∴DP＝AD＝2；
（2）作PF⊥AC于F，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，
∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，
∴AF＝PF＝2，
∴FC＝AC﹣AF＝1，
在Rt△PFC中，PC＝＝．。