2019年最新高考数学(理科)一轮复习通用版：第七单元 平面向量

第七单元平面向量
教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过(对应学生用书P59)
1．若向量a与b不相等，则a与b一定()
A．有不相等的模B．不共线
C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量
解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．
2．关于平面向量，下列说法正确的是()
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．平面内的单位向量是唯一的
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量
D．共线向量就是相等向量
解析：选C对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.
3．下列命题中，正确的个数是()
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误．
综上，正确的命题个数是0.
[清易错]
1．对于平行向量易忽视两点：
(1)零向量与任一向量平行．
(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()
A．共线B．不共线
C．共线且同向D．不一定共线
解析：选D可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．
2．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a
|a|
＋
b
|b|
＝0成立的是()
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－1
3b D．a
⊥b
解析：选C“a
|a|＋b
|b|＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反
向”，故答案为C.
向量共线定理及平面向量基本定理
1．向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
2．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [小题速通]
1．已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→
＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥AC ―→，
设AB ―→＝m AC ―→
(m ≠0)，即λa ＋b ＝m a ＋mμb ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝m ，1＝mμ，∴λμ＝1. 2．(2018·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m
n 的值为( )
A ．－12
B.12 C ．－2
D ．2
解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧
λn ＝m ，－λ＝2，
故m
n ＝－2.
3．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→
＝( ) A.12AC ―→＋13AB ―→ B.12AC ―→＋16AB ―→
C.16AC ―→＋12AB ―→
D.16AC ―→＋32
AB ―→ 解析：选C 如图，
∵EC ―→＝2AE ―→，∴EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝16AC ―→＋
12AB ―→
.
[清易错]
1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的．这一点是易
忽视的．
1．(2018·大连双基测试)给出下列四个命题： ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ①错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；②正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，都有λa ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时a 与b 可以是任意向量．
2.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋yOB ―→，且BP ―→＝2PA ―→
，则( )
A ．x ＝23，y ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝3
4
D ．x ＝34，y ＝1
4
解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB
―→
＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→
，所以x ＝23，y ＝
13
.
平面向量的运算
1．向量的线性运算
向量运算
定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向
量和的运算
三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋
(b ＋c )
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向量的坐标运算
①向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，
|a |＝x 21＋y 2
1.
②向量坐标的求法
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB ―→
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [小题速通]
1．(2018·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 边的中点，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AM ―→
＝( )
A.1
2a －b B.1
2a ＋b C ．a －1
2
b
D ．a ＋1
2
b
解析：选A AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－CA ―→＋12CB ―→
＝－b ＋12a .
2．设D 是线段BC 的中点，且AB ―→＋AC ―→＝4AE ―→
，则( )
A ．AD ―→＝2AE ―→
B ．AD ―→＝4AE ―→
C ．A
D ―→＝2EA ―→
D ．AD ―→＝4EA ―→
解析：选A ∵D 是线段BC 的中点， ∴AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→， ∵AB ―→＋AC ―→＝4AE ―→， ∴AD ―→＝2AE ―→.
3．已知AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则AD ―→
＝( ) A ．(－1，－1) B ．(3,7) C ．(1,1)
D ．(2,4)
解析：选A 由题意可得AD ―→＝BC ―→＝AC ―→－AB ―→
＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 4．已知A (2,3)，B (4，－3)，且AP ―→＝3AB ―→
，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x ，y )，
∵A (2,3)，B (4，－3)，且AP ―→＝3AB ―→
， ∴(x －2，y －3)＝3(2，－6)＝(6，－18)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝6，y －3＝－18，
解得x ＝8，y ＝－15， ∴点P 的坐标为(8，－15)． 答案：(8，－15)
5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.
解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)， 因为向量c 与向量k a ＋b 共线，
所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1. 答案：－1
6．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→
＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．
解析：∵D 为AB 的中点，∴OA ―→＋OB ―→＝2OD ―→
， ∵OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→
＝0， ∴OC ―→＝－OD ―→， ∴O 是CD 的中点，
∴S △AOC ＝S △AOD ＝12S △AOB ＝1
4S △ABC .
答案：4
[清易错]
1．向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．
2．数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数． 3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有
可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
1．若向量AB ―→＝(1,2)，BC ―→＝(3,4)，则AC ―→
＝( ) A ．(2,2) B ．(－2，－2) C ．(4,6)
D ．(－4，－6)
解析：选C AC ―→＝AB ―→＋BC ―→
＝(4,6)．
2．已知向量a ，b 不共线，若AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( )
A ．梯形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．菱形
解析：选A 因为AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→
＝－5a －3b ， 所以AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→
＝－8a －2b ， 所以AD ―→＝2BC ―→
，即直线AD 与BC 平行，
而向量AB ―→与CD ―→
不共线，即直线AB 与CD 不平行， 故四边形ABCD 是梯形．
3．(2018·河北联考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－2，－4) C ．(－3，－6)
D ．(－4，－8)
解析：选D 由a ∥b ，得m ＋4＝0，即m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
平面向量的数量积
[过双基]
1．向量的夹角 定义
图示
范围
共线与垂直
2．平面向量的数量积
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
1．设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，则|a＋2b|＝() A．2 2 B. 5
C．2 D．4
解析：选B∵向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，
∴|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝0，
∵a＝2e1－e2，b＝e2，
∴a＋2b＝2e1＋e2，
∴|a＋2b|2＝4e21＋4e1·e2＋e22＝5，
∴|a＋2b|＝ 5.
2．(2018·云南检测)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )
A ．－72
B ．－12
C.32
D.52
解析：选D 因为a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－1
2
，
所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52
. 3．已知|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为( ) A.π
3 B.π6 C.π2
D ．π
解析：选D 设a 与b 的夹角为θ，由题意知|a |＝1，|b |＝2， ∵a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝12－1×2×c os θ＝3， ∴c os θ＝－1. 又θ∈[0，π]， ∴a 与b 的夹角为π.
4．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π
3，则|a ＋2b |＝________.
解析：∵(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×⎝⎛⎭⎫－1
2＋4＝4，∴|a ＋2b |＝2. 答案：2
5．(2018·衡水中学检测)在直角三角形ABC 中，C ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，若AD ―→＝32AB ―→
，
则CD ―→·CB ―→＝________.
解析：∵AD ―→＝32
AB ―→
，
∴CD ―→·CB ―→＝(CA ―→＋AD ―→)·CB ―→＝⎝⎛⎭
⎫CA ―→＋32 AB ―→·CB ―→
＝⎝⎛⎭⎫32CB ―→－12CA ―→·CB ―→＝32CB ―→2
， 又∵C ＝90°，AB ＝2，AC ＝1， ∴CB ＝3，∴CD ―→·CB ―→＝92.
答案：9
2
6．(2018·东北三校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，DE ―→＝2EC ―→，DF ―→＝12(DC ―→
＋
DB ―→)，则BE ―→·DF ―→＝________.
解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线
为y 轴建立平面直角坐标系．
则B (0,0)，E ⎝⎛⎭
⎫2，2
3，D (2,2)． 由DF ―→＝12(DC ―→＋DB ―→)，知F 为BC 的中点，所以F (1,0)，故BE
―→
＝⎝⎛⎭
⎫2，23，DF ―→
＝(－1，－2)， ∴BE ―→·DF ―→＝－2－43＝－103.
答案：－10
3
[清易错]
1．0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0. 2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在运用向量夹角时，注意其取值范围为[0，π]． 1．有下列说法：
①向量b 在向量a 方向上的投影是向量；
②若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角； ③(a ·b )c ＝a (b ·c )；
④若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中正确的说法个数为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．2
答案：A
2．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 解析：由题意可得a ·b >0，且a ，b 不共线， 即⎩⎪⎨⎪⎧
2＋λ＋3>0，2＋λ1≠13，解得λ>－5，且λ≠－53
.
答案：⎝⎛⎭⎫－5，－53∪⎝⎛⎭
⎫－5
3，＋∞ 3．已知向量a ，b 满足a ＝(2,0)，|b |＝1，若|a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角是________． 解析：由|a ＋b |＝7，得(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2a ·b ＋1＝7，
∴a ·b ＝1，
∴|a |·|b |·c os 〈a ，b 〉＝1，
∴c os 〈a ，b 〉＝1
2.又〈a ，b 〉∈[0，π]，
∴a ，b 的夹角为π
3.
答案：π
3
一、选择题
1．(2018·常州调研)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→
＝0，则下列结论正确的是( )
A ．OA ―→＝13A
B ―→＋23B
C ―→
B ．OA ―→＝23AB ―→＋13B
C ―→
C ．OA ―→＝13AB ―→－23
BC ―→
D ．OA ―→＝－23AB ―→－13
BC ―→
解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→
＝0， ∴O 为△ABC 的重心，
∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→
)
＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－13(2AB ―→＋BC ―→
)
＝－23AB ―→－13
BC ―→.
2．(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→
等于( )
A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→
C ．2OA ―→－OB ―→
D ．－OA ―→＋2OB ―→
解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→
， 所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→) ＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→
＝0， 所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.
3．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2，则|a －b |的值为( )
A ．1 B.13 C ．13
D.7－2 3
解析：选A 由向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2， 可得a ·b ＝|a |·|b |·c os 30°＝3×2×
3
2
＝3， 所以|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3＋4－2×3＝1.
4．(2018·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )
A ．－32
B ．0 C.32
D ．3
解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32
. 5．已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π
4，则|b |＝( )
A ．6
B ．3 2
C ．2 2
D ．3
解析：选D 由非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，可知两个向量垂直，由|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π
4，说明以向量a ，b 为邻边，a ＋b 为对角线的平行四边形是正方形，所以|b |
＝3.
6．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －1
2b ＝(3,1)，c ＝(x,3)，
若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )
A ．－2
B ．－4
C ．－3
D ．－1
解析：选D 依题意得b ＝2⎣⎡⎦
⎤a －⎝⎛⎭⎫a －12b ＝(－4,2)，所以2a ＋b ＝(－2,6)，所以6x ＝－2×3＝－6，x ＝－1.
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4
，且|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
，则λ＋μ＝( )
A ．2 2 B. 2 C ．2
D ．4 2
解析：选A 因为|OC ―→
|＝2，∠AOC ＝π4，
所以C (2，2)， 又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，
所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.
8.已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD ―→
＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)的值为( )
A ．－1
B ．－12
C.1
2
D ．2
解析：选D 注意到函数f (x )的图象关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD ―→
＋BE ―→＝2BC ―→.
又BE ―→－CE ―→＝BE ―→＋EC ―→＝BC ―→， 且|BC ―→|＝1
2T ＝12×2ππ
＝1，
因此(BD ―→＋BE ―→)·(BE ―→－CE ―→)＝2BC ―→
2＝2. 二、填空题
9．(2018·洛阳一模)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．
解析：∵AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→
＝(－3,4)， 据题意知AB ―→∥AC ―→
， ∴4(a －1)＝3×(－3)， 即4a ＝－5， ∴a ＝－5
4.
答案：－5
4
10．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→
＝________，BC ―→
＝________.(用a ，b 表示)
解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→
＝－a －b .
答案：b －a －a －b
11．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．
解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝5，
∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3
12．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________． 解析：∵a ＋c ＝0， ∴c ＝－a ＝(－2，－3)，
∴c ·b ＝8－21＝－13，且|b |＝65， ∴c 在b 方向上的投影为
|c |c os 〈c ，b 〉＝|c |·c ·b |c ||b |＝c ·b |b |＝－1365＝－655.
答案：－
65
5
三、解答题
13．已知向量a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，c ＝(2，k )． (1)求向量a 与b 的夹角； (2)若b ∥c ，求k 的值； (3)若b ⊥(a ＋c )，求k 的值． 解：(1)设向量a 与b 的夹角为θ， ∵a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，
∴a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a |＝3，|b |＝(－5)2＋52＝52， ∴c os θ＝
a ·
b |a |·|b |＝－153×52＝－2
2
. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝
3π4
. (2)∵b ∥c ，∴－5k ＝5×2，∴k ＝－2. (3)∵a ＋c ＝(5，k )，又b ⊥(a ＋c )， ∴b ·(a ＋c )＝0，
∴－5×5＋5×k ＝0， ∴k ＝5.
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22
，－22，n ＝(sin x ，c os x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π
3，求x 的值．
解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －2
2
c os x ＝0， ∴t a n x ＝1.
(2)∵m 与n 的夹角为π3，
∴m ·n ＝|m |·|n |c os π
3，
即
22sin x －22c os x ＝12
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1
2. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π
4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π
12
.
高考研究课(一) 平面向量的基本运算
[典例] (1)(2018·济南模拟)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ―→＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD ―→
＝( )
A.13a －1
3b B.23a －2
3b C.35a －35
b D.45a －45
b
(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→
＝λAM ―→＋μAN ―→
，则λ＋μ＝________.
[解析] (1)∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5，CD ＝25
5
， ∴BD ＝
55，AD ＝455
，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD ―→＝45AB ―→＝45(CB ―→－CA ―→)＝45a －4
5b .
(2)法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→
，
得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→
)，
则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2
AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→
＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―
→＋12AB ―→ ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 因为AB ―→，AD ―→
不共线，
所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧
14λ＋3
4
μ－1＝0，λ＋μ
2＝0，
解得⎩⎨⎧
λ＝－4
5，
μ＝8
5.
所以λ＋μ＝4
5
.
法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ， 由已知易得AB ＝4
5AT ，
则45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54
μAN ―→，
因为T ，M ，N 三点共线，所以54λ＋5
4μ＝1.
故λ＋μ＝4
5.
[答案] (1)D (2)4
5
[方法技巧]
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[即时演练]
1．向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
解析：选C 结合图形易得，a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，故a －b ＝e 1－3e 2.
2.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→
，则λ＋μ的值为( )
A.12 B ．－12
C ．1
D ．－1
解析：选A 法一：由题意得AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝BC ―→＋AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－12AB ―→
，∴λ
＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝1
2
，故选A.
法二：利用坐标法，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，∴AE ―→＝⎝⎛⎭⎫
12，1，AB ―→＝(1,0)，AC ―→
＝(1,1)，则⎝⎛⎭⎫12，1＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝12
.
平面向量的坐标运算
[典例] (1)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ―→
＝
(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→
等于( )
A ．(－2,7)
B ．(－6,21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
(2)(2018·绍兴模拟)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→
＝－3a ，则点N 的坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(－3,6)
C ．(6,2)
D ．(－2,0)
[解析] (1)由题意，AC ―→＝2AQ ―→＝2(PQ ―→－PA ―→)＝2(－3,2)＝(－6,4)，PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝(－6,4)－(－4，－3)＝(－2,7)，
∵BP ―→＝2PC ―→，
∴BC ―→＝3PC ―→
＝(－6,21)．
(2)MN ―→
＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ―→
＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝0.
[答案] (1)B (2)A [方法技巧]
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
[即时演练]
1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32b
B.12a －3
2b C.32a －12
b D ．－32a ＋12
b
解析：选B 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，所以λ1
＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －3
2
b .
2．已知向量a ＝(1,1)，点A (3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB ―→
∥a ，则点B 的坐标为________．
解析：设B (x,2x )，AB ―→
＝(x －3,2x )． ∵AB ―→
∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，
∴B (－3，－6)． 答案：(－3，－6)
共线向量定理及应用
平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度
较小，属低档题.,常见的命题角度有：
(1)利用向量共线求参数或点的坐标； (2)利用向量共线解决三点共线问题. 1．若向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
解析：选B ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3.
2．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→
.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→
＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝4，
故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)
3．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________. 解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,3)， 所以a ＋c ＝(1＋m ，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)． 又(a ＋c )∥(a －b )，
所以(1＋m )(m －5)＋(m ＋3)＝0，即m 2－3m －2＝0， 解得m ＝3＋172或m ＝3－17
2
. 答案：
3±172
[方法技巧]
1．利用两向量共线求参数
如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．
2．利用两向量共线的条件求向量坐标
一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．
角度二：利用向量共线解决三点共线问题
4．(2018·南阳五校联考)已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则k ＝________.
解析：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→
共线， ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 答案：1
5．设两个非零向量a 与b 不共线，若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→
＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．
证明：因为AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→
＝3(a －b )， 所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝5(a ＋b )＝5AB ―→
. 所以AB ―→，BD ―→
共线．
又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． [方法技巧]
三点共线问题的求解策略
解决点共线或向量共线问题时，要结合向量共线定理进行，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
1．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→
，则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．2 2 C. 5
D ．2
解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建
立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，
点C 到直线BD 的距离为
222＋12
＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2
＝45.
因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭
⎫1＋
255cos θ，2＋255sin θ.
又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→
＝(λ，2μ)，
所以⎩⎨
⎧
1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋255c os θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π
－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.
2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→
，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→
B ．AD ―→＝13AB ―→－43A
C ―→
C ．A
D ―→＝43AB ―→＋13
AC ―→
D ．AD ―→＝43AB ―→－13
AC ―→
解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→
＝－
13AB ―→＋43
AC ―→
.
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→
＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)
D ．(1,4)
解析：选A 法一：设C (x ，y )， 则AC ―→
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，y ＝－2，
从而BC ―→
＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 法二：AB ―→
＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
BC ―→＝AC ―→－AB ―→
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
4．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.
又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.
答案：－2
5．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6. 答案：－6
6．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧
λ＝1
2，
t ＝1
2.
答案：1
2
7．(2014·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，则AB ―→与AC
―→
的夹角为________．
解析：由AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB ―→
与
AC ―→
的夹角为90°.
答案：90°
一、选择题
1.(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( ) ①PQ ―→＝32a ＋3
2b ；
②PT ―→＝3
2a －b ；
③PS ―→＝32a －12b ；
④PR ―→＝3
2
a ＋
b .
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋3
2b ，故①正确；②根据向量的减法
法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋3
2b －2b ＝32a －12
b ，故③正确；
④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝3
2a ＋32b －b ＝32a ＋12
b ，故④错误，故选C.
2．(2018·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→
＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )
A ．－23
B.43
C.12
D.13
解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→
＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→
＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→，AC ―→
共线，
∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－2
3
.
3．(2018·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→
＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→
，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
4．若OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，a 与b 不共线，则∠AOB 平分线上的向量OM ―→
为( ) A.a |a |＋b |b | B.a ＋b |a ＋b | C.|b |a －|a |b |a |＋|b |
D ．λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a |a |＋b |b |，λ由OM ―→确定
解析：选D 以OM 为对角线，以OA ―→，OB ―→
方向为邻边作平行四边形OCMD ，
∵OM 平分∠AOB ，
∴平行四边形OCMD 是菱形．
设OC ＝OD ＝λ， 则OC ―→＝λa |a |，OD ―→
＝λb |b |
，
∴OM ―→＝OC ―→＋OD ―→＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a |a |＋b |b |，且λ由OM ―→
确定．
5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→
，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→
，
BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，
CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13
BA ―→，
因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)
＝CB ―→＋23BC ―→＝－13
BC ―→
，
故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→
反向平行．
6.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→
，则xy x ＋y 的
值为( )
A ．3 B.13 C ．2
D.12
解析：选B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝y ＝2
3，则
xy x ＋y ＝13
. 7．(2018·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )
A.π
6 B.π4 C.π3
D.5π12
解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝1
2，所以sin θ
＝±22，故锐角θ＝π
4
.
8．已知△ABC 是边长为4的正三角形，D ，P 是△ABC 内的两点，且满足AD ―→＝14(AB
―→＋AC ―→)，AP ―→＝AD ―→＋18
BC ―→
，则△APD 的面积为( )
A.34
B.32
C. 3 D ．2 3
解析：选A 法一：取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，又AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→
)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.
取AF ―→＝18BC ―→，以AD ，AF 为邻边作平行四边形，可知AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→＝AD ―→＋AF ―→
.而△
APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝3
4
.
法二：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平
面直角坐标系．
∵等边三角形ABC 的边长为4， ∴B (－2，－23)，C (2，－23)，
由题知AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝1
4[(－2，－23)＋(2，－23)]＝(0，－3)，
AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→
＝(0，－3)＋18(4,0)＝⎝⎛⎭⎫12，－3， ∴△ADP 的面积为S ＝12|AD ―→|·|DP ―→
|＝12×3×12＝34.
二、填空题
9．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ―→＝5e 1，DC ―→＝3e 2，则OC ―→
＝________.(用e 1，e 2表示)
解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC ―→＝12AC ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＝
12(DC ―→＋BC ―→)＝1
2(5e 1＋3e 2)＝52e 1＋32
e 2.
答案：52e 1＋3
2
e 2
10．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→
，则x ＋y ＋z ＝________.
解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→
，因此x
＋y ＋z ＝－1＋12＋1
2
＝0.
答案：0
11．(2018·贵阳模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是________．
解析：设a ＝(x ，y )，
∵平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a ∥b ， ∴x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22.
∴a ＝
⎝⎛⎭⎫22
，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22.
答案：
⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22
，－22
12.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB
＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)，若AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→
，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．
解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示
的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (1，0)，D (0,1)，F ⎝⎛⎭⎫
32，12，
设P (c os α，sin α)(0°≤α≤90°)， ∵AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→
，
∴(c os α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ⎝⎛⎭⎫
32，12 ＝⎝
⎛⎭⎫－λ＋3
2μ，λ＋μ2， ∴c os α＝－λ＋3
2μ，sin α＝λ＋μ2
，
∴λ＝14(3sin α－c os α)，μ＝1
2(c os α＋sin α)，
∴2λ－μ＝sin α－c os α＝2sin(α－45°)， ∵0°≤α≤90°， ∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－
22≤sin(α－45°)≤22
， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1，
∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]． 答案：[－1,1] 三、解答题
13.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→
＝23
AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→
； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→
，
连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，
所以AG ―→
＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝1
2(a ＋b )，
AE ―→＝23AD ―→＝1
3(a ＋b )，
AF ―→＝12AC ―→＝12
b ，
BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝1
3(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，
BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝1
2b －a ＝12(b －2a )．
(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→
，
又因为BE ―→，BF ―→
有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．
14．(2018·郑州模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；
(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． 解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，
解得k ＝－16
13
.
(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2
＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
15.如图，在△OAB 中，OC ―→＝14OA ―→，OD ―→＝12OB ―→
，AD 与BC 交
于点M ，设OA ―→＝a ，OB ―→
＝b .
(1)用a ，b 表示OM ―→
；
(2)在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE ―→＝p OA ―→，OF ―→
＝qOB ―→
，求证：17p ＋37q
＝1.
解：(1)设OM ―→
＝x a ＋y b ，
由OC ―→＝14OA ―→，得OM ―→＝4x OC ―→
＋y b ，
∵C ，M ，B 三点共线， ∴4x ＋y ＝1.①
由OD ―→＝12OB ―→，得OM ―→＝x a ＋2y OD ―→，
∵A ，M ，D 三点共线， ∴x ＋2y ＝1，②
联立①②得，x ＝17，y ＝3
7.
∴OM ―→＝17a ＋3
7
b .
(2)证明：∵OE ―→＝p OA ―→，OF ―→＝qOB ―→
， ∴OA ―→＝1p OE ―→，OB ―→＝1q OF ―→， ∴OM ―→＝17·1p OE ―→＋37·1q OF ―→.
∵E ，M ，F 三点共线， ∴17p ＋3
7q
＝1.
1．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ，y 满足PA ―→＋x PB ―→
＋y PC ―→
＝0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，
S 2S ＝λ2，S 3S
＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，3x ＋y 的值为( ) A.12 B.32 C ．1
D ．2
解析：选D 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.
∵P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ， ∴λ1＝12，
∴λ2＋λ3＝1
2
，
∴λ2λ3≤⎝⎛⎭⎫λ2＋λ322＝1
16， 当且仅当λ2＝λ3＝1
4时取等号，
∴λ2·λ3取最大值时，P 为EF 的中点． 延长AP 交BC 于M ，则M 为BC 的中点， ∴PA ＝PM ，
∴PA ―→＝－PM ―→＝－12(PB ―→＋PC ―→)，
又∵PA ―→＋x PB ―→＋y PC ―→
＝0， ∴x ＝y ＝1
2，
∴3x ＋y ＝2.
2.如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP ―→＝12PC ―→
，
点M ，N 在过点P 的直线上，若AM ―→＝λAB ―→，AN ―→＝μAC ―→
(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )
A ．2 B.83 C ．3
D.103
解析：选B ∵AM ―→＝λAB ―→，AN ―→＝μAC ―→
(λ>0，μ>0)， ∴MB ―→＝MP ―→＋PB ―→＝(1－λ)AB ―→. ∵M ，P ，N 三点共线，
∴存在实数k ，使MP ―→＝kMN ―→＝k (AN ―→－AM ―→)＝－kλAB ―→＋kμAC ―→
. ∵BP ―→＝12PC ―→，∴PB ―→＝13CB ―→＝13AB ―→－13
AC ―→.
∴MP ―→＋PB ―→＝⎝⎛⎭⎫13－kλAB ―→＋⎝
⎛⎭⎫kμ－13AC ―→＝(1－λ)AB ―→
， ∴⎩⎨⎧
1
3
－kλ＝1－λ， ①kμ－1
3＝0， ②
由②得，k ＝13μ代入①得，13－λ
3μ
＝1－λ，
∴μ＝λ3λ－2，
∴λ＋2μ＝λ＋2λ
3λ－2.
设f (λ)＝λ＋
2λ
3λ－2
，λ>0， ∴f ′(λ)＝9λ2－12λ(3λ－2)2，令f ′(λ)＝0，得λ＝0或λ＝4
3. 当λ∈⎝⎛⎭⎫0，43时，f ′(λ)<0，当λ∈⎝⎛⎭⎫4
3，＋∞时，f ′(λ)>0. ∴λ＝4
3时，f (λ)取极小值，也是最小值，
又f ⎝⎛⎭⎫43＝83，∴f (λ)的最小值为83， 即λ＋2μ的最小值为83
.
高考研究课(二) 平面向量的数量积及应用 [全国卷5年命题分析]
[典例] (1)已知等边△ABC 的边长为2，若BC ＝3BE ，AD ＝DC ，则BD ―→·AE ―→
等于( )
A ．－2
B ．－
10
3
C ．2
D.103
(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→
的值为______；DE ―→·DC ―→的最大值为________．
[解析] (1)如图所示，BD ―→·AE ―→
＝(AD ―→－AB ―→)·(AB ―→＋BE ―→)
＝⎝⎛⎭⎫12AC ―→－AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫AB ―→＋13 AC ―→－13AB ―→
＝⎝⎛⎭⎫12AC ―→－AB ―→·⎝⎛⎭
⎫13AC ―→＋23
AB ―→
＝16AC ―→2－23AB ―→2＝1
6×4－23×4＝－2. (2)法一：
如图，DE ―→·CB ―→＝(DA ―→＋AE ―→)·CB ―→＝DA ―→·CB ―→＋AE ―→·CB ―→＝DA ―→2＝1， DE ―→·DC ―→＝(DA ―→＋AE ―→)·DC ―→ ＝DA ―→·DC ―→＋AE ―→·DC ―→＝AE ―→·DC ―→
＝|AE ―→|·|DC ―→|≤|DC ―→|2＝1，故DE ―→·DC ―→的最大值为1.
法二：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1，0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.
因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→
＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE ―→·DC ―→的最大值为1. 法三：
由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→
方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1.
当E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→
方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE ―→·DC ―→)m a x ＝|DC ―→|·1＝1. [答案] (1)A (2)1 1 [方法技巧]
平面向量数量积的2种运算方法
1．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )
A ．－5
8
B.18
C.14
D.118
解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→
. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→
，
DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，
所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.
又BC ―→＝AC ―→－AB ―→
，
则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭
⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→)
＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→ ＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|＝|AC ―→
|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18
.
2．(2018·豫东名校联考)如图，BC 是单位圆A 的一条直径，F 是
线段AB 上的点，且BF ―→＝3FA ―→
，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD ―→·FE ―→
的值是________．
解析：FD ―→·FE ―→＝(FA ―→＋AD ―→)·(FA ―→＋AE ―→)＝(FA ―→＋AD ―→)·(FA ―→－AD ―→)＝FA ―→2－AD ―→
2＝
⎝⎛⎭⎫142－1＝－1516
. 答案：－15
16
1．(2017·浙江高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．
解析：法一：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4. 又|a ＋b |＋|a －b |2≤
(a ＋b )2＋(a －b )2
2
＝a 2＋b 2＝5，∴|a ＋b |＋|a －b |的最大值为
2 5.
法二：设a ，b 的夹角为θ. ∵|a |＝1，|b |＝2，
∴|a ＋b |＋|a －b |＝a 2＋b 2＋(a －b )2 ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ.
∵θ∈[0，π]，∴c os 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]，
∴y ∈[4,2 5 ]，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4，最大值为2 5. 答案：4 2 5
2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．
解析：设c ＝(x ，y )，2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )，则由题意得(2－x )·(－3－x )＋(2－y )·(3－y )＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132，表示以⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，26
2为半径的圆，所以|c |的最大值为26.
答案：26 [方法技巧]
利用数量积求解长度问题的处理方法
(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.
[提醒] 与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用． 角度二：平面向量的夹角
3．已知单位向量e 1与e 2的夹角为60°，则|e 1－2e 2|＝________. 解析：∵单位向量e 1与e 2的夹角为60°， ∴|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·c os 60°＝1
2
，
∴|e 1－2e 2|＝e 21－4e 1e 2＋4e 2
2＝1－2＋4＝ 3.
答案： 3
4．(2018·洛阳期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53
.
当a 与a ＋λb 共线时， 存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，。