新人教版八年级数学下册期中复习课件

(2) 9 是二次根式，虽然 9 ＝3，但3不是二次根式．因 此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．
2．二次根式的性质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －a a （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含__分_母____； (2)被开方数中不含能_开_得__尽_方______的因数或因式．
＝ 3－1＋ 5－ 3＋ 7－ 5＋…＋ 2n＋1－ 2n－1
2
2
2
2
＝ 2n＋1－1. 2
第十七章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边
为 c，那么 a2＋b2＝____． 勾股数： 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称
为勾股数． 2．勾股定理的逆定理
4．二次根式的运算
a · b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a
___b_(a≥0，b>0)．
a b＝
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 _最_简_二__次_根_式______，再将再__将_被_开_方_数_相__同_______的二次根式进行 合并．
考点攻略
►考点一 二次根式的非负性
例1若实数x，y满足 x＋2 ＋(y－ 3 )2＝0，则xy的值是
新人教版八年级数学下册期中复习 课件
第十六章 二次根式
第十六章 过关测试
知识归纳
1．二次根式的概念
一般地，形如___a_(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非 负数．
(2) a是非负数，即 a≥0.
[易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否 则就没有意义；
∴x＝5，
∴原式＝4x＋2＝22.
在下列根式中，不是最简二次根式的是( B )
A. a2＋1
B . 0.1y
C.
2b 4
D. 2x＋1
1．计算 8－ 2的结果是( D ) A．6 B. 6 C．2 D. 2
2．下列二次根式化简后与 3的被开方数相同的是( C ) A. 9 B. 6 C. 12 D. 18
A．2a－b C．－b
图 16－2
B．b D．－2a＋b
化简： （1－ 2）2.
解：因为 1－
2＜0，所以
（1－
2）2＝1－
2
＝ 2－1.
1．下列计算正确的是( A ) A. 18－ 2＝2 2
B．(2－ 5)(2＋ 5)＝1
C.
27－ 3
12＝
9－
4＝1
6－ D. 2
2＝3
2
2．计算： 2÷ 13· 3. 解：原式＝ 2· 3· 3＝3 2.
易错方法点拨
1．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二
次根式．
2．在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式．
3．(a＋b)÷d＝(a＋b)·1＝a＋b，但 ddd
d÷(a＋b)≠d·
1＋1 ab
.
1． 实数 a，b 在数轴上的位置如图 16－2 所示，那么化 简|a－b|－ a2的结果是( B )
3．计算： 15÷
1＋ 3
15.
解：原式＝
15÷
3＋ 15
5＝
15×
15 5＋
＝ 3
15（ 5－ 3）
2
.
已知 x＝ 2014－2a＋ a－1007＋5，其中 a 是实数，
将式子
x＋1－ x＋1＋
x＋ x
x＋1＋ x＋1－
x化简并求值． x
解：原式＝（
（ x＋1－ x＋1＋ x）（
x）2 x＋1－
方法点拨 1．化简二次根式时注意 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)和 a＝
b a(a≥0，b>0) 的综合运用． b
2．整体代换或转化等数学思想的应用．
►考点四 二次根式的运算
例 4 计算下列各题：
3 (1)10
5ab 5 c ·3
2bac·－2
15abc；
(2)(1－ 3＋ 2)(1＋ 3－ 2)．
[2012·张 家 界 ] 已 知 (x － y ＋ 3)2 ＋ 2－y ＝ 0 ， 则 x ＋ y ＝ ___1_____．
下列二次根式不能进行合并的一组是( C )
A. 18与 2
B. 12与 75
C. x与 x
D. 1与 27 3
[2012·上海] 在下列各式中，二次根式 a－b的有理化因式
►考点三 二次根式的化简
例 3 设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 0.54，
则下列表示正确的是( C )
A．0.03ab
B．3ab
C．0.1ab3
D．0.1a3b
[解析] C
0.54＝
15040＝ 1504＝
190×6＝
32· 10
3·
2，
因为 2＝a， 3＝b，所以 0.54＝a1b03＝0.1ab3，故答案为 C.
【针对训练】
1．若 a，b 为实数，且满足│a－2│＋ －b2＝0，则 b－
a 的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
D．±2
2．化简： x－2－ 2－x＝___0_____．
下列二次根式中，与 27可以合并的是( B )
A. 18
B. 75
2 C. 27
1 D. 150
化简： 3－π2－ （ 2－ 3）2－π＋பைடு நூலகம்3. [答案] 2－3
5＋ 3
＝（
5＋
3）（ 5－ 5＋ 3
3）＝
5－
3.
(2)化简：
1＋ 3＋1
1 5＋
＋ 3
1 7＋
＋…＋ 5
1 2n＋1＋
2n－1.
解：原式＝
3－1
（ 3＋1）（ 3－1）
＋ （
5＋
5－ 3 3）（ 5－
＋ 3） （
7＋
7－ 5 5）（ 7－
5） ＋ … ＋
2n＋1－ 2n－1
（ 2n＋1＋ 2n－1）（ 2n＋1－ 2n－1）
例 1(1)四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在 北京召开，大会会标如图 17－1①，它是由四个相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是 5，求中间小正方形的面积．
(2)现有一张长为 6.5 cm，宽为 2 cm 的纸片，如图 17－1②， 请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形(要求：先在图 17－ 1②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)．
易混辨析 ( a)2与 a2的区别：(1)表示的意义不同.( a)2表示非负实数 a 的算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2) 运算的顺序不同.( a)2是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再 进行平方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平 方根．(3)取值范围不同．在( a)2中，a 只能取非负实数，即 a≥0； 而在 a2中，a 可以取一切实数． ( a)2与 a2的联系：仅当 a≥0 时，有( a)2＝ a2.
图 17－1
解：(1)设直角三角形的两条边分别为a，b(a＞b)，则依题
意有
a＋b＝5， a2＋b2＝13.
由此得ab＝6，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1，所
以a－b＝1，故中间小正方形的面积为1. (2)如图17－2：
图17－2
►考点二 相关勾股定理及其逆定理的几何计算
例 2 阅读下面材料，并解决问题： (1)如图 17－3①，等边三角形 ABC 内有一点 P，若点 P 到 顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则∠APB＝__1_50_°____， 由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将 △ABP 绕顶点 A 旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△A_BP_______， 这样就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一 个三角形中，从而求出∠APB 的度数．
图 17－4
方法技巧 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，则 AC2＋BC2＝AB2；反之在△ABC 中，若 AC2＋BC2＝AB2 ，则∠C＝90°.定理的作用：(1)已知直 角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边 的关系；(3)用于证明平方关系的问题．(4)判断一个三角形是否 为直角三角形和两条线是否垂直．
那么这两个命题称为互逆命题．如果一个叫原命题，那么另一个叫它的__________． 互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命结题论经过证明是__题__设______，那么它也是一个定理，称这
两个定理互为逆定理，其中一个定理为另一个定理的_____________．
逆命题
正确的
逆定理
考点攻略
►考点一 验证勾股定理
图 17－3
数学·人教版（RJ）
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已
知：如图 17－3②，△ABC 中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F 为 BC 上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2.
解：证明：如图 17－4，由于 AB＝AC，∠BAC＝90°，所以可 以将△ACF 绕点 A 旋转 90°，到△ABD 的位置，即过点 B 作 BD⊥BC，截取 BD＝FC，连接 DE，则△ADB≌△AFC. 又易证△ADE≌△AFE，所以 DE＝EF.在 Rt △DBE 中，由勾 股定理，得 DE2＝DB2＋BE2，所以 EF2＝BE2＋FC2.
________．
[解析]
因为
x＋2≥0，
（y－ 3）2≥0，
因此要使
x＋2 ＋(y－
3 )2
＝0成立，必须满足
x＋2＝0， y－ 3＝0，
解得
x＝－2， y＝ 3，
所以xy＝－2
3.
答案：－2 3
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
[解析] 两个以上的二次根式相乘与两个二次根式相乘的方法一样，把它们的系数、被开方数 分别相乘，根指数不变．
解：(1)原式＝(－130×53×2) 5acb·2bac·15abc ＝－ 5×2×15×abc＝－5 6abc. (2)原式＝[1－( 3－ 2)]·[1＋( 3－ 2)] ＝1－( 3－ 2)2 ＝1－( 3)2＋2· 3· 2－( 2)2 ＝1－3＋2 6－2＝2 6－4.
如果三角形的三边长分别为 a，b，c，满足_a_2＋__b_2_＝__c_2___， 那么这个三角形是直角三角形．
[作用] (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)判断三角形 的形状；(3)证明两条线段垂直；(4)实际应用．
3．互逆定理、互逆命题及其关系 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的_______和_______，
x）＋
（ x＋1＋ x）2
（ x＋1－ x）（ x＋1＋ x）
＝（（xx＋＋11－）－xx）2＋（（xx＋＋11＋）－xx）2
＝( x＋1－ x)2＋( x＋1＋ x)2
＝2(x＋1)＋2x＝4x＋2.
∵x＝ 2014－2a＋ a－1007＋5，
∴2014－2a≥0 且 a－1007≥0，解得 a＝1004.
数学·人教版（RJ）
►考点二 二次根式性质的运用
例2 如图16－1所示是实数a，b在数轴上的位置， 化简： a2－ b2－ （a－b）2.
图16－1
[解析] 解决此问题需要确定a，b及a－b的正负． 解：根据实数a，b在数轴上的位置可知a<0，b>0，所以 a－b<0，所以 a2－ b2－ （a－b）2＝|a|－b－|a－b|＝－a －b－[－(a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
2 5＋
＝___________________； 3
参照(四)式化简
2 5＋
＝___________________________. 3
解：
2 5＋
＝ 3（
2（ 5－ 5＋ 3）（
3） 5－
3）
＝ 2（ 5－ 3） ＝ （ 5）2－（ 3）2
5－
3，
2 ＝ 5－3 ＝（ 5）2－（ 3）2
5＋ 3 5＋ 3
是( C )
A. a＋b
B. a＋ b
C. a－b
D. a－ b
阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 3 ， 2， 2 5 3 3＋1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
3 ＝ 3× 5 ＝3 5；(一) 5 5× 5 5
2＝ 2×3＝ 6；(二) 3 3×3 3
2＝ 3＋1 （
2×（ 3－1） ＝2（ 3－1） ＝ 3＋1）（ 3－1） （ 3）2－12
3－1.(三)
以上这种化简的方法叫做分母有理化， 2 还可以用以下 3＋1
方法化简：
2 ＝ 3－1 ＝（ 3）2－12＝（ 3＋1）（ 3－1）
3＋1 3＋1
3＋1
3＋1
＝ 3－1.(四)
(1)参照(三)式化简