因式分解-提公因式法、公式法的综合运用

• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
应用完全平方公式
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$。
03
提公因式法与公式法的综合运用
观察多项式的特点
01
观察多项式的次数和系数，判断 是否有公因式可以提取。
02
观察多项式是否满足某些特定公 式（如平方差公式、完全平方公 式等）的形式。
选择合适的方法进行因式分解
02
01
03
如果多项式有公因式，则先提取公因式，将多项式化 简为较低次数的多项式。
公因式的概念及求法
公因式的定义
观察法
公因式是指多项式各项都含有的公共因子 。
通过直接观察多项式各项，找出它们的公 共因子。
系数最大公约数法
字母（或多项式）最低次幂法
求出多项式各项系数的最大公约数作为公 因式的系数。
取各项都含有的字母（或多项式）的最低 次幂作为公因式的字母部分。
提公因式法的步骤
第一步
该多项式是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的 应用条件。
应用平方差公式
$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$。
例子2
因式分解$x^2 + 6x + 9$。
分析
该多项式是三个项的形式，其中$x^2$和$9$是平方项 ，$6x$是这两平方项底数乘积的2倍，符合完全平方公 式的应用条件。
提公因式法与公式法的简介
提公因式法是把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的方法。
公式法是把多项式化为几个整式的乘积，化归为整式乘积的结果 ，这种变化称为因式分解。因式分解的方法有多种，除中学课本 上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外 ，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
如果多项式满足特定公式的形式，则运用相应的公式 进行因式分解。
如果多项式既有公因式又满足特定公式的形式，则可 以综合运用提公因式法和公式法进行因式分解。
综合运用举例
举例1：$x^3
-
2x^2 + x$
• 提取公因式$x$， 得到$x(x^2 - 2x + 1)$。
• 观察多项式的特点， 发现$x$是公因式。
完全平方公式的应用
当多项式中有三个项，且其中 两个项是平方项，另一个项是 这两平方项底数乘积的2倍或 负2倍时，可以直接应用完全 平方公式进行因式分解。
注意事项
在应用完全平方公式时，需要 确保多项式符合完全平方的形 式，并且注意符号问题。
公式法的应用举例
例子1
因式分解$x^2 - 4y^2$。
分析
式得
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $3xy$，提取公因
式得
例2：分解因式 $a(x-y) + b(x-y) + c(x-y)$。
$a(x-y) + b(x-y) + c(x-y) = (x-y)(a+b+c)$
02
公式法
平方差公式
平方差公式的内容
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任 意实数。
分步进行
对于复杂的多项式，可以分步 进行因式分解，先提取公因式 ，再使用公式法，逐步简化问 题。
多练习
通过大量的练习，熟悉提公因 式法和公式法的运用，提高解 题的准确性和效率。
及时总结
在解题过程中及时总结经验教 训，避免犯同样的错误。
05
练习题与答案解析
练习题
01
分解因式
$2x^2 - 8$
02
平方差公式的应用
当分解。
注意事项
在应用平方差公式时，需要确保$a$和$b$是实数， 且$a neq b$。
完全平方公式
完全平方公式的内容
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$和$(a - b)^2 = a^2 2ab + b^2$，其中$a$和$b$ 是任意实数。
THANK YOU
感谢聆听
学习目的与意义
学习因式分解，可以培养学生的观察、分析、归纳 和运算能力，加深对整式的理解，发展学生的思维 能力和创新能力。
因式分解在解决数学问题中有着广泛的应用，如化 简根式、解方程、证明不等式等。掌握因式分解的 方法，可以简化问题，提高解题效率。
通过学习因式分解，可以培养学生的数学素养和解 决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础 。
对于第二个式子，首先提取公因式$a$，得到$a(a^2 - 2ab + b^2)$， 再运用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$进行因式分解。
答案解析
对于第三个式子，直接运用平方差公 式进行因式分解。
对于第四个式子，首先运用平方差公 式进行因式分解得到$(x^2 + 4)(x^2 - 4)$，再对$(x^2 - 4)$运用平方差公 式进行因式分解。
分解因式
$a^3 - 2a^2b + ab^2$
03
分解因式
$x^2 - 4y^2$
04
分解因式
$x^4 - 16$
答案解析
$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2)$ $a^3 - 2a^2b + ab^2 = a(a^2 - 2ab + b^2) = a(a - b)^2$
结果复杂。
忽视公式条件
在使用公式法时，需要注意公式的 适用条件。若忽视条件，可能导致 错误的分解结果。
计算错误
在使用公式法进行因式分解时，涉 及到复杂的计算过程。若计算不准 确，可能导致最终结果错误。
避免错误的策略
01
02
03
04
仔细检查
在提取公因式或使用公式法之 前，仔细检查多项式的各项， 确保没有遗漏或错误。
综合运用举例
• 进一步观察，发现$x^2 - 2x + 1$是完全平方公式$(x - 1)^2$的形式。 • 因此，原多项式可以分解为$x(x - 1)^2$。
举例2：$a^2b^2 - 2ab + 1$
综合运用举例
• 观察多项式的特点 ，发现没有公因式 可以提取。
• 但是，多项式满足 平方差公式$a^2 b^2 = (a + b)(a b)$的形式。
答案解析
$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
答案解析
【解析】
对于第一个式子，首先提取公因式$2$，得到$2(x^2 - 4)$，再运用平方 差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解。