人教版高中数学必修第一册知识点及题型总结---常用逻辑用语

⼈教版⾼中数学必修第⼀册知识点及题型总结---常⽤逻辑⽤语
考点1：充分条件与必要条件 (2)
考点2：充要条件 (6)
考点3：全称量词与存在量词 (13)
考点4：全称量词与存在量词命题的否定 (19)
考点1：充分条件与必要条件
题型⼀：充分条件的判断
例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)p：⼀个四边形是矩形，q：四边形的对⾓线相等；
(2)已知x，y∈R，p：x＝3，q：(x－3)·(x－4)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>5，q：x>6.
解(1)四边形是矩形能够推出四边形的对⾓线相等，所以p是q的充分条件．
(2)由x＝3?(x－3)(x－4)＝0，故p是q的充分条件．
(3)⽅法⼀由x>5?x>6，所以p不是q的充分条件．
⽅法⼆设集合A＝{x|x>5}，B＝{x|x>6}，
所以B?A，所以p不是q的充分条件．
变式“a2+b2=0”是“a+b=0”的________条件．
答案充分
解析a2+b2=0，则a=b=0，所以，a+b=0，故“a2+b2=0”是“a+b=0”的充分条件．
题型⼆：必要条件的判断
例2 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：两三⾓形全等，q：两三⾓形相似；
(2)p：A?B，q：A∩B＝A；
(3)p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2
解 (1)因为若两三⾓形全等，则必然相似，所以q 是p 的必要条件． (2)因为p ?q ，
所以q 是p 的必要条件． (3)因为c 可能等于0，p ?q ，所以q 不是p 的必要条件．
变式指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶⾓，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：x 2>16，q ：x >4.
解 (1)因为对顶⾓相等，所以p ?q ，所以q 是p 的必要条件．
(2)因为当x 2>16时，x >4或x <－4，所以p ?q ，所以q 不是p 的必要条件．
题型三：充分条件与必要条件的应⽤
例3 已知M ＝{x |a －1
解：∵M 是N 的充分但不是必要条件，∴
∴1318a a -≥??+≤?，⼜∵a －1=3与a+1=8不可能同时成⽴，即不可能出现M =N 故a 的取值范围是{}|27a a -≤≤
变式已知P ＝{x |a －4
解析因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ?P ，所以 a －4≤1，a ＋4≥3，即
a ≤5，a ≥－1，
所以－1≤a ≤5.
考点1练习：
基础达标
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件D．⽆法判断
答案：A
【解析】当a＝1时，|a|＝1成⽴，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不⼀定成⽴．∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
2．“x为⽆理数”是“x2为⽆理数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】当x2为⽆理数时，x为⽆理数；当x为⽆理数时，x2不⼀定为⽆理数．
3．使x＞1成⽴的⼀个必要条件是( )
A．x＞0 B．x＞3 C．x＞2 D．x＜2
答案：A
【解析】只有x＞1?x＞0，其他选项均不可由x＞1推出．
4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中⾄少有⼀个数⼤于1”成⽴的充分条件是( ) A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
答案：B
【解析】对于选项A，当x＝1，y＝1时，满⾜x＋y＝2，但命题不成⽴；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满⾜x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成⽴，也不符合题意．
5．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分条件B．必要条件
C．既是充分条件⼜是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
答案：C
【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，因为A∪B＝C，所以x∈A∪B?x∈C，且x∈C?x ∈A∪B，所以x∈A∪B是x∈C的充分条件，同时也是必要条件．
6．已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案：充分必要
【解析】因为A?B，由⼦集的定义知x∈A?x∈B，故“x∈A”是“x∈B”的充分条件；“x∈B”是“x∈A”的必要条件．
7．若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是__________.
答案：a≤1
【解析】因为x＞1?x＞a，所以a≤1.
8．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、既充分⼜必要、既不充分⼜不必要)答案：充分不必要
【解析】x＝3?x2＝9，x2＝9x＝3，故p是q的充分不必要条件．
9．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．
答案：解p是q的充分条件．
因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
所以P R，也就是p?q，
故p是q的充分条件．
10．分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p：a是整数，q：a是⾃然数；(2)p：a是素数，q：a不是偶数．
解(1)由于p：a是整数q：a是⾃然数，p：a是整数?q：a是⾃然数，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(2)由于p：a是素数?/q：a不是偶数，所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．
11．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成⽴的⼀个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥2
B ．m ≤2
C ．m ＞2
D ．－2＜m ＜2 答案：A
【解析】因为x ∈B 成⽴的⼀个充分条件是x ∈A ，所以A ?B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2. 12．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |1＜x ＜3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案：－1≤a ≤5
【解析】因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ?P ，
所以?
a －4≤1a ＋4≥3，即
a ≤5a ≥－1，所以－1≤a ≤5.
13．设x ，y ∈R ，那么“x ＞y ＞0”是“x
y ＞1”的________条件(填“充分”“必要”)．
答案：充分
【解析】由x y ＞1?x －y y ＞0?x ＞y ＞0或x ＜y ＜0.因此“x ＞y ＞0”能推断“x
y ＞1”．
考点2：充要条件
1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ?q ，⼜有q ?p ，就记作p ?q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ?q ，那么p 与q 互为充要条件．
题型⼀：充分、必要、充要条件的的判断
例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分⼜不必要条件”)． (1)p ：
x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；
(4)p ：a 是⾃然数；q ：a 是正数．解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成⽴；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5?x ≥－1且x ≤5，∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，
得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，⼜p ：x ＋2≠y ，故p 是q 的必要不充分条件．
(4)0是⾃然数，但0不是正数，故p ?q ；⼜12是正数，但1
2不是⾃然数，故q ?p .故p 是q 的既不充分⼜不必要条件．
变式指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分⼜不必要条件”)． (1)p ：x 2>0，q ：x >0；
(2)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除； (3)p ：两个⾓不都是直⾓，q ：两个⾓不相等； (4)p ：A ∩B ＝A ，q ：?U B ??U A .
解 (1)p ：x 2>0，则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要不充分条件．
(2)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分不必要条件．
(3)p ：两个⾓不都是直⾓，这两个⾓可以相等， q ：两个⾓不相等，则这两个⾓⼀定不都是直⾓，故p 是q 的必要不充分条件． (4)∵A ∩B ＝A ?A ?B ??U B ??U A ，∴p 是q 的充要条件．
题型⼆：充分、必要、充要条件的的判断
例2 设a，b，c为△ABC的三边，求证：⽅程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明必要性：设⽅程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝
b2
c－a
，
将此式代⼊x20＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①
将①代⼊⽅程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代⼊⽅程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两⽅程有公共根x＝－(a＋c)．
∴⽅程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
变式求证：⼀次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，⼀次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三：充要条件的应⽤
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实
数m 的取值范围．
解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，
故有 1－m ≥－2，1＋m <10或
1－m >－2，1＋m ≤10，
解得m ≤3. ⼜m >0，
所以实数m 的取值范围为{m |0
变式已知当a <0时，设p ：3a
⼜∵a <0，∴a ≤－4或－2
3≤a <0，即实数a 的取值范围为a ≤－4或－2
3≤a <0.
考点2练习：
1.设a ，b ，c 分别是△ABC 的三条边，且a ≤b ≤c ，则“a 2＋b 2＝c 2”是“△ABC 为直⾓三⾓形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件解析 a 2＋b 2＝c 2△ABC 为直⾓三⾓形，故选C.
答案 C
2.已知p ：－2
解析 p ：－2
{x |－2
∴p 是q 的必要不充分条件，选B. 答案 B
3.设p ：实数x ，y 满⾜x >1且y >1，q ：实数x ，y 满⾜x ＋y >2，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析当x >1且y >1时，x ＋y >2，所以充分性成⽴；令x ＝－1，y ＝4，则x ＋y >2，但x <1，所以必要性不成⽴，所以p 是q 的充分不必要条件.故选A. 答案 A
4.使“x ∈
x|x ≥3或x ≤－12”成⽴的⼀个充分不必要条件是( )
A.x ≥0
B.x <0或x >2
C.x ∈{－1，3，5}
D.x ≤－1
2或x ≥3
解析选项中只有x ∈{－1，3，5}是使“x ∈
x|x ≥3或x ≤－12”成⽴的⼀个充分不必要条件.
答案 C
5.“x ＝1”是“x ∈{x |x ≤a }”的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A.a ＝1
2 B.a <12 C.a <1
D.a ≥1
解析由题意，{1}是{x |x ≤a }的⼦集，∴a ≥1.故选D.
答案 D ⼆、填空题
6.p ：两个三⾓形的三条边对应相等，q ：两个三⾓形全等，则p 是q 的________条件.
解析 p 是q 的充要条件. 答案充要
7.⼀次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象不过第三象限的充要条件是________. 解析如图所⽰，要使⼀次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)不过第三象限，则需k <0且b ≥0.
答案 k <0且b ≥0
8.“a >1”是“1
a <1”的________条件.
解析若a >1，则1a <1，反之要1
a <1，当a <0时也成⽴，不能推出a >1. 答案充分不必要三、解答题
9.指出下列各题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选⼀个作答).
(1)p ：x －3＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0； (2)p ：两个三⾓形相似，q ：两个三⾓形全等； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c . 解(1)x －3＝0(x －2)(x －3)＝0，但(x －2)(x －3)＝0
/ x －3＝0，故p 是q 的充
分不必要条件. (2)两个三⾓形相似
/ 两个三⾓形全等，但两个三⾓形全等
两个三⾓形相似，
故p 是q 的必要不充分条件； (3)a >b
a ＋c >
b ＋
c ，且a ＋c >b ＋c a >b ，故p 是q 的充要条件.
10.不等式3x ＋a ≥0成⽴的充要条件为x ≥2，求a 的值. 解 3x ＋a ≥0化为x ≥－a
3.
考点3：全称量词与存在量词
题型⼀:全称量词命题与存在量词命题的识别
例1判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并⽤量词符号“?”或“?”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成⽴；
(2)对所有实数a，b，⽅程ax＋b＝0恰有⼀个解；
(3)有些整数既能被2整除，⼜能被3整除；
(4)某个四边形不是平⾏四边形．
解(1)全称量词命题，表⽰为?x∈{x|x>－1},3x＋4>0.
(2)全称量词命题，表⽰为?a，b∈R，⽅程ax＋b＝0恰有⼀解．
(3)存在量词命题，表⽰为?x∈Z，x既能被2整除，⼜能被3整除．
(4)存在量词命题，表⽰为?x∈{y|y是四边形}，x不是平⾏四边形．
变式判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外⾓和等于360°；
(2)矩形的对⾓线不相等；
(3)若⼀个四边形是菱形，则这个四边形的对⾓线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)⽅程3x－2y＝10有整数解．
解(1)可以改为所有的凸多边形的外⾓和等于360°，
故为全称量词命题．
(2)可以改为所有矩形的对⾓线不相等，
故为全称量词命题．
(3)若⼀个四边形是菱形，也就是所有的菱形，
故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为存在⼀对整数x，y，使3x－2y＝10成⽴．
故为存在量词命题．
题型⼆:全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
例2判断下列命题的真假．
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)在平⾯直⾓坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应⼀点P；
(3)?x∈N，x2>0.
解(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“?x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)由有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．
变式试判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2；
(2)直⾓坐标系内任何⼀条直线都与x轴有交点；
(3)存在⼀对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，
所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
(2)与x轴平⾏的直线与x轴⽆交点，
所以该命题为假命题．
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题．
题型三: 依据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠?，若命题p ：“?x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围．解由于命题p ：“?x ∈B ，x ∈A ”是真命题，
所以B ?A ，B ≠?，所以
m ＋1≤2m －1，
m ＋1≥－2，
2m －1≤5，
解得2≤m ≤3.
变式若命题“?x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为真命题，求实数a 的取值范围．解∵命题“?x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为真命题，∴⽅程x 2－4x ＋a ＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a ≥0，解得a ≤4.
考点3练习：
⼀、选择题 1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；②每⼀个中学⽣都要接受爱国主义教育；③有⼈既能写⼩说，也能搞发明创造；
④任何正⽅形都是平⾏四边形.
其中全称量词命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析命题①②④都是全称量词命题.
答案 C
2.下列命题中存在量词命题的个数是()
①有些⾃然数是偶数；②正⽅形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正⽅形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“⼀切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；⽽命题④是全称量词命题.故有⼀个存在量词命题.
答案 B
3.已知命题p：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()
A.0
B.a>4
C.a<0
D.a≥4
解析∵p是假命题，∴⽅程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
答案 B
4.下列四个命题：
①⼀切实数均有相反数；②?a∈N，使得⽅程ax＋1＝0⽆实数根；③梯形的对⾓线相等；④有些三⾓形不是等腰三⾓形.
其中，真命题的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①为真命题；对于②，当a＝0时，⽅程ax＋1＝0⽆实数根；对于③，等腰梯形的对⾓线相等，故③错误；④为真命题.答案 C
5.下列全称量词命题中真命题的个数为()
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成⽴；
③⼆次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①②③为真命题.
答案 C
⼆、填空题
6.给出下列三个命题：
①?x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析②省略了量词“所有的”.
答案①②
7.对任意x>3，x>a恒成⽴，则实数a的取值范围是________.
解析对任意x>3，x>a恒成⽴，即⼤于3的数恒⼤于a，∴a≤3.
答案a≤3
8.试判断下列全称量词命题的真假：
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
其中真命题的个数为________.
解析①由于?x∈R，都有x2≥0，因⽽有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成⽴，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
答案 1
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2；
(2)直⾓坐标系内任何⼀条直线都与x轴有交点；
(3)每个⼆次函数都有最⼩值.
解(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平⾏的直线与x轴⽆交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最⼤值⽆最⼩值，所以“每个⼆次函数都有最⼩值”是假命题. 10.判断下列存在量词命题的真假：
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)存在⼀个四边形不是平⾏四边形；
(3)存在⼀对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“?x∈Z，x3<1”是真命题；
(2)真命题，如梯形；
(3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定
题型⼀:全称量词命题的否定
例1写出下列命题的否定．
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
解(1)该命题的否定：存在⼀个分数不是有理数．
(2)该命题的否定：存在⼀个被5整除的整数不是奇数．
(3)?x∈R，x2－2x＋1<0.
变式写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有⾃然数的平⽅都是正数；
(2)任何实数x都是⽅程5x－12＝0的根；
(3)对任意实数x，x2＋1≥0.
解(1)?p：有些⾃然数的平⽅不是正数．
(2)?p：存在实数x不是⽅程5x－12＝0的根．
(3)?p：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型⼆:存在量词命题的否定
例2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)某些梯形的对⾓线互相平分；
(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增⼤⽽减⼩；
(3)?x，y∈Z，使得2x＋y＝3.
解(1)任意⼀个梯形的对⾓线都不互相平分．命题的否定为真命题．
(2)对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增⼤⽽减⼩．命题的否定为假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
变式写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2)?a，b∈R，a2＋b2≤0.
解(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：?a，b∈R，a2＋b2>0.
∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，
∴命题的否定是假命题．
题型三:全称量词命题与存在量词命题的综合应⽤
例3 已知命题p ：?x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成⽴．求实数m 的取值范围．解令y ＝x 2＋4x －1，x ∈R ，则y ＝(x ＋2)2－5≥－5，因为?x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成⽴，所以只要m <－5即可．
所以所求m 的取值范围是{m |m <－5}．
变式已知命题p ：?x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，且?p 是假命题，求实数a 的取值范围．
解因为?p 是假命题，所以p 是真命题，
⼜?x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，所以{x |－3≤x ≤2}?{x |a －4≤x ≤a ＋5}，则
a －4≤－3，a ＋5≥2，
解得－3≤a ≤1，即实数a 的取值范围是－3≤a ≤1.。