18-19版：2.2.3 待定系数法(创新设计)

a＝1， 解得b＝－2，
c＝－3.
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(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； 解 设所求函数y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定. 根据已知条件得 a(2－4)2＋2＝0，解得 a＝－12， 因此所求函数为 y＝－12(x－4)2＋2＝－12x2＋4x－6.
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D.y＝21x2－1
将点(2,3)代入得3＝3a，
∴a＝1.∴y＝x2－1.
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123ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
4.已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象形状一样，开口
方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( D )
A.y＝2(x－1)2＋3
B.y＝2(x＋1)2＋3
C.y＝－2(x－1)2＋3
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(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上. 解 ∵y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4， ∴顶点A(2，h－4)， 由已知得(－4)×2－1＝h－4，h＝－5， ∴所求函数为y＝x2－4x－5.
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要点三 待定系数法的综合应用 例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一 部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域. 解 设左侧的射线对应的解析式为 y＝kx＋b(k≠0，x≤1)，
将(3，－1)代入 f(x)得 k＝－13. 所以一次函数式为 f(x)＝－13x.
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当x∈[－6，－3]时，－x∈[3,6]，
所以f(x)＝－f(－x)＝(x＋5)2－3.
x＋52－3，x∈[－6，－3， 所以 f(x)＝－31x，x∈[－3，3]，
－x－52＋3，x∈3，6].
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－x＋2 x＜1， 综上，函数的解析式为 y＝－x2＋4x－2 1≤x≤3，
x－2 x>3，
由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞). 规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形 状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类 型，利用待定系数法求出相应解析式.
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课堂小结 1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标， 通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值) 通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2，通常选择两根式. 2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有 几个独立的条件才能求出函数关系式.
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当堂检测
当堂训练，体验成功
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1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次
函数的解析式为( A )
A.y＝x2＋2x－3
B.y＝x2－2x－3
C.y＝x2＋2x＋3
D.y＝x2－2x＋6
解析
将(1,0)，(2,5)代入
y＝x2＋bx＋c
k＋b＝1， 因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故
b＝2，
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解得k＝－1，b＝2， 所以左侧射线对应的函数的解析式为 y＝－x＋2(x<1)， 同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3). 当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为 y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3).
a＝2， 则
b＋5a＝17， ∴a＝2，b＝7，即f(x)＝2x＋7.
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要点二 求二次函数的解析式 例2 已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)，B(5,0)两点， 它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式. 解 方法一 设二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
1＋b＋c＝0，① 可得
4＋2b＋c＝5. ②
由①②解得b＝2，c＝－3.
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2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( B ) A.y＝12x－52 B.y＝12x＋52 C.y＝－12x＋52 D.y＝－12x－52 解析 设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
第二章——
2.2 一次函数和二次函数
2.2.3 待定系数法
[学习目标]
1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的 解析式. 2.掌握待定系数法的特征及应用.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
预习导学
2.2.3 待定系数法
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课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 求一次函数的解析式 例1 设一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋9，求f(x)的解析式. 解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝a·f(x)＋b＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b. 由f[f(x)]＝4x＋9，得a2x＋ab＋b＝4x＋9，
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跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式. (1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点； 解 设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定.
9a＋3b＋c＝0， 根据已知条件得c＝－3，
4a－2b＋c＝5，
因此所求函数为y＝x2－2x－3.
3＝k＋b， 把点(1,3)，(3,4)代入易知
4＝3k＋b，
k＝12， 得b＝52.
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3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这
个函数的解析式为( A ) A.y＝x2－1 B.y＝1－x2 C.y＝12x2＋1
解析 设y＝a(x＋1)(x－1)(a≠0)，
－5＝c， 由题意得0＝25a＋5b＋c，
－2ba＝2，
a＝1， 解得b＝－4，
c＝－5.
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∴所求函数解析式为f(x)＝x2－4x－5. 方法二 设二次函数f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，
－5＝4a＋k，
a＝1，
代入上式得
解得
0＝9a＋k，
挑战自我，点点落实
[预习导引] 1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这 个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其 中系数待定 ，然后再根据题设条件求出这些 待定系数 .这 种通过求 待定系数 来确定变量之间关系式的方法叫做待 定系数法.
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2.正比例函数的一般形式为 y＝kx(k≠0) ，反比例 函数的一般形式为 y＝kx(k≠0)，一次函数的一般 形式为 y＝kx＋b(k≠0) ，二次函数的一般形式 为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) .
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a2＝4，
a＝2， a＝－2，
∴
解得
或
ab＋b＝9，
b＝3， b＝－9.
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列
式求解.
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跟踪演练1 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝ 2x＋17，求f(x). 解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则有3f(x＋1)－2f(x－1) ＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b＝2x＋17，
k＝－9，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－2)2－9，
即f(x)＝x2－4x－5.
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方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x＝2， ∴二次函数与x轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f(x)＝a(x－5)(x＋1)(a≠0)， 将(0，－5)代入得a＝1， ∴f(x)＝x2－4x－5. 规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意 其设法的多样性，由条件选择适当的形式.
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跟踪演练3 已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x) 在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f(6)＝2， 又当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3， 求f(x)的解析式. 解 因为f(x)在[3,6]上是二次函数，f(x)≤f(5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f(x)＝a(x－5)2＋3(a≠0)，
D.y＝－2(x＋1)2＋3
解析 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可
知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
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5. 已 知 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 顶 点 坐 标 为 (1 ， － 2) ， 且 过 点 (2,4)，则f(x)＝__6_x2_－__1_2_x_＋__4__. 解析 设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)， 因为过点(2,4)， 所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6. 所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
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又因为f(6)＝2，代入f(x)得a＝－1，
所以x∈[3,6]时，f(x)＝－(x－5)2＋3.
当x＝3时，f(3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又
在一次函数的图象上.
又因为f(x)为奇函数，且x∈[－6,6]，
所以f(0)＝0，故可设一次函数式为f(x)＝kx(k≠0)，